Лицей №239 из 9 в 10 класс 2003 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2003 год

Вариант 1

1. Упростить выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \;:\; \Bigl(\bigl(x^{\tfrac14} - y^{\tfrac14}\bigr)^{-1} + \bigl(x^{\tfrac14} + y^{\tfrac14}\bigr)^{-1}\Bigr)^{-2}. \]
2. Решить уравнения:
   1. \(\displaystyle \frac{44}{4 - x^2} + \frac{2x + 7}{x - 2} = \frac{3 - x}{x + 2}.\)
   2. \(\displaystyle \lvert 7x - 12\rvert - \lvert 7x - 11\rvert = 1.\)
   3. \(\displaystyle (x + 1)\sqrt{1 + 4x - x^2} = x^2 - 1.\)
3. Решить неравенства:
   1. \(\displaystyle \frac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 + 7x + 12} \le 1.\)
   2. \(\displaystyle 1.5x - \lvert x\rvert + \lvert 2x - 4\rvert \ge 4.\)
4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1}. \]
   
   
5. При каких натуральных \(n\) значение выражения \[ \frac{2n^2 + 5n - 5}{n + 1} \] является целым числом?
6. Не решая уравнения \[ 2x^2 - 3x - 11 = 0, \] найдите \[ \frac{x_2}{1 + x_1} \;+\; \frac{x_1}{1 + x_2}, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — его корни.
7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых корни уравнения \[ (a^2 - 1)x^2 + (2a + 1)x - 3 = 0 \] лежат по разные стороны от точки \(x_0 = 1\).
8. Вычислите \(\cos\alpha\), если \[ \sin\Bigl(\alpha + \frac{\pi}{6}\Bigr) = -\frac{13}{14}, \] а угол \(\alpha - \frac{\pi}{3}\) находится в III четверти.
9. Постройте график функции \[ y = \frac{\lvert x - 2\rvert}{2 - x}\,\bigl(x^2 - 2x\bigr). \]
10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся на 7 и имеющих последнюю цифру 3.
    
    
11. Сплавлено 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой пробы, и получено золото 62-й пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61-й пробы?
12. Сумма внешних углов n-угольника равна сумме его внутренних углов. Вычислите \(n\).
13. Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 18 см. Вычислите длину её средней линии.
14. Вычислите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 20 см, а угол при вершине равен \(40^\circ\).
15. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен \(\tfrac{7}{9}\). Найдите \(\sin\) и \(\cos\) угла при основании.
    
    
16. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту на отрезки в отношении \(12:5\), а боковая сторона равна \(60\) см. Определите длину основания.
17. В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) прямой (\(90^\circ\)), точка \(M\) лежит на стороне \(AC\). Известно, что \(\angle MBC = 30^\circ\), \(MC = 2\) см, \(AB = 2\) см. Найдите длину \(BC\).

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \;:\; \Bigl(\bigl(x^{\tfrac14} - y^{\tfrac14}\bigr)^{-1} + \bigl(x^{\tfrac14} + y^{\tfrac14}\bigr)^{-1}\Bigr)^{-2} \] Решение:
   Упростим первую дробь: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \] Упростим выражение в скобках: \[ \frac{1}{x^{\tfrac14} - y^{\tfrac14}} + \frac{1}{x^{\tfrac14} + y^{\tfrac14}} = \frac{x^{\tfrac14} + y^{\tfrac14} + x^{\tfrac14} - y^{\tfrac14}}{(x^{\tfrac14})^2 - (y^{\tfrac14})^2} = \frac{2x^{\tfrac14}}{x^{\tfrac12} - y^{\tfrac12}} \] Тогда выражение принимает вид: \[ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) : \left(\frac{2x^{\tfrac14}}{x^{\tfrac12} - y^{\tfrac12}}\right)^{-2} = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \frac{(x^{\tfrac12} - y^{\tfrac12})^2}{4x^{\tfrac12}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3}{4\sqrt{x}} \] Ответ: \(\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3}{4\sqrt{x}}\).
   
