Лицей №239 из 9 в 10 класс 2002 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2002 год
Вариант 2
- Упростить при \(1 \le a < 2\): \[ \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{a-1}}{1 - \sqrt{a-1}}. \]
- Найдите число \(N\), если \(9\) составляет \(75\%\) от \(N + 3\).
- Найдите наибольшее значение функции \[ y = -x + 4\sqrt{x} - 5. \]
- Для каких натуральных \(n\) число \(\sqrt{52 - n^2}\) будет целым?
- Решите уравнение: \[ \frac{1 - 2x}{x - 1} = -\frac{2}{x^2 - 1}. \]
- Найдите оси симметрии графика функции: \[ y = \lvert x - 1\rvert + \lvert x - 3\rvert. \]
- Решите уравнение: \[ x^2 - 2x + \sqrt{x^2 - 2x + 8} = 12. \]
- Решите неравенство: \[ \frac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 1)^2} \ge 0. \]
- Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x + 2\rvert - 1\bigr| = -x. \]
- Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 + 3xy = 1,\\ y - x = 1. \end{cases} \]
- Найдите функцию \(f(x)\), если \(f(2x+3)=4x+5\).
- При каких значениях \(a\) уравнение \[ 2a x^2 + (10 + a)x - a - 5 = 0 \] имеет ровно один корень?
- Решите неравенство: \[ \lvert x^2 - 16 \rvert \le 8 + 2x. \]
- При каких значениях \(t\) векторы \(\vec{a} = (1; -t)\) и \(\vec{b} = (2 - t; t)\) имеют равные длины?
- Для окружности, заданной уравнением \[ x^2 + y^2 + 6x - 4y + 2 = 0, \] найдите её центр и радиус.
- Вычислите: \[ \cot 140^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 135^\circ. \]
- Третий член арифметической прогрессии равен 21, а девятый — 51. Сколько первых членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма равнялась 363?
- Найдите \(\cot\alpha\), если \(\sin\alpha = \tfrac{5}{13}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).
- В равнобедённом треугольнике высота, опущенная на основание, равна 10, а основание относится к боковой стороне как \(3:4\). Найдите радиус вписанной окружности.
- Диагонали ромба равны 24 и 10 см. Найдите высоту ромба.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить при \(1 \le a < 2\):
\[
\frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{a-1}}{1 - \sqrt{a-1}}.
\]
Решение: Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя \(1 + \sqrt{a-1}\):
\[
\frac{(\sqrt{a} - 2\sqrt{a-1})(1 + \sqrt{a-1})}{(1)^2 - (\sqrt{a-1})^2} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{a-1} - 2\sqrt{a-1} - 2(a-1)}{2 - a}.
\]
Упрощая числитель и учитывая замену \(t = \sqrt{a-1}\), получаем \(\sqrt{a} + \sqrt{a-1}\).
Ответ: \(\sqrt{a} + \sqrt{a-1}\).
- Найдите число \(N\), если \(9\) составляет \(75\%\) от \(N + 3\):
Решение: \[ 0.75(N + 3) = 9 \quad \Rightarrow \quad N + 3 = 12 \quad \Rightarrow \quad N = 9. \] Ответ: 9.
- Найдите наибольшее значение функции:
\[
y = -x + 4\sqrt{x} - 5.
\]
Решение: Замена \(t = \sqrt{x}\). Функция принимает вид:
\[
y = -t^2 + 4t - 5.
\]
Вершина параболы при \(t = 2\):
\[
y_{\text{наиб}} = -2^2 + 4 \cdot 2 - 5 = -1.
\]
Ответ: \(-1\).
- Найдите натуральные \(n\), для которых \(\sqrt{52 - n^2}\) целое:
Решение: \(52 - n^2 = k^2 \quad \Rightarrow \quad n^2 + k^2 = 52\).
Подходящие пары \((n, k)\): \((4, 6)\), \((6, 4)\).
Ответ: \(4\), \(6\).
- Решите уравнение:
\[
\frac{1 - 2x}{x - 1} = -\frac{2}{x^2 - 1}.
\]
Решение: Приведение к общему знаменателю:
\[
(1 - 2x)(x + 1) + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + x - 3 = 0.
\]
Корни: \(x = -1.5\), исключая посторонние.
Ответ: \(-1.5\).
- Найдите оси симметрии графика функции:
\[
y = \lvert x - 1\rvert + \lvert x - 3\rvert.
\]
Решение: График симметричен относительно прямой \(x = 2\).
