Лицей №239 из 9 в 10 класс 1999 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
1999 год
Вариант 2
- Упростить: \[ \Bigl(\bigl(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\bigr)^{-1} + \bigl(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\bigr)^{-1}\Bigr)^{-2} \;\;:\;\; \frac{a - b}{4(\sqrt{a} + \sqrt{b})}. \]
- Решить уравнение: \[ \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x-1} = \frac{1}{x-4} - \frac{2}{x-3}. \]
- Решить неравенство: \[ \frac{x(x^2 + 3)(3 - x)(x^3 - 8)}{(x^2 - 4)(x+3)^2} \;\ge\; 0. \]
- Решить уравнение: \[ (x-1)\sqrt{x^2 - x - 6} = 6x - 6. \]
- Построить график функции: \[ f(x) = \frac{\lvert x^2 - 2x\rvert}{x - 2} + \lvert x\rvert. \]
- Решить уравнение: \[ \bigl|16 - 9x\bigr| - \bigl|9x - 5\bigr| = 11. \]
- Построить график функции \[ f(x) = -2x^2 + 2x + q, \] если квадрат разности корней этой функции равен 9.
- Упростить: \[ \frac{1 + \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha}{\cos\alpha + \cos2\alpha}. \]
- Найти сумму всех двузначных чисел, не кратных 3.
- Вычислить: \[ \bigl(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{7} + 1\bigr) \;\cdot\; \bigl(\sqrt[3]{49} - 1\bigr) \;\cdot\; \bigl(\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{7} + 1\bigr). \]
- Решить уравнение: \[ \max\{\,x^2 + x - 5,\;-2x^2 + 7x + 4\} = x - 1. \]
- По одну сторону от прямой \(AC\) отложены отрезки \(AB\) и \(CD\) (\(AB \parallel CD\)). Точка \(F\) — пересечение \(BC\) и \(AD\). Через \(F\) проведена прямая \(FE\parallel AB\), где \(E\) лежит на \(AC\). Доказать, что \[ \frac{1}{EF} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}. \]
- Даны две концентрические окружности. Проведена хорда большой окружности, касающаяся меньшей. На этой хорде, как на диаметре, построена третья окружность. Доказать, что площадь третьего круга равна площади кольца между двумя первыми окружностями.
- Найти площадь трапеции с основаниями 6 см и 7 см и боковыми сторонами 5 см и 12 см.
- Основания трапеции равны 2 см и 14 см. Радиус вписанной окружности равен 4 см. Найти радиус описанной окружности этой трапеции, если известно, что она существует.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение:
\[
\Bigl(\bigl(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\bigr)^{-1}
+ \bigl(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\bigr)^{-1}\Bigr)^{-2}
\;\;:\;\;
\frac{a - b}{4(\sqrt{a} + \sqrt{b})}
\]
Решение:
Обозначим \( u = \sqrt[4]{a} \), \( v = \sqrt[4]{b} \). Тогда выражение преобразуется:
\[
\Bigl(\frac{1}{u - v} + \frac{1}{u + v}\Bigr)^{-2} : \frac{u^4 - v^4}{4(u^2 + v^2)}
\]
Сумма дробей в скобках:
\[
\frac{2u}{u^2 - v^2}
\]
Возводя в \(−2\) степень:
\[
\left(\frac{u^2 - v^2}{2u}\right)^2 = \frac{(u^2 - v^2)^2}{4u^2}
\]
Домножим на обратное выражение \(\frac{4(u^2 + v^2)}{u^4 - v^4}\):
\[
\frac{(u^2 - v^2)^2}{4u^2} \cdot \frac{4(u^2 + v^2)}{(u^2 - v^2)(u^2 + v^2)} = \frac{u^2 - v^2}{u^2} \cdot \frac{4(u^2 + v^2)}{u^4 - v^4} = 16
\]
Ответ: 16.
- Решить уравнение:
\[
\frac{3}{x-2} - \frac{4}{x-1} = \frac{1}{x-4} - \frac{2}{x-3}
\]
Решение:
Перенесем все слагаемые влево и приведем к общему знаменателю:
\[
\frac{3(x-1)(x-4)(x-3) - 4(x-2)(x-4)(x-3) - (x-2)(x-1)(x-3) + 2(x-2)(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-1)(x-4)(x-3)} = 0
\]
После упрощения числитель примет вид \( 3x^2 - 5x = 0 \)
Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{5}{2} \). Проверка показывает отсутствие нулей в знаменателе.
Ответ: \( 0; \;\frac{5}{2} \).
- Решить неравенство:
\[
\frac{x(x^2 + 3)(3 - x)(x^3 - 8)}{(x^2 - 4)(x+2)^2} \;\ge\; 0
\]
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на множители:
\[
\frac{x(3 - x)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 + 3)}{(x - 2)(x + 2)(x + 2)^2}
\]
Сократим \((x - 2)\) в числителе и знаменателе (при \(x \neq 2\), не входящем в решение). Знаки на интервалах:
\(-3 < x < -2: +\);
\(-2 < x < 0: +\);
\(0 \le x 3: +\).
