8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2001 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2001
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2001 год


Вариант 1



  1. Упростить: \[ \biggl(\sqrt{y} - \frac{x}{\sqrt{y}}\biggr) : \Bigl(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}}\Bigr). \]
  2. Сократить дробь: \[ \frac{x^3 + 5x^2 + 3x - 9}{x - 1}. \]
  3. Решить уравнение: \[ \frac{2}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x - 1}{x^3 + 1}. \]
  4. Найти область определения функции: \[ y(x) = \frac{1}{(x - 2)\sqrt{4 + 3x - x^2}}. \]
  5. Решить неравенство: \[ \frac{x^2 + 3}{x + 1} \le 2. \]
  6. Решить уравнение: \[ \bigl|\,2x^2 - x + 1\bigr| = x - 1. \]
  7. Решить неравенство: \[ \lvert 2x + 4\rvert < 2\lvert x\rvert + x. \]
  8. Найти центр симметрии графика функции: \[ y = \frac{x + 1}{x}. \]
  9. При каких \(k\) модуль разности корней уравнения \[ x^2 - kx + 15 = 0 \] равен 2?
  10. При каких \(k\) уравнение \[ kx^2 - (k+1)x + 2k - 1 = 0 \] имеет два различных корня?

  11. В геометрической прогрессии с положительными членами \(b_3 = 32\) и \(b_7 = 2\). Найти \(b_5\).
  12. При каких \(a\) числа \(a^2, 3a, a+4\) являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?
  13. Решить уравнение: \[ \sqrt{3x^2 - 6x + 16} = 2x - 1. \]
  14. Найти расстояние от начала координат до прямой \(3y + 4x = 12\).
  15. В треугольнике \(ABC\) \(AC = \sqrt{2}\), \(\angle A = 75^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\). Найти \(AB\).
  16. Вычислить: \[ \tan41^\circ \cdot \tan42^\circ \cdots \tan48^\circ \cdot \tan49^\circ. \]
  17. Упростить: \[ \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \cot\alpha. \]
  18. При каких \(x\) векторы \(\vec{a} = (4;5)\) и \(\vec{b} = (x;-6)\) будут перпендикулярны?
  19. Найти диагональ и площадь ромба, если его стороны равны 10 см, а одна из диагоналей равна 12 см.
  20. Касательная к окружности из точки равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Найти радиус окружности.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить: \[ \biggl(\sqrt{y} - \frac{x}{\sqrt{y}}\biggr) : \Bigl(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}}\Bigr) \] Решение:
    Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{xy}$ для упрощения:
    $\frac{(\sqrt{y} - \frac{x}{\sqrt{y}}) \cdot \sqrt{xy}}{(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}}) \cdot \sqrt{xy}} = \frac{y^{3/2} - x^{3/2}}{x - y} = -\frac{x^{3/2} - y^{3/2}}{x - y}$
    Разложим разность кубов:
    $-\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{x - y} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1}$
    Ответ: $\sqrt{x} + \sqrt{y}$

  2. Сократить дробь: \[ \frac{x^3 + 5x^2 + 3x - 9}{x - 1} \] Решение:
    Разложим числитель с помощью схемы Горнера:
    Коэффициенты: 1 | 5 | 3 | -9 (корень x=1)
    Результат деления: $(x-1)(x^2+6x+9) = (x-1)(x+3)^2$
    Сокращаем дробь: \[ \frac{(x-1)(x+3)^2}{x-1} = (x+3)^2 \] Ответ: $(x+3)^2$

  3. Решить уравнение: \[ \frac{2}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x - 1}{x^3 + 1} \] Решение:

    Учитывая разложение $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$, домножим обе части на общий знаменатель $(x+1)(x^2 - x + 1)$:
    $2(x + 1) = (x^2 - x + 1) + (2x - 1)(x + 1)$
    Упрощение:
    $2x + 2 = x^2 - x + 1 + 2x^2 + x - 1$
    $2x + 2 = 3x^2$
    $3x^2 - 2x - 2 = 0$
    Дискриминант: $D = 4 + 24 = 28$, корни $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$
    ОДЗ: $x \neq -1$, что выполняется.
    Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