Ответ: \(x = 2\).
- Решите уравнение:
\[
x^2 - 2x + \sqrt{x^2 - 2x + 8} = 12.
\]
Решение: Замена \(t = x^2 - 2x\):
\[
t + \sqrt{t + 8} = 12 \quad \Rightarrow \quad t = 8, \quad x^2 - 2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = -2, 4.
\]
Ответ: \(-2\), \(4\).
- Решите неравенство:
\[
\frac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 1)^2} \ge 0.
\]
Решение: Метод интервалов:
Ответ: \(x \in (-\infty, -3] \cup [-2, -1) \cup (-1, \infty)\).
- Решите уравнение:
\[
\bigl|\lvert x + 2\rvert - 1\bigr| = -x.
\]
Решение: Учёт области определения и раскрытие модулей:
\[
x \le 0, \quad | |x + 2| - 1 | = -x \quad \Rightarrow \quad x = -0.5.
\]
Ответ: \(-0.5\).
- Решите систему:
\[
\begin{cases}
x^2 + 3xy = 1,\\
y - x = 1.
\end{cases}
\]
Решение: Подстановка \(y = x + 1\):
\[
4x^2 + 3x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.25, -1 \quad \Rightarrow \quad y = 1.25, 0.
\]
Ответ: \((0.25; 1.25)\), \((-1; 0)\).
- Найдите функцию \(f(x)\), если \(f(2x+3)=4x+5\):
Решение: Замена \(t = 2x + 3\): \[ f(t) = 2t - 1 \quad \Rightarrow \quad f(x) = 2x - 1. \] Ответ: \(f(x) = 2x - 1\).
- При каких \(a\) уравнение имеет 1 корень:
\[
2a x^2 + (10 + a)x - a - 5 = 0.
\]
Решение: Дискриминант равен нулю:
\[
9a^2 + 60a + 100 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{10}{3}.
\]
Также при \(a = 0\) (линейное уравнение).
Ответ: \(a = 0\), \(-\frac{10}{3}\).
- Решите неравенство:
\[
\lvert x^2 - 16 \rvert \le 8 + 2x.
\]
Решение: Рассмотрение двух случаев:
Ответ: \(x \in [-4, 6]\).
- При каких \(t\) векторы \(\vec{a} = (1; -t)\) и \(\vec{b} = (2 - t; t)\) равны по длине:
Решение: \[ 1 + t^2 = (2 - t)^2 + t^2 \quad \Rightarrow \quad t = 1, 3. \] Ответ: \(1\), \(3\).
- Найдите центр и радиус окружности:
\[
x^2 + y^2 + 6x - 4y + 2 = 0.
\]
Решение: Выделение полных квадратов:
\[
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 11 \quad \Rightarrow \quad \text{Центр } (-3, 2), \text{ радиус } \sqrt{11}.
\]
Ответ: \((-3, 2)\), \(\sqrt{11}\).
- Вычислите:
\[
\cot 140^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 135^\circ.
\]
Решение: Использование тригонометрических тождеств:
\[
\cot 140^\circ = -\tan 50^\circ, \quad \tan 135^\circ = -1 \quad \Rightarrow \quad \tan 50^\circ \cdot \cot 50^\circ = 1.
\]
Ответ: \(1\).
- Сколько членов прогрессии дают сумму 363:
Решение: Система уравнений для арифметической прогрессии: \[ a_3 = 21, \quad a_9 = 51 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 11, \quad d = 5. \] Уравнение суммы: \[ \frac{(22 + 5(n - 1))n}{2} = 363 \quad \Rightarrow \quad 5n^2 + 17n - 726 = 0. \] Ответ: \(n = 11\).
- Найдите \(\cot\alpha\) при \(\sin\alpha = \frac{5}{13}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\):
Решение: \[ \cos\alpha = -\frac{12}{13} \quad \Rightarrow \quad \cot\alpha = -\frac{12}{5}. \] Ответ: \(-\frac{12}{5}\).
- Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника:
Решение: Стороны \(3k\), \(4k\). Высота \(10\): \[ \text{Площадь } S = 15k, \quad \text{Полупериметр } p = \frac{11k}{2} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{30}{11}. \] Ответ: \(\frac{30}{11}\).
- Высота ромба:
Решение: Сторона ромба \(13\), площадь \(120\): \[ h = \frac{120}{13}. \] Ответ: \(\frac{120}{13}\).
Материалы школы Юайти