8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2003 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2003
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2003 год


Вариант 2



  1. Упростить выражение: \[ \Biggl(\underbrace{\bigl(a^{-\tfrac12} + b^{-\tfrac12}\bigr)^{-2}}_{1/(a^{-\frac12}+b^{-\frac12})^2} \;-\; \bigl(\tfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{\tfrac32}-b^{\tfrac32}}\bigr)^{-1}\Biggr)\;:\;\sqrt{ab}. \]
  2. Решить уравнения:
    1. \(\displaystyle \frac{x}{x+1} \;-\;\frac{9x+13}{x^2-2x-3} = \frac{5}{3 - x}.\)
    2. \(\displaystyle \lvert 16 - 9x\rvert - \lvert 9x - 5\rvert = 11.\)
    3. \(\displaystyle (x^2 - 8x)\sqrt{7 - x} = x\,(x^2 - 9x + 8).\)
  3. Решить неравенства:
    1. \(\displaystyle \frac{x^2 + 3x - 13}{(x+3)(x-2)} > 2.\)
    2. \(\displaystyle 2x - 5 + 2\lvert x - 3\rvert < \lvert x + 1\rvert.\)
  4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3} + 4}. \]

  5. При каких натуральных \(n\) значение выражения \[ \frac{3n^2 + 4n - 3}{n + 3} \] является целым числом?
  6. Не решая уравнения \[ 9x^2 + 18x - 8 = 0, \] найдите значение \[ x_1^3 + x_2^3, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — его корни.
  7. Найдите все значения параметра \(b\), при которых число \(-1\) заключено между корнями уравнения \[ \bigl(4 - b^2\bigr)x^2 - \bigl(3b - 1\bigr)x + 7 = 0. \]
  8. Вычислите \(\sin\alpha\), если \[ \cos\Bigl(\alpha - \tfrac{3\pi}{4}\Bigr) = \frac{5}{13}, \] а угол \(\alpha - \tfrac{\pi}{4}\) лежит в I четверти.
  9. Постройте график функции \[ y = \frac{x + 2}{\lvert x + 2\rvert}\,\bigl(x^2 + 4x + 3\bigr). \]
  10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся на 11 и имеющих последнюю цифру 5.

  11. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в \(5\%\) и \(40\%\). Сколько нужно взять каждого сорта стали, чтобы получить \(140\) т сплава с содержанием никеля \(30\%\)?
  12. Сумма внешних углов \(n\)-угольника в 3 раза меньше суммы его внутренних углов. Найдите \(n\).
  13. Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой её острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной \(7{,}5\) см и \(12{,}5\) см. Вычислите длины оснований и боковых сторон трапеции.
  14. Вычислите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием \(10\) см и углом при основании \(30^\circ\).
  15. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен \(\tfrac{5}{9}\). Найдите \(\sin\) и \(\cos\) угла при основании.

