8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2002 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2002
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2002 год


Вариант 1



  1. Упростить при \(a>2\): \[ \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{a-1}}{1 - \sqrt{a-1}}. \]
  2. Найдите число \(N\), если \(6\) составляет \(40\%\) от \(N+5\).
  3. Найдите наибольшее значение функции \[ y = -x + 2\sqrt{x} - 2. \]
  4. Для каких натуральных \(n\) число \(\sqrt{50 - n^2}\) будет целым?
  5. Решите уравнение: \[ \frac{2x + 1}{1 + x} = \frac{2}{x^2 - 1}. \]
  6. Найдите оси симметрии графика функции \[ y = \lvert x + 1\rvert + \lvert x + 3\rvert. \]
  7. Решите уравнение: \[ x^2 + 2x + \sqrt{x^2 + 2x + 8} = 12. \]
  8. Решите неравенство: \[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)^2} \ge 0. \]
  9. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x - 2\rvert - 1\bigr| = x. \]
  10. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 + 3xy = 1,\\ x - y = 1. \end{cases} \]

  11. Найдите функцию \(f(x)\), если \(f(2x - 3) = 4x - 5\).
  12. При каких значениях \(a\) уравнение \[ 2a x^2 + (10 - a)x - a + 5 = 0 \] имеет ровно один корень?
  13. Решите неравенство: \[ \bigl|x^2 - 16\bigr| \le 8 - 2x. \]
  14. При каких значениях \(t\) векторы \(\vec a = (1; t)\) и \(\vec b = (t+2; -t)\) имеют равные длины?
  15. Для окружности, заданной уравнением \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0, \] найдите центр и радиус.
  16. Вычислите: \[ \cot160^\circ \cdot \tan20^\circ \cdot \cot135^\circ. \]
  17. Третий член арифметической прогрессии равен 10, а восьмой — 30. Сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма равнялась 242?
  18. Найдите \(\tan\alpha\), если \(\cos\alpha = -\tfrac{5}{13}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).
  19. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание относится к боковой стороне как \(4:3\). Найдите радиус вписанной окружности.
  20. Диагонали ромба равны 14 и 48 см. Найдите высоту ромба.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить при \(a>2\): \[ \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{a-1}}{1 - \sqrt{a-1}}. \]
    Решение: Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: \[ \frac{(\sqrt{a} - 2\sqrt{a-1})(1 + \sqrt{a-1})}{(1 - \sqrt{a-1})(1 + \sqrt{a-1})} = \frac{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a-1}) - 2\sqrt{a-1}(1 + \sqrt{a-1})}{1 - (a-1)} = \] \[ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{a-1} - 2\sqrt{a-1} - 2(a-1)}{-a + 2} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a^2 - a} - 2\sqrt{a-1} - 2a + 2}{-a + 2} \] Подстановкой \(a = (\sqrt{a-1})^2 + 1\) получаем упрощение: \[ \frac{\sqrt{a} + (\sqrt{a-1} + 1)\sqrt{a-1} - 2\sqrt{a-1} - 2a + 2}{-a + 2} = \frac{\sqrt{a} + a - 1 - 2\sqrt{a-1} - 2a + 2}{-a + 2} = \frac{(-a + \sqrt{a} - 2\sqrt{a-1} + 1)}{-a + 2} = -1 \] Ответ: \(-1\).

  2. Найдите число \(N\), если \(6\) составляет \(40\%\) от \(N+5\).
    Решение: \[ 0.4(N + 5) = 6 \implies N + 5 = \frac{6}{0.4} = 15 \implies N = 10 \] Ответ: \(10\).

  3. Найдите наибольшее значение функции \[ y = -x + 2\sqrt{x} - 2. \]
    Решение: Замена \(t = \sqrt{x}\) (\(t \geq 0\)), тогда: \[ y = -t^2 + 2t - 2 \] График — парабола ветвями вниз. Вершина при \(t = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1\): \[ y_{max} = -1^2 + 2\cdot1 - 2 = -1 \] Ответ: \(-1\).

  4. Для каких натуральных \(n\) число \(\sqrt{50 - n^2}\) будет целым?
    Решение: Пусть \(k = \sqrt{50 - n^2}\), где \(k \in \mathbb{N}\). Тогда: \[ n^2 + k^2 = 50 \] Натуральные решения: \(n=1, k=7\) (\(1+49\)); \(n=5, k=5\) (\(25 + 25\)); \(n=7, k=1\) (\(49 + 1\)).
    Ответ: \(1, 5, 7\).

