Лицей №239 из 9 в 10 класс 1998 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
1998 год
Вариант 2
- Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \sqrt{ab}\biggr) \;\biggl(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}\biggr)^{2}. \]
- Решить уравнение: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} \;+\; \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6}. \]
- Найти область определения функции: \[ f(x) = \sqrt{ \frac{-x\,(x^2 - 2x - 15)\,(x^2 - 6x + 8)} {(x^2 - 11x + 30)\,(x + 1)} }. \]
- Решить уравнение: \[ \sqrt{x^2 + 9x - 3} \;=\; \sqrt{3x - 3}. \]
- Построить график функции: \[ y = \frac{\lvert x^2 - x - 2\rvert}{\lvert x + 1\rvert}. \]
- Упростить: \[ \sqrt{3} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1. \]
- Пусть \(\cot 2\alpha = \sqrt{3}\). Найти все значения выражения \(\sin\alpha - \cos\alpha\).
- Решить уравнение: \[ \lvert x - 7\rvert - \lvert x\rvert = 2 - \lvert x + 1\rvert. \]
- При каком \(a\) одно из корней уравнения \[ x^2 - \tfrac{63}{4}x + a^3 = 0 \] будет квадратом другого корня?
- Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 11 дают в остатке 3.
- В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) взята точка \(S\) так, что \(AS = SC = 6\), а на стороне \(AB\) взята точка \(T\) так, что \(AT = 2\), \(TB = 4\). Найти отношение площадей частей, на которые треугольник \(ABC\) делится отрезком \(ST\).
- В окружности с центром \(O\) проведена хорда \(AB\), пересекающая диаметр \(CD\) в точке \(K\). Расстояние от \(O\) до \(AB\) равно 4, \(OC = 10\). Найти \(AB\).
- Построить график функции \[ f(x) = \frac{\cos\frac{3x}{2} - \cos\frac{x}{2}} {\sqrt{\cos^2x + \sin^2x - 2\cos2x + 1}} \;+\;\bigl|\sin\frac{x}{2}\bigr|. \]
- В равнобедённую трапецию с боковой стороной 10 вписана окружность радиуса 4. Другая окружность касается большого основания, боковой стороны и данной вписанной окружности. Найти радиус этой второй окружности.
- Основание \(AC\) равнобедённого треугольника \(ABC\) равно 6, а боковая сторона — 5. Найти расстояние между точками пересечения медиан и биссектрисы угла \(A\) этого треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение:
\[
\biggl(\frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \sqrt{ab}\biggr)\;\biggl(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}\biggr)^{2}
\]
Решение:
\[
\frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a + b + \sqrt{ab}
\]
\[
a + b + \sqrt{ab} + \sqrt{ab} = a + b + 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2
\]
\[
\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}
\]
\[
(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right)^2 = 1
\]
Ответ: $1$.
- Решить уравнение:
\[
\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6}
\]
Решение: Замена $t = x^2 + 2x + 1$:
\[
\frac{t}{t + 1} + \frac{t + 1}{t + 2} = \frac{7}{6}
\]
Общий знаменатель:
\[
6t(t + 2) + 6(t + 1)^2 = 7(t + 1)(t + 2)
\]
\[
6t^2 + 12t + 6t^2 + 12t + 6 = 7t^2 + 21t + 14
\]
\[
5t^2 - 9t - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{9 \pm \sqrt{241}}{10}
\]
Возвращаем замену:
\[
x^2 + 2x + 1 = \frac{9 \pm \sqrt{241}}{10}
\]
Ответ: $x = -1 \pm \sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{241}}{10} - 0}$ (конкретные вычисления требуют уточнения).
- Найти область определения функции:
\[
f(x) = \sqrt{\frac{-x\,(x^2 - 2x - 15)\,(x^2 - 6x + 8)}{(x^2 - 11x + 30)\,(x + 1)}}
\]
Решение: Условие неотрицательности:
\[
\frac{-x(x - 5)(x + 3)(x - 4)(x - 2)}{(x - 5)(x - 6)(x + 1)} \geq 0
\]
После сокращений получаем:
\[
\frac{-x(x + 3)(x - 2)}{(x - 6)(x + 1)} \geq 0
\]
Ответ: $x \in [-3, -1) \cup [0, 2] \cup (6, +\infty)$.
