8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 1998 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 1998
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


1998 год


Вариант 1



  1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{n - m}{\sqrt{n} + \sqrt{m}}\biggr)^{2} : \bigl(\tfrac{\sqrt{n^{3}} - \sqrt{m^{3}}}{\sqrt{n} - \sqrt{m}} - 3\sqrt{mn}\bigr). \]
  2. Решить уравнение: \[ \frac{z^{2} - z}{z^{2} - z + 1} - \frac{z^{2} - z + 2}{z^{2} - z - 2} = 1. \]
  3. Найти область определения функции: \[ f(x) = \sqrt{\frac{x(x^{2} + x - 12)(x^{2} - 3x + 2)} {(x^{2} - x - 6)(-x + 5)}}. \]
  4. Решить уравнение: \[ \sqrt{x^{2} + 8x - 4} \;=\; \sqrt{4x - 4}. \]
  5. Построить график функции: \[ f(x) = \frac{\bigl|x^{2} - 4x + 3\bigr|}{\lvert x - 1\rvert}. \]
  6. Упростить: \[ 2\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}. \]
  7. Пусть \(\tan 2\alpha = \tfrac{1}{\sqrt{3}}\). Найти все возможные значения выражения \(\sin\alpha + \cos\alpha\).
  8. Решить уравнение: \[ \lvert x - 5\rvert + \lvert x - 2\rvert - \lvert x + 1\rvert = -3. \]
  9. При каком \(a\) одно из корней уравнения \[ x^{2} - \tfrac{15}{4}x + a^{3} = 0 \] равно \(1\)?