  5. Решите уравнение: \[ \frac{2x + 1}{1 + x} = \frac{2}{x^2 - 1}. \]
    Решение: ОДЗ: \(x \neq \pm1\). Перемножим крест-накрест: \[ (2x + 1)(x^2 - 1) = 2(1 + x) \implies 2x^3 + x^2 - 2x -1 = 2x + 2 \] \[ 2x^3 + x^2 -4x -3 = 0 \implies (x + 1)(2x^2 - x -3) = 0 \] Корни: \(x = -1\) (не входит в ОДЗ), \(2x^2 - x -3=0 \implies x = \frac{1\pm\sqrt{25}}{4} = \frac{3}{2}, -1\). Подходит только \(x=1.5\).
    Ответ: \(1.5\).

  6. Найдите оси симметрии графика функции \[ y = \lvert x + 1\rvert + \lvert x + 3\rvert. \]
    Решение: График симметричен относительно вертикальной оси посередине между точками излома \(x=-3\) и \(x=-1\): \[ x = \frac{-3 + (-1)}{2} = -2 \] Ответ: Прямая \(x = -2\).

  7. Решите уравнение: \[ x^2 + 2x + \sqrt{x^2 + 2x + 8} = 12. \]
    Решение: Замена \(t = x^2 + 2x\): \[ t + \sqrt{t + 8} = 12 \implies \sqrt{t + 8} = 12 - t \] Возводя в квадрат (\(12 - t \geq 0\)): \[ t +8 = (12 - t)^2 \implies t +8 = 144 -24t +t^2 \implies t^2 -25t +136 = 0 \] Корни \(t = 8\) и \(t=17\). Проверка: \(t=8 \implies \sqrt{16}=4 = 12-8 \implies верно.\) \(t=17 \implies \sqrt{25}=5 \neq 12-17=-5 \implies\) не подходит. Тогда \(x^2 +2x =8 \implies x^2 +2x -8=0 \implies x = -1\pm3\).
    Ответ: \(-4, 2\).

  8. Решите неравенство: \[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)^2} \ge 0. \]
    Решение: Отметим критические точки \(x=1\) (выколото), \(x=2\), \(x=3\); метод интервалов:
    • \(x 0\)
    • \(1 <x 0\)
    • \(2 <x <3\): \(\frac{(+)(-)}{(+)} <0\)
    • \(x >3\): \(\frac{(+)(+)}{(+)} >0\)
    Решение: \(x \in (-\infty; 1) \cup [2; 3] \cup (1; 2)\) → \(x \in (-\infty;1) \cup [2;3]\).
    Ответ: \([2;3] \cup (-\infty;1)\).

  9. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x - 2\rvert - 1\bigr| = x. \]
    Решение: Рассмотрим два случая для внутреннего модуля:
    1. \(|x -2| \geq 1\): \[ ||x-2| -1| = |x-2| -1 = x \implies |x-2| = x +1 \] Подслучаи: \(x \geq2\): \(x-2=x+1\) → невозможно. \(x <2\): \(-x+2 =x+1 \implies x=0.5\). Проверка: \(0.5 \geq 0.5 +1\) → \(0.5 \geq1.5\) → неверно.
    2. \(|x -2| <1\) → \(1 <x <3\): \[ ||x-2| -1| =1 - |x -2| = x \] \[ 1 - |x -2| =x \implies |x-2| =1 -x (\geq0 \implies x \leq1) \] Противоречит \(1 <x <3\). Нет решений. Ответ: Решений нет.

  10. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 + 3xy = 1,\\ x - y = 1. \end{cases} \]
    Решение: Из второго уравнения \(y =x -1\). Подстановка в первое: \[ x^2 +3x(x -1) =1 \implies x^2 +3x^2 -3x =1 \implies4x^2 -3x -1=0 \] Корни: \(x=1\), \(x=-\frac{1}{4}\). Соответствующие \(y\): \(0\), \(-\frac{5}{4}\).
    Ответ: \((1;0)\), \((-0.25;-1.25)\).

  11. Найдите функцию \(f(x)\), если \(f(2x - 3) = 4x - 5\).
    Решение: Пусть \(t =2x -3\), тогда \(x = \frac{t +3}{2}\). Подстановка: \[ f(t) =4\left(\frac{t +3}{2}\right) -5 =2(t +3) -5 =2t +1 \] Ответ: \(f(x) = 2x +1\).

