8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2006 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2006
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2006 год


Вариант 1



  1. Упростить: \[ \left( \frac{27^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}} + 3^{\frac{1}{2}} a^{-\frac{1}{2}} \right) : \left(3 - a^{-1} \right) - \frac{2a^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}}. \]

  2. Решить уравнения:
    1. \[ \frac{11x - x^2 - 8}{2x^2 - x - 3} = \frac{x + 1}{2x - 3} + \frac{x}{x + 1}. \]

    2. \[ (x - 2)^2 + |x - 2| - 6 = 0. \]

    3. \[ \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 2 \cdot \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} = -1. \]


  3. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x - 1)(x - 2)}{x^2 + 7x + 12} \leq 1. \]

    2. \[ \frac{x^2 - 2x - 8}{|x - 4|} < 7. \]


  4. Построить график функции: \[ y = \frac{\sqrt{(x + 1)^2 - 4x}}{x^2 - x}. \]

  5. Бассейн заполняется водой, поступающей через две трубы. Одна труба может заполнить бассейн за 12 часов, а другая — за 20 часов. За сколько часов заполнится бассейн двумя трубами, работающими одновременно?

  6. Три ученика Саша, Дима и Леша прогуляли информатику. Когда их спросили, кому пришла в голову эта бессмысленная идея, они ответили следующее:
    Саша: Это не я, это была идея Димы.
    Дима: Это не я, во всем виноват Леша.
    Леша: Это не я, это Дима.
    Учитель почувствовал, что среди шести утверждений только половина — правда.
    Кто из учеников оказался инициатором прогула?

  7. Изобразить множество точек на плоскости: \[ (|y| - 3)(y + |x| - 1) = 0. \]

  8. Найти $a$, если $f(x) = x^2 - 6x + a$, и её наименьшее значение равно 1.

  9. Найти радиусы вписанной и описанной окружности для равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна 13, а высота, проведённая к основанию, равна 5.

  10. Диагонали трапеции перпендикулярны. Высота трапеции равна 4, одна из диагоналей равна 5. Найти площадь трапеции.

  11. Тринадцать различных натуральных чисел в сумме дают 92. Найти эти числа.

  12. При каких $a$ множество решений неравенства \[ (a - 3)x^2 - (a + 1)x + a + 1 \geq 0 \] является отрезком?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \left( \frac{27^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}} + 3^{\frac{1}{2}} a^{-\frac{1}{2}} \right) : \left(3 - a^{-1} \right) - \frac{2a^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}}. \] Решение: Рассмотрим отдельно каждую часть выражения: Первая дробь: $\frac{(3^{3})^{\frac{1}{2}} - (a^{\frac{1}{2}})^3}{3^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}} = 3 + a^{\frac{1}{2}}3^{\frac{1}{2}} + a$ (по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$). Второе слагаемое: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}}$. Объединяем первую дробь и второе слагаемое: \[ (3 + \sqrt{3a} + a) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}} = \frac{3\sqrt{a} + 3a + a^{3/2} + \sqrt{3}}{\sqrt{a}} \] Делим на выражение: $\frac{(3a -1)}{a}$. Упрощенная часть: \[ \frac{a^{3/2} + 3a + 3\sqrt{a} + \sqrt{3}}{3a -1} \] Последнее слагаемое: $\frac{2}{3\sqrt{a} -1}$. Итоговое упрощение: После алгебраических преобразований и сокращений выражение сводится к $\frac{1}{\sqrt{a}}$. Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}}$.

  2. Решить уравнения:
    1. \[ \frac{11x - x^2 - 8}{2x^2 - x - 3} = \frac{x + 1}{2x - 3} + \frac{x}{x + 1}. \] Решение: Приведем к общему знаменателю $(2x - 3)(x + 1)$: \[ 11x - x^2 - 8 = (x + 1)^2 + x(2x - 3) \] Упростив уравнение, получим квадратное уравнение: \[ 4x^2 - 12x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3 \pm \sqrt{9 -5}}{2} = \frac{3 \pm 2}{2}, \] Корни: $x = 2,5$ (вне ОДЗ) и $x = 0,5$. Ответ: $x = 0,5$.
    2. \[ (x - 2)^2 + |x - 2| - 6 = 0. \] Решение: Замена $t = |x -2|$, уравнение принимает вид: \[ t^2 + t -6 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 2 \text{ или } t = -3 \text{ (не подходит)} \] Возвращаемся к исходной переменной: \[ |x -2| = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \text{ или } x =0. \] Ответ: $x =0$, $x =4$.
    3. \[ \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 2 \cdot \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} = -1. \] Решение: Замена $y = \frac{x}{\sqrt{1 -x^2}}$, уравнение примет вид: \[ y - \frac{2}{y} = -1 \quad \Rightarrow \quad y^2 + y -2 =0 \quad \Rightarrow \quad y=1 \text{ или } y=-2. \] Возвращаясь к $x$: Для $y=1$: \[ \frac{x}{\sqrt{1 -x^2}} =1 \quad \Rightarrow \quad x= \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.


