8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 1999 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 1999
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


1999 год


Вариант 1



  1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt[4]{ab^3} - \sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\biggr)^{-2} \;\cdot\; \sqrt{1 + \frac{a}{b} + 2\sqrt{\frac{a}{b}}}. \]
  2. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1}. \]
  3. Решить неравенство: \[ \frac{x(x^2 + 2)(2 - x)(x^3 - 64)}{(x^2 - 16)(x+2)^2} \;\le\; 0. \]
  4. Решить уравнение: \[ (x+2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12. \]
  5. Построить график функции: \[ f(x) = \frac{\lvert x^2 - 4x\rvert}{x} \;+\;\lvert -x\rvert. \]
  6. Решить уравнение: \[ \lvert 7x - 12\rvert - \lvert\,11 - 7x\rvert = 1. \]
  7. Построить график функции \[ f(x) = 2x^2 - 8x + q, \] если сумму квадратов корней этой функции равна 10.
  8. Упростить: \[ \frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}. \]

  9. Найти сумму всех трёхзначных чисел, не кратных 5.
  10. Вычислить: \[ 1998^{\tfrac{19}{6891}} \;\cdot\; 1997^{\tfrac{19}{6891}} \;-\; 1999^{\tfrac{19}{6891}} \;\cdot\; 1996^{\tfrac{19}{6891}}. \]
  11. Решить уравнение: \[ \min\{\,2x^2 - x - 4,\;x^2 + 3x + 1\} = 3x + 12. \]
  12. \(ABCD\) — трапеция, \(BC\parallel AD\). Пусть \(\,S_{\triangle BOC} = a^2\), \(S_{\triangle AOD} = b^2\). Найти площадь трапеции \(ABCD\).
  13. На катетах прямоугольного треугольника площадью 1, построены полуокружности на диаметрах, расположенные вне треугольника. Найти сумму площадей этих полуокружностей, расположенных вне окружности, описанной около исходного треугольника.
  14. Найти площадь трапеции с основаниями 16 см и 44 см и боковыми сторонами 17 см и 25 см.
  15. Основания трапеции равны 4 см и 16 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей этой трапеции, если известно, что они существуют.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt[4]{ab^3} - \sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\biggr)^{-2} \;\cdot\; \sqrt{1 + \frac{a}{b} + 2\sqrt{\frac{a}{b}}}. \] Решение: Упростим выражение по частям: \[ \frac{\sqrt[4]{ab^3} - \sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(ab)^{1/4}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{-(\sqrt{b} - \sqrt{a})} = -(ab)^{1/4}. \] Возводим в степень -2: \[ \left(-(ab)^{1/4}\right)^{-2} = \frac{1}{\sqrt{ab}}. \] Второй множитель: \[ \sqrt{\frac{a}{b} + 2\sqrt{\frac{a}{b}} + 1} = \sqrt{\left(\sqrt{\frac{a}{b}} + 1\right)^2} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + 1 = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}. \] Перемножаем результаты: \[ \frac{1}{\sqrt{ab}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b\sqrt{a}}. \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b\sqrt{a}}}\).
  2. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1}. \] Решение: Приведём к общему знаменателю и упростим: \[ \frac{(x+4) - (x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{(x+1) - (x+3)}{(x+3)(x+1)} \Rightarrow \frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{-2}{(x+3)(x+1)}. \] Сократим на 2: \[ \frac{1}{(x+2)(x+4)} = -\frac{1}{(x+3)(x+1)} \Rightarrow (x+3)(x+1) + (x+2)(x+4) = 0. \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 4x + 3 + x^2 + 6x + 8 = 2x^2 + 10x + 11 = 0. \] Дискриминант \(D = 100 - 88 = 12\), корни: \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}. \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}}\).
  3. Решить неравенство: \[ \frac{x(x^2 + 2)(2 - x)(x^3 - 64)}{(x^2 - 16)(x+2)^2} \;\le\; 0. \] Решение: Разложим на множители и определим знаки: \[ \frac{x(x^2 + 2)(2 - x)(x-4)(x^2 + 4x + 16)}{(x-4)(x+4)(x+2)^2} \le 0. \] Упростим: \[ \frac{x(2 - x)(x^2 + 2)(x^2 + 4x + 16)}{(x+4)(x+2)^2} \le 0 \quad (x \neq 4). \] Определим интервалы для \(x\): Критические точки: \(x = -4\), \(x = -2\), \(x = 0\), \(x = 2\). Метод интервалов показывает область \(x \in [-4, -2) \cup [-2, 0] \cup [2, +\infty)\). Ответ: \(\boxed{[-4, -2) \cup [-2, 0] \cup [2, +\infty)}\).
  4. Решить уравнение: \[ (x+2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12. \] Решение: \[ (x+2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x+2) \Rightarrow (x+2)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0. \] Возможные решения:
    • \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) (не удовлетворяет ОДЗ под корнем).
    • \(\sqrt{x^2 - x - 20} = 6 \Rightarrow x^2 - x - 56 = 0.\) Корни: \(x = 8\), \(x = -7\). При \(x = -7\) корень подходит.
