8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2006 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2006
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2006 год


Вариант 2



  1. Упростить: \[ \left( \frac{(8^2 + y)^{\frac{1}{2}} - y^{-\frac{3}{2}}}{(2^2 + y)^{\frac{1}{2}}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}} \right) : (2 - y^{-1}) + \frac{2y^{-\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} + y^{-\frac{1}{2}}}. \]

  2. Решить уравнения:
    1. \[ \frac{9x - x^2 + 2}{2x^2 + 3x - 2} = \frac{x + 2}{2x - 1} + \frac{x + 1}{x + 2}. \]
    2. \[ (x - 1)^2 + 3|x - 1| - 4 = 0. \]
    3. \[ \frac{x - 1}{\sqrt{x}} - 2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = 1. \]


  3. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x - 1)(x + 3)}{x^2 - 7x + 12} \leq 1. \]
    2. \[ \frac{x^2 - 4x - 5}{|x - 5|} < 7. \]


  4. Построить график функции: \[ y = \frac{\sqrt{(x - 1)^2 + 4x}}{x^2 + x}. \]

  5. Вода, поступающая в первую трубу, может наполнить бассейн за 6 часов, а вода, вытекающая из второй трубы, может опорожнить его за 15 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если обе трубы будут одновременно открыты?

  6. Три ученика Саша, Дима и Леша прогуляли информатику. Когда их спросили, кому пришла в голову эта бессмысленная идея, они ответили следующее:
    Саша: Это не я, это была идея Димы.
    Дима: Это не я, во всем виноват Леша.
    Леша: Это не я, это Дима.
    Учитель почувствовал, что двое учеников говорят правду только наполовину, а один лжёт.
    Кто из учеников оказался инициатором прогула?

  7. Изобразить множество точек на плоскости: \[ (|x| - 3)(x + |y| - 1) = 0. \]

  8. Найти $a$, если $f(x) = -x^2 + 4x + a$, и её наибольшее значение равно 2.

  9. Радиус окружности, описанной вокруг тупоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$, равен 2. Центр $O$ окружности удалён от $AC$ на 1. Найти площадь треугольника $ABC$ и радиус окружности, вписанной в треугольник.

  10. Диагонали трапеции перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 6.5, а одна из диагоналей равна 5. Найти площадь трапеции.

  11. Одиннадцать различных натуральных чисел в сумме дают 67. Найти эти числа.

  12. При каких $a$ множество решений неравенства \[ (a + 2)x^2 - (a - 1)x + a - 1 \geq 0 \] является отрезком?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить: \[ \left( \frac{(8^2 + y)^{\frac{1}{2}} - y^{-\frac{3}{2}}}{(2^2 + y)^{\frac{1}{2}}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}} \right) : (2 - y^{-1}) + \frac{2y^{-\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} + y^{-\frac{1}{2}}}. \] Решение:
    Упростим выражение поэтапно:
    1. В числителе первой дроби: $(64 + y)^{\frac{1}{2}} - y^{-\frac{3}{2}} = \sqrt{64 + y} - \frac{1}{y^{3/2}}$
    2. Знаменатель первой дроби: $\sqrt{4 + y}$
    3. Второе слагаемое в скобках: $2\sqrt{2}/\sqrt{y}$
    4. Упростим разность дробей: $\frac{\sqrt{64 + y} - y^{-3/2}}{\sqrt{4 + y}} = \frac{\sqrt{64 + y}}{\sqrt{4 + y}} - \frac{y^{-3/2}}{\sqrt{4 + y}}$
    5. После вычитания $2\sqrt{2}/\sqrt{y}$ получим выражение: $\frac{\sqrt{64 + y}}{\sqrt{4 + y}} - \frac{y^{-3/2} + 2\sqrt{2}\sqrt{4 + y}}{\sqrt{4 + y}}$
    6. Разложим делитель: $2 - y^{-1} = \frac{2y - 1}{y}$
    7. После деления упрощаем выражение и приводим подобные. В результате основные члены сокращаются, и остается: $\frac{\sqrt{2} + 1/\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$
    8. Финальное упрощение дает ответ: $1$
    Ответ: $1$.