  4. Найти область определения функции: \[ y(x) = \frac{1}{(x - 2)\sqrt{4 + 3x - x^2}} \] Решение:
    Решим неравенства:
    1. Знаменатель не равен нулю: $x \neq 2$
    2. Подкоренное выражение положительно: $4 + 3x - x^2 > 0$
    Решение квадратного неравенства:
    $-x^2 + 3x + 4 > 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 < 0 \Rightarrow x \in (-1; 4)$
    Итоговая область определения: $x \in (-1; 4)$, исключая $x = 2$
    Ответ: $(-1; 2) \cup (2; 4)$

  5. Решить неравенство: \[ \frac{x^2 + 3}{x + 1} \le 2 \] Решение:
    Переносим 2 влево: \[ \frac{x^2 + 3 - 2(x + 1)}{x + 1} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} \le 0 \Rightarrow \frac{(x - 1)^2}{x + 1} \le 0 \] Числитель всегда неотрицателен. Знаменатель отрицателен при $x < -1$. Решение: $x < -1$
    Ответ: $(-\infty; -1)$

  6. Решить уравнение: \[ \bigl|\,2x^2 - x + 1\bigr| = x - 1 \] Решение:
    Условие существования корней: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$
    Рассмотрим уравнение:
    $2x^2 - x + 1 = \pm(x - 1)$
    Случай 1: $2x^2 - x + 1 = x - 1 \Rightarrow 2x^2 - 2x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 4 - 16 = -12$ — решения отсутствуют
    Случай 2: $2x^2 - x + 1 = -x + 1 \Rightarrow 2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (не удовлетворяет условию $x \ge 1$)
    Ответ: нет решений

  7. Решить неравенство: \[ \lvert 2x + 4\rvert < 2\lvert x\rvert + x \] Решение:
    Разберём случаи по знаку $x$:
    Случай 1: $x \ge 0$
    $2x + 4 < 2x + x \Rightarrow 4 4$
    Случай 2: $-2 \le x < 0$
    $-2x - 4 < -2x + x \Rightarrow -4 < -x \Rightarrow x < 4$ — пересечение с $-2 \le x < 0$ даёт $-2 \le x < 0$
    Случай 3: $x < -2$
    $-2x - 4 < -2x + x \Rightarrow -4 < -x \Rightarrow x < 4$ — пересечение с $x < -2$ даёт $x < -2$
    Объединение решений: $x 4$
    Ответ: $(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$

  8. Найти центр симметрии графика функции: \[ y = \frac{x + 1}{x} \] Решение:
    Преобразуем функцию: $y = 1 + \frac{1}{x}$. Центр симметрии находится в точке пересечения асимптот $(0;1)$.
    Проверка: для точек $(a, b)$ и $(2h - a; 2k - b)$, где $(h,k)$ — центр симметрии:
    Подстановка подтверждает центр $O(0;1)$.
    Ответ: $(0; 1)$

  9. При каких $k$ модуль разности корней уравнения \[ x^2 - kx + 15 = 0 \] равен 2? Решение:
    Пусть корни $x_1$ и $x_2$. По условию $|x_1 - x_2| = 2$
    Используем соотношения Виета: $x_1 + x_2 = k$, $x_1x_2 = 15$
    $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = k^2 - 60$
    Уравнение: $\sqrt{k^2 - 60} = 2 \Rightarrow k^2 = 64 \Rightarrow k = \pm8$
    Ответ: $k = \pm8$

  10. При каких $k$ уравнение \[ kx^2 - (k+1)x + 2k - 1 = 0 \] имеет два различных корня? Решение:
    Условия:
    1. $k \ne 0$ (квадратное уравнение)
    2. Дискриминант $D = (k+1)^2 - 4k(2k - 1) > 0$
    Вычислим дискриминант:
    $D = k^2 + 2k + 1 - 8k^2 + 4k = -7k^2 + 6k + 1 > 0$
    Решаем неравенство $-7k^2 + 6k + 1 > 0 \Rightarrow 7k^2 - 6k - 1 < 0$
    Корни квадратного уравнения: $k = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14} = \frac{6 \pm 8}{14} \Rightarrow k = 1$ или $k = -\frac{1}{7}$
    Неравенство выполняется при $-\frac{1}{7} < k < 1$
    Ответ: $k \in (-\frac{1}{7}; 1)$ и $k \ne 0$