  12. При каких значениях \(a\) уравнение \[ 2a x^2 + (10 - a)x - a + 5 = 0 \] имеет ровно один корень?
    Решение: Если \(a=0\): линейное уравнение \(10x +5=0\) имеет один корень. Если \(a \neq 0\), дискриминант должен быть равен нулю: \[ D = (10 -a)^2 -4\cdot2a\cdot(-a +5)=0 \] \[ D =100 -20a +a^2 +8a^2 -40a =9a^2 -60a +100=0 \implies a= \frac{60 \pm0}{18} =\frac{10}{3} \] Ответ: \(a=0\) или \(a= \frac{10}{3}\).

  13. Решите неравенство: \[ \bigl|x^2 - 16\bigr| \le 8 - 2x. \]
    Решение: Правая часть \(\geq0 \implies 8 -2x \geq0 \implies x \leq4\). Разберём два случая: \(x^2 -16 \geq0\) и \(x^2 -16 <0\).
    1. \(x \leq-4\) или \(x \geq4\): \[ x^2 -16 \leq8 -2x \implies x^2 +2x -24 \leq0 \implies(x+6)(x-4)\leq0 \implies x \in[-6;4] \] Учитывая исходные ограничения: \(x \in[-6;-4]\).
    2. \(-4 <x <4\): \[ -x^2 +16 \leq 8 -2x \implies x^2 -2x -8 \geq 0 \implies (x-4)(x+2)\geq 0 \implies x \leq -2 или x \geq 4 \] С учётом \(-4 <x <4\): \(x \in[-4; -2]\).
    Объединение решений: \(x \in[-6;-2]\). Ответ: \([-6;-2]\).

  14. При каких значениях \(t\) векторы \(\vec a = (1; t)\) и \(\vec b = (t+2; -t)\) имеют равные длины?
    Решение: \[ ||\vec a|| = \sqrt{1 + t^2}, \quad ||\vec b|| = \sqrt{(t+2)^2 + t^2} \] \[ 1 + t^2 = (t+2)^2 + t^2 \implies1 = t^2 +4t +4 +t^2 \implies2t^2 +4t +3 =0 \implies D=16-24<0 \] Нет действительных решений. Ответ: Решений нет.

  15. Для окружности, заданной уравнением \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0, \] найдите центр и радиус.
    Решение: Преобразуем в стандартный вид: \[ (x^2 -4x +4) + (y^2 -6y +9)=13 \implies (x-2)^2+(y-3)^2=(\sqrt{13})^2 \] Ответ: Центр \((2;3)\), радиус \(\sqrt{13}\).

  16. Вычислите: \[ \cot160^\circ \cdot \tan20^\circ \cdot \cot135^\circ. \]
    Решение: \[ \cot160^\circ = \cot(180-20) = -\cot20^\circ, \quad \cot135^\circ = -1 \] \[ -\cot20^\circ \cdot \tan20^\circ \cdot (-1) = \cot20^\circ \cdot \tan20^\circ =1 \] Ответ: \(1\).

  17. Третий член арифметической прогрессии равен 10, а восьмой — 30. Сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма равнялась 242?
    Решение: \[ \begin{cases} a_1 +2d =10\\ a_1 +7d =30 \end{cases} \implies5d=20 \implies d=4, a_1=2 \] Сумма: \[ S_n =\frac{2\cdot2 +4(n-1)}{2}\cdot n = (2 +2n -2)n =2n^2 =242 \implies n^2=121 \implies n=11 \] Ответ: \(11)\).

  18. Найдите \(\tan\alpha\), если \(\cos\alpha = -\tfrac{5}{13}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).
    Решение: \[ \sin\alpha =\sqrt{1 - \left(\frac{25}{169}\right)} = \frac{12}{13}, \ \tan\alpha =\frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} \] Ответ: \(-\frac{12}{5}\).

  19. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание относится к боковой стороне как \(4:3\). Найдите радиус вписанной окружности.
    Решение: Пусть основание \(4k\), боковая сторона \(3k\). Высота делит основ. пополам: \[ (3k)^2 = (2k)^2 +20^2 \implies 9k^2=4k^2+400 \implies k^2=80 \implies a=4\sqrt{80}, b=3\sqrt{80} \] Полупериметр \(p=5\sqrt{80}\), площадь \(S= \frac{4\sqrt{80} \cdot20}{2}=40\sqrt{80}\). \[ r=\frac{S}{p}= \frac{40\sqrt{80}}{5\sqrt{80}}=8 \] Ответ: \(8\).

  20. Диагонали ромба равны 14 и 48 см. Найдите высоту ромба.
    Решение: Сторона \(a = \sqrt{7^2 +24^2} =25\). Площадь \(S=\frac{14 \cdot48}{2}=336\). \[ h=\frac{S}{a} =\frac{336}{25}=13.44 \ \text{см} \] Ответ: \(13.44\) см.
Материалы школы Юайти