Лицей №239 из 9 в 10 класс 2001 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2001 год
Вариант 2
- Упростить: \[ \biggl(\frac{y}{\sqrt{x}} - \sqrt{x}\biggr) : \Bigl(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}}\Bigr). \]
- Сократить дробь: \[ \frac{x^3 - 5x^2 + 3x + 9}{x + 1}. \]
- Решить уравнение: \[ \frac{2}{x + 2} + \frac{1}{2} = -\frac{4}{x^2 + 2x}. \]
- Найти область определения функции: \[ y(x) = \frac{3}{(x - 1)\sqrt{3 + 2x - x^2}}. \]
- Решить неравенство: \[ \frac{x^2}{x - 1} \le 4. \]
- Решить уравнение: \[ \bigl|\,2x^2 - x + 2\bigr| = x - 2. \]
- Решить неравенство: \[ \bigl|\,3x + 6\bigr| < 3\lvert x\rvert + x. \]
- Найти центр симметрии графика функции: \[ y = \frac{1 - x}{x}. \]
- При каких \(k\) модуль разности корней уравнения \[ x^2 - kx + 3 = 0 \] равен 2?
- При каких \(k\) уравнение \[ kx^2 - (k - 1)x + 2k + 1 = 0 \] имеет два различных корня?
- В геометрической прогрессии с положительными членами \(b_2 = 16\), \(b_{10} = 4\). Найти \(b_6\).
- При каких \(a\) числа \(a^2\), \(4a\), \(2a + 5\) являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?
- Решить уравнение: \[ \sqrt{3x^2 - 11x + 21} = 2x - 3. \]
- Найти расстояние от начала координат до прямой: \[ 3y - 4x = 12. \]
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = \sqrt{3}\), \(\angle A = 75^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\). Найти \(AC\).
- Вычислить: \[ \cot41^\circ \cdot \cot42^\circ \cdots \cot48^\circ \cdot \cot49^\circ. \]
- Упростить: \[ \frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} + \tan\alpha. \]
- При каких \(x\) векторы \(\vec a = (5,4)\) и \(\vec b = (x,-3)\) будут перпендикулярны?
- Найти диагональ и площадь ромба, если его стороны равны 5 см, а другая диагональ равна 6 см.
- Касательная к окружности из данной точки равна 12 см, а наибольшая секущая из той же точки равна 36 см. Найти радиус окружности.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить:
\[
\biggl(\frac{y}{\sqrt{x}} - \sqrt{x}\biggr) : \Bigl(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}}\Bigr)
\]
Решение: Преобразуем числитель и знаменатель:
Числитель: $\frac{y}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} = \frac{y - x}{\sqrt{x}}$
Знаменатель: $\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{x - y}{\sqrt{xy}}$
Тогда деление преобразуется как: \[ \frac{y - x}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{xy}}{x - y} = -\sqrt{y} \] Ответ: $-\sqrt{y}$.
- Сократить дробь:
\[
\frac{x^3 - 5x^2 + 3x + 9}{x + 1}
\]
Решение: Найдем корень числителя при $x = -1$:
$-1 -5 -3 +9 = 0$. Выполним деление многочлена на $x + 1$:
\[
x^3 - 5x^2 + 3x + 9 = (x + 1)(x^2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)^2
\]
После сокращения:
\[
\frac{(x + 1)(x - 3)^2}{x + 1} = (x - 3)^2
\]
Ответ: $(x - 3)^2$.
- Решить уравнение:
\[
\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{2} = -\frac{4}{x^2 + 2x}
\]
Решение: Умножим обе части на общий знаменатель $2x(x + 2)$:
$4x + x(x + 2) = -8$
$x^2 + 6x + 8 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = -4, -1$
Проверка показывает, что $x = -2$ не входит в ОДЗ.
Ответ: $-4$, $-1$.
- Найти область определения функции:
\[
y(x) = \frac{3}{(x - 1)\sqrt{3 + 2x - x^2}}
\]
Решение:
1. Знаменатель не равен нулю: $x \neq 1$, а подкоренное выражение $>0$:
$3 + 2x - x^2 > 0 \Rightarrow x \in (-1; 3)$.
2. Исключим $x = 1$, так как знаменатель обращается в ноль.
Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (1; 3)$.
- Решить неравенство:
\[
\frac{x^2}{x - 1} \le 4
\]
Решение: Приведем к виду:
\[
\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1} \le 0 \Rightarrow \frac{(x - 2)^2}{x - 1} \le 0
\]
Числитель неотрицателен. Дробь $\le 0$ при $x - 1 < 0$ или при равенстве нулю числителя ($x = 2$).
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup \{2\}$.
- Решить уравнение:
\[
\bigl|\,2x^2 - x + 2\bigr| = x - 2
\]
Решение: По определению модуля:
\[
2x^2 - x + 2 = x - 2 \quad \text{или} \quad 2x^2 - x + 2 = -(x - 2)
\]
1. $2x^2 - 2x + 4 = 0$ — дискриминант $D = 4 - 32 < 0$ — нет решений.
2. $2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Проверка: $|2 \cdot 0 - 0 + 2| = 0 - 2$ неверно.
Ответ: Нет решений.
- Решить неравенство:
\[
\bigl|\,3x + 6\bigr| < 3|x| + x
\]
Решение: Рассмотрим случаи:
Случай 1 ($x \ge -2$): подмодуль $3x +6 \ge 0$:
$3x +6 < 3x + x \Rightarrow 6 6$ (совместимо с $x \ge -2$).