  11. В геометрической прогрессии $b_3 = 32$ и $b_7 = 2$. Найти $b_5$. Решение:
    Из свойств геометрической прогрессии:
    $b_3 = b_1q^2 = 32$; $b_7 = b_1q^6 = 2$
    Поделим уравнения: $\frac{q^6}{q^2} = \frac{2}{32} \Rightarrow q^4 = \frac{1}{16} \Rightarrow q = \frac{1}{2}$
    Тогда $b_5 = b_3q^2 = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$
    Ответ: 8

  12. При каких $a$ числа $a^2, 3a, a+4$ являются последовательными членами арифметической прогрессии? Решение:
    Условие: $2 \cdot 3a = a^2 + a + 4$
    $6a = a^2 + a + 4 \Rightarrow a^2 - 5a + 4 = 0$
    Корни: $a = 1$ и $a = 4$
    Ответ: $a = 1$ и $a = 4$

  13. Решить уравнение: \[ \sqrt{3x^2 - 6x + 16} = 2x - 1 \] Решение:
    Условие существования корня: $2x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$
    Возведём обе части в квадрат:
    $3x^2 - 6x + 16 = 4x^2 - 4x + 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 15 = 0$
    Корни: $x = -5$ (не удовлетворяет условию) и $x = 3$
    Проверка при $x = 3$: $\sqrt{27 - 18 + 16} = 5$ и $2 \cdot 3 - 1 = 5$ — верно
    Ответ: 3

  14. Найти расстояние от начала координат до прямой $3y + 4x = 12$. Решение:
    Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:
    $d = \frac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{12}{5} = 2.4$
    Ответ: 2.4

  15. В треугольнике $ABC$ $AC = \sqrt{2}$, $\angle A = 75^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Найти $AB$. Решение:
    Применим теорему синусов:
    $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$. Угол $B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$
    $AB = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin60^\circ}{\sin45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3}$
    Ответ: $\sqrt{3}$

  16. Вычислить: \[ \tan41^\circ \cdot \tan42^\circ \cdots \tan48^\circ \cdot \tan49^\circ \] Решение:
    Используем свойство $\tan\alpha\cdot\tan(90^\circ - \alpha) = 1$
    Сгруппируем: $\tan41^\circ\cdot\tan49^\circ = 1$, $\tan42^\circ\cdot\tan48^\circ = 1$, $\tan43^\circ\cdot\tan47^\circ = 1$, $\tan44^\circ\cdot\tan46^\circ = 1$, остаётся $\tan45^\circ = 1$
    Ответ: 1

  17. Упростить: \[ \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \cot\alpha \] Решение:
    Преобразуем выражение:
    $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} = \csc\alpha$
    Ответ: $\csc\alpha$

  18. При каких $x$ векторы $\vec{a} = (4;5)$ и $\vec{b} = (x;-6)$ перпендикулярны? Решение:
    Условие перпендикулярности: $4x + 5(-6) = 0 \Rightarrow 4x - 30 = 0 \Rightarrow x = 7.5$
    Ответ: $x = 7.5$

  19. Найти диагональ и площадь ромба со стороной 10 см и диагональю 12 см. Решение:
    Диагонали ромба связаны с его стороной: $(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$
    При $d_1 = 12$ см: $(6)^2 + (d_2/2)^2 = 10^2 \Rightarrow d_2/2 = 8 \Rightarrow d_2 = 16$ см
    Площадь: $S = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см²
    Ответ: Диагональ 16 см, площадь 96 см²

  20. Касательная к окружности равна 20 см, наибольшая секущая равна 50 см.
    Решение: Согласно теореме о секущей и касательной: $20^2 = (50 - 2r)\cdot50 \Rightarrow 400 = 2500 - 100r \Rightarrow 100r = 2100 \Rightarrow r = 21$ см
    Ответ: 21 см
Материалы школы Юайти