  3. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x - 1)(x - 2)}{x^2 + 7x + 12} \leq 1. \] Решение: Приводим к виду: \[ \frac{(x -5)(x +4)}{(x +3)(x +4)} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x -5}{x +3} \leq 0 \text{ при } x \neq -4. \] Ответ: $x \in [-3;5]$, исключая $x=-4$.
    2. \[ \frac{x^2 - 2x - 8}{|x - 4|} <7. \] Решение: Рассмотрим случаи:
      При $x >4$: \[ x +2 <7 \quad \Rightarrow \quad x <5 \quad \Rightarrow \quad x \in (4;5). \] При $x <4$: \[ \frac{(x -4)(x +2)}{-(x -4)} <7 \quad \Rightarrow \quad - (x +2) -9. \] Ответ: $x \in (-9;4) \cup (4;5)$.


  4. Построить график функции: \[ y = \frac{\sqrt{(x +1)^2 -4x}}{x^2 -x} = \frac{|x -1|}{x(x -1)}. \] Решение: Упрощаем выражение: $ y = \frac{|x -1|}{x(x -1)} = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x > 1 \\ -\frac{1}{x}, & x < 0 \\, & x = 0 \text{ или } x = 1 \end{cases} $
  5. Бассейн заполняется через две трубы: первая за 12 часов, вторая за 20 часов. Совместная скорость работы: $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{2}{15}$ бассейна/час. Время заполнения: $\frac{15}{2} =7,5$ часов. Ответ: 7,5 часов.
  6. Логическая задача о прогульщиках. Проанализировав высказывания и условие "три правды из шести", получаем, что Саша и Дима оба солгали. Истинным инициатором прогула оказался Леша. Ответ: Леша.
  7. Множество точек на плоскости: \[ (|y| -3)(y + |x| -1) =0 \quad \Rightarrow \quad |y| =3 \text{ или } y =1 -|x|. \] Ответ: Прямые $y=3$, $y=-3$ и "галочка" $y=1 -|x|$.
  8. Функция $f(x) =x^2 -6x +a$ достигает минимума в вершине параболы при $x = -\frac{b}{2a} =3$. Подставляем $x=3$: $f(3)=9 -18 +a =1 \Rightarrow a=10$. Ответ: $a=10$.
  9. Равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 и высотой 5. Основание: $2\sqrt{13^2 -5^2}=24$. Полупериметр $p =25$. Радиусы:
    Вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{60}{25}=2,4$ см,
    Описанной окружности $R = \frac{abc}{4S} =\frac{13 \cdot 13 \cdot 24}{4 \cdot 60}=16,9$ см. Ответ: $r=2,4$ см, $R=16,9$ см.
  10. Площадь трапеции с перпендикулярными диагоналями равна $\frac{d_1 d_2}{2}$. Зная одну диагональ $d_1=5$, требуется найти $d_2$. Используя соотношение высоты трапеции и диагоналей, находим $d_2 =8$. Площадь: $\frac{5 \cdot8}{2}=20$. Ответ: 20.
  11. Сумма натуральных чисел: $1+2+\dots+14=105$ превышает 92. Используя минимальные значения: $1+2+\dots+12=78$, затем добавляем 14: сумма станет 92. Ответ: $1,2,3,\dots,12,14$.
  12. Неравенство $(a -3)x^2 -(a +1)x +a +1 \geq0$ должно иметь решения в виде отрезка. Для этого необходимо:
    Дискриминант: $D = (a +1)^2 -4(a -3)(a +1) >0$,
    Coefficient перед $x^2$: $a -3 <0$,
    Решая систему, получаем $a \in (-1;3)$. Ответ: $a \in (-1;3)$.
Материалы школы Юайти