Случай 2 ($x < -2$): $-3x -6 6$ — противоречие.
Ответ: $x > 6$.
- Найти центр симметрии графика функции:
\[
y = \frac{1 - x}{x}
\]
Решение: Преобразуем функцию: $y = \frac{1}{x} - 1$. Центр симметрии для гиперболы $\frac{1}{x}$ смещён в точку $(0, -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.
- При каких \(k\) модуль разности корней уравнения
\[
x^2 - kx + 3 = 0
\]
равен 2?
Решение: По формуле разности корней:
\[
|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{k^2 - 12} = 2 \Rightarrow k^2 -12 =4 \Rightarrow k = \pm4
\]
Проверка дискриминанта: $D = k^2 -12 \ge 0$ выполняется.
Ответ: $k = \pm4$.
- При каких \(k\) уравнение
\[
kx^2 - (k - 1)x + 2k + 1 = 0
\]
имеет два различных корня?
Решение: Условия:
- \(k \neq 0\)
- Дискриминант \(D = (k -1)^2 -4k(2k +1) >0\)
Ответ: \(k \in (-2; \frac{1}{7}), \ k \neq0\).
- В геометрической прогрессии \(b_2 = 16\), \(b_{10} = 4\). Найти \(b_6\).
Решение: Формулы:
\[
b_2 = b_1 q =16,\quad b_{10} = b_1 q^9 =4
\]
Поделим второе на первое: \(q^8 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \Rightarrow q = \sqrt[8]{\frac{1}{4}} = 2^{-0.5}\)
Тогда \(b_6 = b_1 q^5 = \frac{16}{q} \cdot q^5 =16 q^4 =16 \cdot (2^{-0.5})^4 =16 \cdot 2^{-2} =4\).
Ответ: 4.
- При каких \(a\) числа \(a^2\), \(4a\), \(2a + 5\) являются последовательными членами арифметической прогрессии?
Решение: Условие:
\[
4a - a^2 = (2a +5) -4a \Rightarrow 4a -a^2 = -2a +5 \Rightarrow a^2 -6a +5 =0 \Rightarrow a =1,5
\]
Ответ: $a =1$, $a =5$.
- Решить уравнение:
\[
\sqrt{3x^2 - 11x + 21} = 2x - 3
\]
Решение: Возведем в квадрат:
\[
3x^2 -11x +21 =4x^2 -12x +9 \Rightarrow x^2 -x -12=0 \Rightarrow x=4, x=-3
\]
Проверка: $x=4$ (верно), $x=-3$ (левая часть $\sqrt{3\cdot9 +33 +21}= \sqrt{81}=9$, правая $-9$ — неверно).
Ответ: 4.
- Найти расстояние от начала координат до прямой \(3y -4x =12\).
Решение: Формула расстояния от точки до прямой:
\[
d = \frac{|Ax_0 +By_0 +C|}{\sqrt{A^2 +B^2}} = \frac{| -4\cdot0 +3\cdot0 -12 |}{5} = \frac{12}{5} =2,4
\]
Ответ: 2,4.
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = \sqrt{3}\), \(\angle A =75^\circ\), \(\angle B =45^\circ\). Найти \(AC\).
Решение: По теореме синусов:
\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \quad \angle C=60^\circ
\]
\[
AC = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin45^\circ}{\sin60^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}
\]
Ответ: $\sqrt{2}$.
- Вычислить:
\[
\cot41^\circ \cdot \cot42^\circ \cdots \cot48^\circ \cdot \cot49^\circ
\]
Решение: Заметим, что $\cot\theta \cdot \cot(90^\circ - \theta) =1$. Пары:
\[
\cot41^\circ \cdot \cot49^\circ =1,\quad \cot42^\circ \cdot \cot48^\circ =1,\quad \cot43^\circ \cdot \cot47^\circ =1,\quad \cot44^\circ \cdot \cot46^\circ =1,\quad \cot45^\circ =1
\]
Ответ: 1.
- Упростить:
\[
\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} + \tan\alpha
\]
Решение: Преобразуем:
\[
\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha +\sin\alpha(1+\sin\alpha)}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)} = \frac{1}{\cos\alpha}
\]
Ответ: $\sec\alpha$.
- При каких \(x\) векторы \(\vec a = (5,4)\) и \(\vec b = (x,-3)\) перпендикулярны?
Решение: Скалярное произведение равно нулю:
\[
5x -12 =0 \Rightarrow x=2,4
\]
Ответ: 2,4.
- Найти диагональ и площадь ромба со сторонами 5 см и диагональю 6 см.
Решение: Половины диагоналей: $\frac{d_1}{2}=3$, $\frac{d_2}{2}=a=5$ (используем теорему Пифагора):
\[
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 +3^2 =5^2 \Rightarrow \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 =16 \Rightarrow d_2=8 \text{ см}
\]
Площадь: $\frac{1}{2}d_1 d_2 =\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24$ см².
Ответ: диагональ 8 см, площадь 24 см².
- Касательная к окружности равна 12 см, наибольшая секущая 36 см. Найти радиус. Решение: По теореме о секущей и касательной: \[ KT^2 =KS \cdot KL \Rightarrow 12^2 = (36 -2R) \cdot36 \Rightarrow 144 =1296 -72R \Rightarrow72R=1152 \Rightarrow R=16\text{ см} \] Ответ: 16 см.
Материалы школы Юайти