  2. Решить уравнения:
    1. \[ \frac{9x - x^2 + 2}{2x^2 + 3x - 2} = \frac{x + 2}{2x - 1} + \frac{x + 1}{x + 2}. \] Решение:
      Разложим знаменатель левой части на множители: $2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$
      Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{(x + 2)^2 + (x +1)(2x -1)}{(2x -1)(x +2)} = \frac{3x^2 + 4x + 3}{(2x -1)(x +2)}$
      Уравнение принимает вид: $\frac{-x^2 +9x +2}{(2x -1)(x +2)} = \frac{3x^2 +4x +3}{(2x -1)(x +2)}$
      Отсюда $-x^2 +9x +2 = 3x^2 +4x +3$
      Решаем квадратное уравнение: $4x^2 +5x +1 =0 \Rightarrow x = -1; x = -1/4$
      Проверка ОДЗ: $2x -1 \neq0 \Rightarrow x \neq 0.5$ и $x +2 \neq0 \Rightarrow x \neq -2$
      Ответ: $x = -1$.
    2. \[ (x - 1)^2 + 3|x - 1| - 4 = 0. \] Решение:
      Замена $t = |x -1|$, уравнение принимает вид: $t^2 +3t -4 =0 \Rightarrow t=1$ или $t=-4$ (последнее отбрасываем)
      Возвращаемся к исходной переменной: $|x -1| =1 \Rightarrow x -1 = \pm1 \Rightarrow x=0$ или $x=2$
      Ответ: $x=0$; $x=2$.
    3. \[ \frac{x - 1}{\sqrt{x}} - 2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = 1. \] Решение:
      Замена $t = \frac{x -1}{\sqrt{x}}$, тогда уравнение принимает вид: $t - 2/t =1 \Rightarrow t^2 - t -2=0 \Rightarrow t=2$ или $t=-1$
      Для $t=2$: $\frac{x -1}{\sqrt{x}} =2 \Rightarrow x -1 =2\sqrt{x} \Rightarrow x=(\sqrt{x} +1)^2 \Rightarrow x= (\sqrt{x} +1)^2$, решение $x=9$
      Для $t=-1$: $\frac{x -1}{\sqrt{x}} =-1 \Rightarrow x -1=-\sqrt{x}$, решений нет
      Проверка ОДЗ: $x >0$, $x \neq1$. Подходит $x=9$
      Ответ: $x=9$.


  3. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x - 1)(x + 3)}{x^2 - 7x + 12} \leq 1. \] Решение:
      Приведем к виду $\frac{(x-1)(x+3) - (x^2 -7x +12)}{x^2 -7x +12} \leq0 \Rightarrow \frac{3x -9}{(x-3)(x-4)} \leq0$
      Нули числителя: $x=3$, знаменатель: $x=3$ и $x4$
      Метод интервалов дает $x \in (-\infty; 3) \cup [3;4]$
      Ответ: $x \in (-\infty; 4)$, исключая $x=3$ (точка выколота).
    2. \[ \frac{x^2 - 4x - 5}{|x - 5|} < 7. \] Решение:
      Разбиваем на два случая:
      1. $x >5$: неравенство $\frac{(x-5)(x+1)}{x-5} <7 \Rightarrow x+1 <7 \Rightarrow x <6$. Интервал $(5;6)$
      2. $x <5$: неравенство $\frac{(x-5)(x+1)}{5-x} <7 \Rightarrow - (x+1) -7 \Rightarrow x >-8$
      Итоговое решение: $x \in (-8;5) \cup (5;6)$
      Ответ: $x \in (-8;6)$, исключая $x=5$.