   
2. Решить уравнения:
   1. \(\frac{44}{4 - x^2} + \frac{2x + 7}{x - 2} = \frac{3 - x}{x + 2}\).
      Решение:
      Общий знаменатель: \((x - 2)(x + 2)\). Приводим к общему знаменателю: \[ 44 - (2x + 7)(x + 2) = (3 - x)(x - 2) \] Раскрываем скобки: \[ 44 - 2x^2 - 11x - 14 = -x^2 + 5x - 6 \] Упрощаем: \[ x^2 + 16x - 36 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ (посторонний корень)}, \quad x = -18 \] Ответ: \(-18\).
      
      
   2. \(|7x - 12| - |7x - 11| = 1\).
      Решение:
      Рассмотрим случаи:
      1. \(7x - 11 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{11}{7}\)
         Тогда уравнение: \((7x - 12) - (7x - 11) = -1 = 1\) — неверно.
      2. \(7x - 12 \le 0 \le 7x - 11 \Rightarrow \frac{11}{7} \le x < \frac{12}{7}\)
         Уравнение: \(-(7x - 12) - (7x - 11) = -14x + 23 = 1 \Rightarrow x = \frac{11}{7}\)
      3. \(7x - 12 < 0\) — аналогичный разбор не даёт решений.
      Ответ: \(\frac{11}{7}\).
      
      
   3. \((x + 1)\sqrt{1 + 4x - x^2} = x^2 - 1\).
      Решение:
      ОДЗ: \(1 + 4x - x^2 \ge 0 \Rightarrow x \in [2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]\).
      Возводим в квадрат: \[ (x + 1)^2(1 + 4x - x^2) = (x^2 - 1)^2 \] Раскрываем и сокращаем: \[ 5x^2 + 8x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{5} \Rightarrow x = \frac{2}{5}, \; x = -2 \] Проверка: \(x = \frac{2}{5}\) подходит, \(x = -2\) — посторонний.
      Ответ: \(\frac{2}{5}\).
   
   
   
3. Решить неравенства:
   1. \(\frac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 + 7x + 12} \le 1\).
      Решение:
      Приводим к виду \(\frac{x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12}{x^2 + 7x + 12} \le 0 \Rightarrow \frac{-4x - 10}{(x + 3)(x + 4)} \le 0\).
      Метод интервалов: \(x \in (-\infty, -4) \cup [-2.5, -3)\).
      Ответ: \((-\infty, -4) \cup [-2.5, -3)\).
      
      
   2. \(1.5x - |x| + |2x - 4| \ge 4\).
      Решение:
      Рассмотрим случаи:
      • \(x < 0\): \(-0.5x + (-2x + 4) \ge 4 \Rightarrow x \le 0\)
      • \(0 \le x < 2\): \(0.5x + (-2x + 4) \ge 4 \Rightarrow x \le 0\)
      • \(x \ge 2\): \(0.5x + (2x - 4) \ge 4 \Rightarrow x \ge \frac{8}{2.5} = 3.2\)
      Ответ: \((-\infty, 0] \cup [3.2, +\infty)\).
   
   
   
4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1} \] Решение:
   Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt[3]{5} - 1\): \[ \frac{\sqrt[3]{5} - 1}{(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1)(\sqrt[3]{5} - 1)} = \frac{\sqrt[3]{5} - 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt[3]{5} - 1}{4} \] Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{5} - 1}{4}\).
   
   
5. При натуральных \(n\) значение выражения \(\frac{2n^2 + 5n - 5}{n + 1}\) целое.
   Решение:
   Выделим целую часть: \[ 2n^2 + 5n - 5 = 2n(n + 1) + 3n - 5 \Rightarrow \frac{3n - 5}{n + 1} = 3 - \frac{8}{n + 1} \] \(\frac{8}{n + 1}\) должно быть целым. Значит \(n + 1 = 1, 2, 4, 8\).
   Ответ: \(n = 0, 1, 3, 7\) (натуральные: 1, 3, 7).
   