- Решить уравнение:
\[
\sqrt{x^2 + 9x - 3} = \sqrt{3x - 3}
\]
Решение:
\[
x^2 + 9x - 3 = 3x - 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{или} \quad x = -6
\]
Проверкой исключаем $x = -6$ (не подходит). Ответ: $0$.
- Построить график функции:
\[
y = \frac{\lvert x^2 - x - 2\rvert}{\lvert x + 1\rvert}
\]
Решение: Упростим при $x \neq -1$:
\[
y = \frac{\lvert (x - 2)(x + 1)\rvert}{\lvert x + 1\rvert} = \lvert x - 2\rvert
\]
График — ломаная с вершиной в точке $(2,0)$, исключая $x = -1$.
- Упростить:
\[
\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = \sqrt{3} - 3\sqrt{2} + 1
\]
Ответ: $\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + 1$.
- Пусть $\cot 2\alpha = \sqrt{3}$. Найти значения выражения $\sin\alpha - \cos\alpha$.
Решение:
\[
\cot 2α = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 2α = 30^\circ + 180^\circ k \quad \Rightarrow \quad α = 15^\circ + 90^\circ k
\]
При $α = 15^\circ$:
\[
\sin 15^\circ - \cos 15^\circ = -\sqrt{2}\sin 30^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Решить уравнение:
\[
\lvert x - 7\rvert - \lvert x\rvert = 2 - \lvert x + 1\rvert
\]
Решение: Рассмотрим случаи:
- $x \geq 7$: $(x - 7) - x = 2 - (x + 1) \quad \Rightarrow \quad x = 8$
- $0 \leq x < 7$: $ (7 - x) - x = 2 - (x + 1) \quad \Rightarrow \quad x = 4$
- $-1 \leq x < 0$: $(7 - x) + x = 2 - (x + 1) \quad \Rightarrow \quad x = -4$ (не подходит)
- $x < -1$: $(7 - x) + x = 2 + (x + 1) \quad \Rightarrow \quad x = 6$ (не подходит)
Ответ: $4$, $8$.
- При каком $a$ корень уравнения $x^2 - \frac{63}{4}x + a^3 = 0$ квадрат другого?
Решение: Пусть $x_1 = x_2^2$:
\[
x_1 + x_2 = \frac{63}{4}, \quad x_1x_2 = a^3
\]
\[
x_2^2 + x_2 = \frac{63}{4}, \quad x_2^3 = a^3 \quad \Rightarrow \quad x_2 = a
\]
Решая уравнение: $a^2 + a - \frac{63}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{-1 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{7}{2}$
- Найти сумму натуральных чисел ≤300, дающих остаток 3 при делении на 11.
Решение: Числа: $3,14,25,...,297$ (28 чисел)
\[
S = \frac{28}{2}(3 + 297) = 14 \cdot 300 = 4200
\]
Ответ: $4200$.
- Отношение площадей частей треугольника, разделённых ST:
Решение: Точка S — середина AC, T делит AB 2:4. Площадь AST: $\frac{1}{2} \cdot AT \cdot AS \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin A = 6\sin A$.
Вся площадь ABC: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$. Отношение: $\frac{6\sin A}{AB \cdot AC \cdot \sin A} = \frac{6}{5 \cdot 12} = \frac{1}{10}$.
- Найти длину AB. Решение:
\[
AB = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{10^2 - 4^2} = 2\sqrt{84} = 4\sqrt{21}
\]
Ответ: $4\sqrt{21}$.
- График функции после упрощения: $y = |\sin x|$
- Радиус второй окружности. Решение: Пусть радиус $R$. Из подобия: $\frac{4 + R}{10} = \frac{R}{4} \Rightarrow R = \frac{16}{3}$.
- Расстояние между точкой пересечения медиан и биссектрисы: Решение: Координаты медианы: $(0, \frac{5}{3})$, биссектрисы: $(0, \frac{24}{11})$, расстояние $\frac{5}{3} - \frac{24}{11} = \frac{1}{33}$.
Материалы школы Юайти