  10. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 165, которые при делении на 7 дают в остатке 5.
  11. В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) взята точка \(K\) так, что \(AK = KC = 3\), а на стороне \(BC\) взята точка \(L\) так, что \(BL = 1\), \(LC = 2\). Найти отношение площадей частей, на которые треугольник \(ABC\) делится отрезком \(KL\).
  12. В окружности с центром \(O\) проведена хорда \(AB\), пересекающая диаметр \(CD\) в точке \(K\). Расстояние от \(O\) до \(AB\) равно 4, \(AB = 16\). Найти \(OC\).
  13. Построить график функции \[ f(x) = -\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}} \;+\; \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2}}{\sqrt{2 - 2\cos2x}}. \]
  14. В равнобедённую трапецию с основаниями 2 и 8 вписана окружность. Другая окружность касается большого основания, боковой стороны и данной окружности. Найти радиус этой второй окружности.
  15. Основание \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равно 6, а боковая сторона — 5. Найти расстояние между точками пересечения медиан и высоты треугольника \(ABC\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{n - m}{\sqrt{n} + \sqrt{m}}\biggr)^{2} : \bigl(\tfrac{\sqrt{n^{3}} - \sqrt{m^{3}}}{\sqrt{n} - \sqrt{m}} - 3\sqrt{mn}\bigr) \]
    Решение: Упростим числитель: \[ \left(\frac{n - m}{\sqrt{n} + \sqrt{m}}\right)^2 = (\sqrt{n} - \sqrt{m})^2 = n + m - 2\sqrt{mn} \] Упростим знаменатель: \[ \frac{\sqrt{n^3} - \sqrt{m^3}}{\sqrt{n} - \sqrt{m}} - 3\sqrt{mn} = n + \sqrt{mn} + m - 3\sqrt{mn} = n + m - 2\sqrt{mn} \] Тогда исходное выражение: \[ \frac{n + m - 2\sqrt{mn}}{n + m - 2\sqrt{mn}} = 1 \] Ответ: 1.
  2. Решить уравнение: \[ \frac{z^{2} - z}{z^{2} - z + 1} - \frac{z^{2} - z + 2}{z^{2} - z - 2} = 1 \]
    Решение: Замена \( t = z^2 - z \): \[ \frac{t}{t + 1} - \frac{t + 2}{t - 2} = 1 \] Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{t(t - 2) - (t + 2)(t + 1)}{(t + 1)(t - 2)} = 1 \implies -5t - 2 = (t + 1)(t - 2) \] Решаем квадратное уравнение: \[ t^2 + 4t = 0 \implies t(t + 4) = 0 \implies t = 0;\, t = -4 \] Возвращаемся к \( z \): \[ z^2 - z = 0 \implies z = 0;\, z = 1 \quad (\text{остальные корни не подходят}) \] Ответ: \( 0;\, 1 \).
  3. Найти область определения функции: \[ f(x) = \sqrt{\frac{x(x^{2} + x - 12)(x^{2} - 3x + 2)}{(x^{2} - x - 6)(-x + 5)}} \]
    Решение: Разложим многочлены на множители: \[ \frac{x(x + 4)(x - 3)(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)(-x + 5)} \] Условия неотрицательности и ненулевого знаменателя: \[ x \in [-4, -2) \cup [0, 1] \cup [2, 5) \] Ответ: \( [-4, -2) \cup [0, 1] \cup [2, 5) \).
  4. Решить уравнение: \[ \sqrt{x^{2} + 8x - 4} = \sqrt{4x - 4} \]
    Решение: Возводим в квадрат: \[ x^2 + 8x - 4 = 4x - 4 \implies x^2 + 4x = 0 \implies x(x + 4) = 0 \] Проверка корней:
    \( x = 0 \): Не подходит (отрицательный подкорень).
    \( x = -4 \): Не подходит (отрицательный подкорень).
    Ответ: Нет решения.
  5. Построить график функции: \[ f(x) = \frac{\bigl|x^{2} - 4x + 3\bigr|}{\lvert x - 1\rvert} \]
    Решение: Упростим: \[ f(x) = |x - 3| \quad (x \ne 1) \] График: две луча \( y = |x - 3| \) при \( x > 1 \) и \( y = -|x - 3| \) при \( x < 1 \).
    Ответ: График состоит из двух V-образных линий.
  6. Упростить: \[ 2\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} \]
    Решение: Представим корни в виде: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}; \quad \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 1 \] Подставляем: \[ 2(2 - \sqrt{3}) + (2\sqrt{3} - 1) = 3 \] Ответ: 3.
  7. Пусть \(\tan 2\alpha = \tfrac{1}{\sqrt{3}}\). Найти все возможные значения выражения \(\sin\alpha + \cos\alpha\).
    Решение: \[ 2\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies \alpha = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \] Выражение: \[ \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \] Подставляя решения, получаем: \[ \pm \frac{\sqrt{6}}{2}; \quad \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ответ: \( \pm \frac{\sqrt{6}}{2}; \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  8. Решить уравнение: \[ |x - 5| + |x - 2| - |x + 1| = -3 \]
    Решение: Рассмотрим интервалы:
    1. \( x < -1 \): Нет решений.
    2. \( -1 \leq x < 2 \): Нет решений.
    3. \( 2 \leq x < 5 \): Нет решений.
    4. \( x \geq 5 \): \( x = 5 \).
    Проверка: Подходит.
    Ответ: 5.
  9. При каком \(a\) одно из корней уравнения \[ x^{2} - \tfrac{15}{4}x + a^{3} = 0 \] равно \(1\)?
    Решение: Подставляем \(x = 1\): \[ 1 - \frac{15}{4} + a^3 = 0 \implies a = \sqrt[3]{\frac{11}{4}} \] Ответ: \( a = \sqrt[3]{\frac{11}{4}} \).
  10. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 165, которые при делении на 7 дают в остатке 5.
    Решение: Числа вида \(7k + 5\):
    Максимальное значение \(7k + 5 \leq 165 \implies k \leq 22\).
    Сумма арифметической прогрессии: \[ S = \frac{5 + 159}{2} \cdot 23 = 1886 \] Ответ: 1886.
  11. В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) взята точка \(K\) так, что \(AK = KC = 3\), а на стороне \(BC\) взята точка \(L\) так, что \(BL = 1\), \(LC = 2\). Найти отношение площадей частей, на которые треугольник \(ABC\) делится отрезком \(KL\).
    Решение: Используя теорему Менелая и свойства трапеции:
    Площадь KLC = 1.5, общая площадь ABC = 9. Отношение площадей: 7.5 : 1.5 = 5:1.
    Ответ: 5:1.
  12. В окружности с центром \(O\) проведена хорда \(AB\), пересекающая диаметр \(CD\) в точке \(K\). Расстояние от \(O\) до \(AB\) равно 4, \(AB = 16\). Найти \(OC\).
    Решение: Радиус окружности: \[ R = \sqrt{8^2 + 4^2} = 4\sqrt{5} \] Ответ: \( OC = 4\sqrt{5} \).
  13. Построить график функции \[ f(x) = -\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}} + \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2}}{\sqrt{2 - 2\cos2x}}. \]
    Решение: Упростим: \[ f(x) = -|\sin\frac{x}{2}| + \begin{cases} \sin\frac{x}{2}, & \sin x \geq 0 \\ -\sin\frac{x}{2}, & \sin x < 0 \end{cases} \] График: Нуль при \(x \in [0, \pi]\), \(-2\sin\frac{x}{2}\) при \(x \in (\pi, 2\pi)\). Ответ: График согласно упрощению.
  14. В равнобедённую трапецию с основаниями 2 и 8 вписана окружность. Другая окружность касается большого основания, боковой стороны и данной окружности. Найти радиус этой второй окружности.
    Решение: Используя свойства трапеции и радиусы окружностей:
    Ответ: \( \frac{2}{3} \).
  15. Основание \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равно 6, а боковая сторона — 5. Найти расстояние между точками пересечения медиан и высоты треугольника \(ABC\).
    Решение: Координаты барицентра \( G(0, \frac{4}{3}) \), ортоцентра \( H(0, \frac{9}{4}) \):
    Расстояние: \[ \left| \frac{9}{4} - \frac{4}{3} \right| = \frac{11}{12} \] Ответ: \( \frac{11}{12} \).
Материалы школы Юайти