   
6. Вычислить \(\frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2}\) для уравнения \(2x^2 - 3x - 11 = 0\).
   Решение:
   По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = \frac{3}{2}\), \(x_1x_2 = -\frac{11}{2}\).
   Подставляем: \[ \frac{x_2(1 + x_2) + x_1(1 + x_1)}{(1 + x_1)(1 + x_2)} = \frac{x_1 + x_2 + x_1^2 + x_2^2}{1 + x_1 + x_2 + x_1x_2} = \frac{17}{/4} \] Ответ: \(\frac{17}{4}\).
   
   
7. Корни уравнения \((a^2 - 1)x^2 + (2a + 1)x - 3 = 0\) лежат по разные стороны от 1.
   Решение:
   Условие: \(f(1) < 0\): \[ (a^2 - 1)1 + (2a + 1)1 - 3 = a^2 + 2a - 3 < 0 \Rightarrow a \in (-3, 1) \] Ответ: \(a \in (-3, 1)\).
   
   
8. Найти \(\cos\alpha\) при \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{13}{14}\) и \(\alpha - \frac{\pi}{3}\) в III четверти.
   Решение:
   \(\alpha + \frac{\pi}{6} \in\) IV четверть. Раскрываем синус суммы, находим \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{27}}{14}\). Используем формулу: \[ \cos\alpha = \cos\left[\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6}\right] = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6} + \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{13\sqrt{3}}{28} \] Ответ: \(-\frac{13\sqrt{3}}{28}\).
   
   
9. Построить график \(y = \frac{|x - 2|}{2 - x}(x^2 - 2x)\).
   Решение:
   При \(x > 2\): \(y = \frac{x - 2}{2 - x}(x^2 - 2x) = -x(x - 2)\).
   При \(x < 2\): \(y = \frac{2 - x}{2 - x}(x^2 - 2x) = x(x - 2)\).
   График состоит из двух ветвей параболы с выколотой точкой при \(x = 2\).
   
   
10. Сумма трёхзначных чисел с последней цифрой 3 и не делящихся на 7.
    Решение:
    Числа вида \(100a + 10b + 3\), где \(a \in 1-9\), \(b \in 0-9\). Исключаем числа, кратные 7. Сумма всех чисел: \(103 + 113 + ... + 993 = \frac{90(103 + 993)}{2} = 49410\). Сумма кратных 7: аналогично вычитаем их сумму. Ответ: \(49410 - ...\).
    
    
11. Пробы золота: пусть \(x\) и \(y\) — пробы. Система: \[ \frac{40x + 60y}{100} = 62, \quad \frac{20x + 20y}{40} = 61 \] Решение: \(x + y = 122\), \(40x + 60y = 6200 \Rightarrow x = 60\), \(y = 62\).
    Ответ: 60 и 62.
    
    
12. Сумма внешних углов равна сумме внутренних.
    Решение:
    Сумма внешних углов: 360°. Сумма внутренних: \(180(n - 2)\).
    \(180(n - 2) = 360 \Rightarrow n = 4\).
    Ответ: 4.
    
    
13. Средняя линия описанной трапеции: равна полупериметру. Ответ: \(\frac{18}{2} = 9\) см.
    
    
14. Радиус окружности около равнобедренного треугольника с углом 40°:
    По теореме синусов: \(R = \frac{20}{2\sin 40°} = \frac{10}{\sin 40°}\).
    
    
15. Косинус угла при вершине \(\alpha = \arccos\frac{7}{9}\). Углы при основании: \(\frac{\pi - \alpha}{2}\).
    \(\sin\frac{\pi - \alpha}{2} = \sin\frac{\arccos\frac{7}{9}}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{9}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\),
    Ответ: \(\sin = \frac{2\sqrt{2}}{3}\), \(\cos = \frac{1}{3}\).
    
    
16. Основание треугольника: отношение радиусов 12:5. Высота \(h = 12k + 5k = 17k\). Радиус \(r = 5k\). Формула радиуса \(r = \frac{S}{p}\).
    Ответ: основание 64 см.
    
    
17. В треугольнике \(ABC\): \(\angle MBC = 30°\), \(MC = 2\), \(AB = 2\). Используем теорему синусов в треугольниках \(ABM\) и \(MBC\). Ответ: \(BC = 2\sqrt{3}\) см.