    Ответ: \(\boxed{-7}\).
  5. Построить график функции: \[ f(x) = \frac{\lvert x^2 - 4x\rvert}{x} \;+\;\lvert -x\rvert. \] Решение: Преобразуем выражение: \[ f(x) = \frac{\lvert x(x - 4)\rvert}{x} + \lvert x \rvert = \begin{cases} \frac{x(4 - x)}{x} + |x| = 4 - x + |x|, & x 0. \end{cases} \] После упрощений:
    • Для \(x < 0\): \(f(x) = 4 - x - x = 4 - 2x\).
    • Для \(0 \le x \le 4\): \(f(x) = (4 - x) + x = 4\).
    • Для \(x > 4\): \(f(x) = (x - 4) + x = 2x - 4\).
    График состоит из двух лучей и горизонтального отрезка. Ответ: построенный график соответствует приведённым кусочным функциям.
  6. Решить уравнение: \[ \lvert 7x - 12\rvert - \lvert\,11 - 7x\rvert = 1. \] Решение: Используем свойство модуля \(|a| - |b| = 1\). Учитывая, что \(|11 - 7x| = |7x - 11|\): Рассмотрим различные случаи расположения \(x\) относительно точек \(\frac{12}{7}\) и \(\frac{11}{7}\). В результате пересечений промежутков находим корни \(x = \frac{23}{14}\) и \(x = \frac{13}{7}\). Ответ: \(\boxed{\dfrac{23}{14}, \dfrac{13}{7}}\).
  7. Построить график функции \(f(x) = 2x^2 - 8x + q\), если сумма квадратов корней равна 10. Решение: Используя теорему Виета: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2 \cdot \frac{q}{2} = 16 - q = 10. \] Отсюда \(q = 6\). Функция: \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\). Ответ: график параболы с вершиной в точке \((2, -2)\).
  8. Упростить: \[ \frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}. \] Решение: Используем тригонометрические тождества: \[ \frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \tan\alpha. \] Ответ: \(\boxed{\tan\alpha}\).
  9. Найти сумму всех трёхзначных чисел, не кратных 5. Решение: Числа от 100 до 999. Общее количество чисел: 900. Сумма равна сумме арифметической прогрессии: \[ S_{\text{всех}} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = 494550. \] Вычитаем сумму чисел, кратных 5: \[ S_{\text{крат5}} = \frac{100 + 995}{2} \cdot 180 = 98550. \] Ответ: \(\boxed{396000}\).
  10. Вычислить: \[ 1998^{\tfrac{19}{6891}} \cdot 1997^{\tfrac{19}{6891}} - 1999^{\tfrac{19}{6891}} \cdot 1996^{\tfrac{19}{6891}}. \] Решение: Вынесем общий множитель: \[ 1998^{k} \cdot 1997^{k} - 1999^{k} \cdot 1996^{k} = \left(1998 \cdot 1997\right)^k - \left(1999 \cdot 1996\right)^k. \] Учитывая, что \(1998 \cdot 1997 = (1999 - 1)(1996 + 1) = 1999 \cdot 1996 - 1\), выражение равно \((1999^{k} \cdot 1996^{k}) - (1999^{k} \cdot 1996^{k}) ) = 0\). Ответ: \(\boxed{0}\).
  11. Решить уравнение: \[ \min\{\,2x^2 - x - 4,\;x^2 + 3x + 1\} = 3x + 12. \] Решение: Рассмотрим случаи, когда минимальное из двух выражений равно \(3x + 12\). В результате решения уравнений: \[ 2x^2 - x - 4 = 3x + 12 \quad (\text{корни }x = -2, x = 8), \] \[ x^2 + 3x + 1 = 3x + 12 \quad (\text{корень }x = \sqrt{11}, x = -\sqrt{11}). \] Проверяя, какое выражение меньше в найденных точках, получаем верные корни \(x = -2\), \(x = 8\), \(x = \sqrt{11}\). Ответ: \(\boxed{-2}\), \(\boxed{\sqrt{11}}\), \(\boxed{8}\).
  12. Площадь трапеции \(ABCD\) через площади треугольников \(BOC\) и \(AOD\) (\(a^2\), \(b^2\)): Решение: Используя свойства подобных треугольников и отношение площадей: \[ S_{ABCD} = (\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2})^2 = (a + b)^2. \] Ответ: \(\boxed{(a + b)^2}\).
  13. Сумма площадей полуокружностей вне описанной окружности для прямоугольного треугольника площадью 1: Решение: Полуокружности на катетах имеют радиусы \(a/2\) и \(b/2\). Сумма площадей: \[ \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} - \left(\pi R^2 - 1\right), \] где \(R\) — радиус описанной окружности (\(R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\)). Сумма равна \(\frac{\pi}{4}\). Ответ: \(\boxed{\dfrac{\pi}{4}}\).
  14. Площадь трапеции с основаниями 16 см и 44 см, боковыми сторонами 17 см и 25 см: Решение: Вычислим высоту через боковые стороны и разность оснований: \[ h = \sqrt{17^2 - \left(\frac{44 - 16}{2}\right)^2} = 15\text{ см}. \] Площадь: \[ S = \frac{16 + 44}{2} \cdot 15 = 450\text{ см}^2. \] Ответ: \(\boxed{450}\).
  15. Радиусы вписанной и описанной окружностей трапеции с основаниями 4 см и 16 см: Решение: Для существования описанной окружности трапеция должна быть равнобедренной. Радиус вписанной окружности \(r = \frac{h}{2}\), радиус описанной окружности \(R = \frac{AC}{2}\). Вычисления дают: \[ r = \frac{h}{2} = 4\text{ см}, \quad R = \frac{\sqrt{136}}{2} = \sqrt{34}\text{ см}. \] Ответ: \(\boxed{r = 4\text{ см}}\), \(\boxed{R = \sqrt{34}\text{ см}}\).
Материалы школы Юайти