Ответ: \(x \in [-3; -2) \cup [0; 2)\).
- Решить уравнение:
\[
(x-1)\sqrt{x^2 - x - 6} = 6x - 6
\]
Решение:
ОДЗ: \(x^2 - x -6 \ge 0 \; \Rightarrow \; x \le -2 \; \text{или} \; x \ge 3\).
Возведем обе части в квадрат и упростим:
\[
(x - 1)^2(x^2 - x -6) = (6x -6)^2 \Rightarrow x^4 - 35x^2 =0 \Rightarrow x(x^2 - 35)=0
\]
Корни: \(x = 0\) (не входит в ОДЗ), \(x = \sqrt{35}\) (проверка подтверждает решение).
Ответ: \(\sqrt{35}\).
- Построить график функции:
\[
f(x) = \frac{\lvert x^2 - 2x\rvert}{x - 2} + \lvert x\rvert
\]
Решение:
Разобьем функцию на интервалы:
- \(x > 2: f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 2} + x = 2x\);
- \(x <2: f(x) = \frac{2x - x^2}{x -2} -x =0\);
- \(x =2:\) разрыв.
- Решить уравнение:
\[
\bigl|16 - 9x\bigr| - \bigl|9x - 5\bigr| = 11
\]
Решение:
Рассмотрим три случая расположения \(x\) относительно точек \(5/9\) и \(16/9\):
- \(x \le 5/9: 16 -9x - (5 -9x)=11 \Rightarrow \text{все }x \le5/9\);
- \(5/9 <x \le16/9: 16 -9x - (9x -5)=11 \Rightarrow x=5/9\) (не входит в интервал);
- \(x >16/9: -(16 -9x) - (9x -5)=11 \Rightarrow \text{нет решений}\).
- Построить график функции:
\[
f(x) = -2x^2 + 2x + q,
\]
квадрат разности корней равен 9.
Решение:
Разность корней равна \( \sqrt{D}/|a| = \sqrt{(2)^2 +8q}/2 \). Уравнение:
\[
(\sqrt{\Delta})^2 = 9 \Rightarrow (-1 +2q)^2 =9 \Rightarrow q=4.
\]
Функция: \(f(x) = -2x^2 +2x +4\).
- Упростить выражение:
\[
\frac{1 + \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha}{\cos\alpha + 2\cos^2\alpha -1}
\]
Решение:
Используя формулы суммы косинусов и двойного угла, упрощаем числитель:
\[
2\cos\alpha (\cos2\alpha +1) \Rightarrow\text{Ответ: }2\cos\alpha.
\]
- Найти сумму всех двузначных чисел, не кратных 3.
Решение:
Сумма всех двузначных чисел от10 до99: 4905.
Сумма кратных3:1665. Итог:4905−1665=3240.
Ответ:3240.
- Вычислить:
\[
\bigl(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{7} + 1\bigr)
\;\cdot\;
\bigl(\sqrt[3]{49} - 1\bigr)
\;\cdot\;
\bigl(\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{7} + 1\bigr)
\]
Решение:
Обозначим \(a = \sqrt[3]{7}\). Произведение преобразуется к виду:
\[
(a^2 +a +1)(a^2 -1)(a^2 -a +1) =a^6 -1=49 -1=48.
\]
- Решить уравнение:
\[
\max\{\,x^2 + x - 5,\;-2x^2 +7x +4\}
=x - 1.
\]
Решение:
Рассмотрим пересечения функций:
- При \(x \le -1\) решаем \(x^2 +x -5 =x -1 \Rightarrow x=-2\).
- При \(x \ge16\) решаем \(x^2 +x -5 =x -1 \Rightarrow x=16\).
- Доказать \(\frac{1}{EF} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}\).
Решение:
Из подобия треугольников \(AEF\) и \(ACD\), \(CEF\) и \(CAB\):
\[
\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{AC},\;\;\frac{EF}{CD} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=1 \Rightarrow \frac{1}{EF} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}.
\]
- Площадь третей окружности равна площади кольца.
Решение:
Радиус третей окружности равен \(\sqrt{R^2 -r^2}\), площадь \(\pi(R^2 -r^2)\), что совпадает с площадью кольца. Что и требовалось доказать.
- Площадь трапеции с основаниями 6 см и7 см и боковыми сторонами 5 см и12 см.
Решение:
С помощью решения системы уравнений для высоты трапеции получаем противоречие, из чего следует невозможность существования такой трапеции.
Ответ: Не существует.
- Найти радиус описанной окружности трапеции. Решение: Для описанной трапеции радиус равен \(\frac{\sqrt{100 +4(16) +4}}{2}= \frac{\sqrt{228}}{2}= \sqrt{57}\). Ответ: \(\sqrt{57}\).
Материалы школы Юайти