  4. Построить график функции: \[ y = \frac{\sqrt{(x - 1)^2 + 4x}}{x^2 + x}. \] Решение:
    Упростим числитель: $\sqrt{(x +1)^2} = |x +1|$
    Функция принимает вид: $y = \frac{|x +1|}{x(x +1)}$
    Рассмотрим два случая:
    • $x +1 >0 \Rightarrow y = \frac{1}{x}$ (для $x >-1$, $x\neq0$)
    • $x +1 <0 \Rightarrow y = -\frac{1}{x}$ (для $x < -1$)
    График состоит из гиперболы $y=1/x$ при $x>-1$ (исключая 0) и $y=-1/x$ при $x<-1$
  5. Вода наполняет бассейн через первую трубу за 6 часов, а вторая труба опорожняет за 15 часов. Сколько часов наполнится бассейн при одновременной работе?
    Решение:
    Принимаем объем бассейна за 1:
    Скорость наполнения первой трубой: $\frac{1}{6}$ ч$^{-1}$
    Скорость опорожнения второй трубой: $\frac{1}{15}$ ч$^{-1}$
    Совместная скорость: $\frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5 -2}{30} = \frac{1}{10}$ ч$^{-1}$
    Итоговое время: $\frac{1}{1/10} =10$ часов Ответ: 10 часов
  6. Инициатор прогула Решение:
    Проанализируем варианты ответов:
    • Если инициатор Леша: тогда Саша говорит "Дима" (ложь, так как Леша). Дима говорит "Леша" (правда). Леша говорит "Дима" (ложь). Две полуправды у Саши и Леши — не подходит.
    • Если инициатор Дима: Саша говорит "Дима" (полная правда), Дима лжет оба раза, Леша говорит "Дима" (правда). Противоречит условию (должны быть двое полуправды).
    • Если инициатор Саша: Саша лжет (говорит "не я"), Дима говорит "Леша" (ложь) и "не я" (правда — полуправда). Леша говорит "Дима" (ложь) и "не я" (правда — полуправда). Это соответствует условию.
    Ответ: Саша.
  7. График уравнения $(|x| - 3)(x + |y| - 1) =0$ Решение:
    Равенство нулю достигается при:
    • $|x| =3$: вертикальные линии $x=3$ и $x=-3$
    • $x + |y| =1$: график симметричен относительно оси X, при $y \ge0$ это $x + y =1$, при $y <0$ $x - y =1$
    Ответ: Объединение линий x=±3 и области под графиком x + |y| =1
  8. Найти $a$, если наибольшее значение $f(x) = -x^2 +4x +a$ равно 2 Решение:
    Наибольшее значение достигается в вершине параболы: $x =\frac{-b}{2a} =\frac{-4}{-2}=2$
    Вычисляем $f(2) = -4 +8 +a =4 +a =2 \Rightarrow a =-2$ Ответ: $a = -2$
  9. Радиус описанной окружности треугольник ABC равен 2, расстояние от центра до AC равно 1. Найти площадь и радиус вписанной окружности. Решение:
    Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Центр окружности O лежит вне ABC. Используем формулу для площади треугольника через радиус описанной окружности: $S = \frac{abc}{4R}$. Пусть AC = a, AB=BC=b. Высота треугольника из B делит AC пополам. Составим уравнение через расстояние от O до AC и радиус окружности. После вычислений площадь треугольника равна $3\sqrt{3}$, радиус вписанной окружности $\frac{2S}{a +2b} = \sqrt{3}/2$ Ответ: Площадь $3\sqrt{3}$, радиус вписанной окружности $\frac{\sqrt{3}}{2}$
  10. Трапеция с перпендикулярными диагоналями, средняя линия 6.5, диагональ 5. Найти площадь. Решение:
    Средняя линия: $\frac{a +b}{2}=6.5 \Rightarrow a +b=13$
    Площадь трапеции при перпендикулярных диагоналях: $S = \frac{d_1 d_2}{2}$
    Из условия d1 =5, найдем d2 по теореме Пифагора: $(a -b)^2 + (a +b)^2 = d1^2 +d2^2$.
    Решение дает $d2=12$, тогда площадь $S=\frac{5 \cdot12}{2}=30$ Ответ: 30
  11. Найти 11 натуральных чисел с суммой 67 Решение:
    Минимальная сумма первых 11 натуральных чисел: 66 (1+2+…+11=66). Замена последнего числа на 12 даст сумму 67 Ответ: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12
  12. При каких a неравенство $(a +2)x^2 - (a -1)x +a -1 \geq0$ является отрезком? Решение:
    Чтобы неравенство имело решение в виде отрезка, требуется:
    • Квадратный трехчлен имеет два корня (D >0)
    • Ветви параболы направлены вверх ($a +2 >0$)
    • Решение между корнями
    Условие дискриминанта: $(a -1)^2 -4(a +2)(a -1) >0$
    Решив неравенства, получим $a \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$. Однако при a +2 >0 => a >-2. С учетом всех условий: $a \in (1; \frac{5}{4})$ Ответ: $a \in (1; \frac{5}{4})$
Материалы школы Юайти