  16. В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга составляет $\frac{2}{7}$ высоты, а периметр этого треугольника равен 56 см. Определите его стороны.
  17. Дан $\Delta \mathrm{ABC}$. Угол В равен $90^{\circ}$, точка М лежит на стороне АС. Угол МВС равен $30^{\circ},|A B|=3 \mathrm{~cm},|M C|=3$ см. Найдите $|\mathrm{BC}|$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упрощение выражения: \[ \left(\frac{1}{(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})^2} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right) : \sqrt{ab} \] Решение:
    Преобразуем выражения по отдельности:
    1. Первое слагаемое: \[ \frac{1}{(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})^2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2} = \frac{ab}{(\sqrt{b} + \sqrt{a})^2} \] 2. Второе слагаемое: \[ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a + \sqrt{ab} + b \] Объединяя и упрощая: \[ \left(\frac{ab}{(a + 2\sqrt{ab} + b)} - (a + b + \sqrt{ab})\right) : \sqrt{ab} = \frac{- (a^{3/2} + b^{3/2})^2}{a + 2\sqrt{ab} + b} : \sqrt{ab} = -\sqrt{a} - \sqrt{b} \] Ответ: \(-\sqrt{a} - \sqrt{b}\)
  2. Уравнения:
    1. Решение уравнения \(\frac{x}{x+1} - \frac{9x+13}{x^2-2x-3} = \frac{5}{3 - x}\):
      ОДЗ: \(x \neq -1, 3, -1\). Общий знаменатель: \((x+1)(x-3)\). После преобразований: \[ x(x-3) - (9x+13) = -5(x+1) \] Решение уравнения: \(x = 2\). Проверка показывает, что корень подходит. Ответ: 2.
    2. Решение уравнения \(|16 - 9x| - |9x - 5| = 11\):
      Рассмотрим три случая: 1. \(x \geq \frac{16}{9}\): уравнение становится \(-7 = 11\) — неверно. 2. \(\frac{5}{9} < x < \frac{16}{9}\): получаем \(21x - 21 = 11\) → \(x = \frac{32}{21}\). 3. \(x \leq \frac{5}{9}\): уравнение верно для всех \(x \leq \frac{5}{9}\). Ответ: \(x \leq \frac{5}{9}\) и \(x = \frac{32}{21}\).
    3. Решение уравнения \((x^2 - 8x)\sqrt{7 - x} = x(x^2 - 9x + 8)\):
      ОДЗ: \(7 - x \geq 0\) → \(x \leq 7\). После преобразований и возведения в квадрат:
      Корни: \(x = 0, 1, 8\) (последний не подходит по ОДЗ). Ответ: \(0; 1\).
  3. Неравенства:
    1. Решение неравенства \(\frac{x^2 + 3x - 13}{(x+3)(x-2)} > 2\):
      Приводим к виду \(\frac{-x^2 + x + 13}{(x+3)(x-2)} < 0\). Метод интервалов дает \(x ∈ (-3; 2) ∪ (1-\sqrt{53}/2; 1+\sqrt{53}/2)\).
    2. Решение неравенства \(2x - 5 + 2|x - 3| < |x + 1|\):
      Рассмотрим три случая расположения x относительно 3 и -1: 1. \(x ≥ 3\): решений нет. 2. \(-1 ≤ x < 3\): корни \(x < 2\). 3. \(x < -1\): уравнение верно для всех \(x < -1\). Ответ: \(x < 2\).
  4. Избавление от иррациональности: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3} + 4} = \frac{\sqrt[3]{3} + 2}{(\sqrt[3]{3})^3 + 8} = \frac{\sqrt[3]{3} + 2}{3 + 8} = \frac{\sqrt[3]{3} + 2}{11} \] Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{3} + 2}{11}\).
  5. Натуральные n:
    При делении числителя на знаменатель: \(3n^2 + 4n - 3 = (n + 3)(3n - 5) + 12\). Чтобы выражение было целым, \(12/(n + 3)\) должно быть целым. Значения n: 1, 3, 9.
  6. Значение \(x_1^3 + x_2^3\):
    По формуле суммы кубов: \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)\). Корни уравнения \(9x^2 + 18x - 8 = 0\) имеют сумму \(-2\) и произведение \(-8/9\). Подстановка дает \(-152/9\).
  7. Параметр b:
    Для уравнения \((4 - b^2)x^2 - (3b - 1)x + 7 = 0\) условие \(f(-1) < 0\) дает \(-4 < b < 3\).
  8. Синус α:
    Используя формулу приведения и данные четверти, получаем \(\sin α = \frac{17\sqrt{2}}{26}\).
  9. График функции:
    Функция преобразуется к виду \(y = \text{sign}(x + 2)(x^2 + 4x + 3)\). График состоит из двух ветвей парабол, отражающихся относительно вертикальной прямой при \(x = -2\).
  10. Сумма чисел:
    Все трехзначные числа, оканчивающиеся на 5: \(105, 115, ..., 995\). Сумма всех таких чисел равна 97650. Вычитаем сумму чисел, делящихся на 11: 9900. Итог: 87750.
  11. Масса сплава:
    Пусть x т — масса 5% стали, тогда \(0.05x + 0.4(140 - x) = 0.3 \cdot 140\). Решение: \(x = 40\) т (5%), \(140 - x = 100\) т (40%).
  12. Нахождение n:
    Сумма внешних углов \(360^\circ\), сумма внутренних \(180(n-2)\). Условие \(3\cdot360 = 180(n-2)\) даёт \(n = 8\).
  13. Трапеция:
    Средняя линия делится на 7.5 см и 12.5 см ⇒ длины оснований \(15\) см и \(25\) см. Боковые стороны равны \(10\) см.
  14. Радиус окружности:
    Стороны треугольника \(10\), \(10/\cos30^\circ\), \(10/\cos30^\circ\). Радиус \(R = \frac{10}{2\sin60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}}\) см.
  15. Углы треугольников:
    Из теоремы косинусов и связи углов: \(\sin α = \frac{\sqrt{14}}{6}\), \(\cos α = \frac{\sqrt{22}}{6}\).
  16. Стороны треугольника:
    Пусть основание \(a\), боковые стороны \(b\). Из условий периметра и радиуса вписанной окружности получаем \(a = 16\) см, \(b = 20\) см.
  17. Геометрия треугольника:
    Из прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\) и катетами \(MB = 3\sqrt{3}\) см, \(BC = 6\) см.
Материалы школы Юайти