Лицей №239 из 8 в 9 класс вариант 2
Печать
youit.school ©
Вступительная работа в 9 класс ФМЛ № 239
(продолжительность работы — 3 астрономических часа)II вариант
- Упростить выражение:
\[
\frac{9}{(b-3)(c-3)}
\;-\;
\frac{b^2}{(b-c)(3-b)}
\;-\;
\frac{c^2}{(3-c)(c-b)}.
\]
- Упростить выражение:
\[
\sqrt{\,a - 1\,}
\;+\;
2\sqrt{\,a - 2\,}.
\]
- Решить уравнение:
\[
\bigl|\,x^2 - 5x + 6\bigr|
= 5x - x^2 - 6.
\]
- Решить неравенство:
\[
\left|x\right|\;
\frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 - x - 1}
\;\ge\;0.
\]
- Построить график функции:
\[
y = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x - 2}.
\]
- Найти те значения \(b\), при которых сумма квадратов корней уравнения
\[
x^2 - b x + 10 = 0
\]
равна 16.
- Решить в целых числах уравнение:
\[
x^2 - 3xy = x - 3y + 2.
\]
- Определить, при каких \(x\) и \(y\) выражение
\[
5y^2 + 4y + x^2 - 2xy + 1
\]
принимает наименьшее значение.
- Найти длину медианы \(CM\) треугольника \(ABC\), если известны
координаты вершин:
\[
A(-2,5),\quad B(-4,3),\quad C(0,0).
\]
- Основания трапеции равны 10 см и 16 см. Найти длины отрезков, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение:
\[
\frac{9}{(b-3)(c-3)} - \frac{b^2}{(b-c)(3-b)} - \frac{c^2}{(3-c)(c-b)}
\]
Решение: Преобразуем знаменатели слагаемых:
\[
3 - b = -(b - 3), \quad 3 - c = -(c - 3), \quad c - b = -(b - c)
\]
Перепишем выражение:
\[
\frac{9}{(b-3)(c-3)} + \frac{b^2}{(b-c)(b-3)} + \frac{c^2}{(b-c)(c-3)}
\]
Приведём к общему знаменателю \((b-3)(c-3)(b-c)\):
\[
\frac{9(c-b) + b^2(c-3) + c^2(b-3)}{(b-3)(c-3)(b-c)}
\]
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:
\[
\frac{-9(b-c) + b^2c -3b^2 + bc^2 -3c^2}{(b-3)(c-3)(b-c)} = \frac{-(b - c)(9 - bc)}{(b-3)(c-3)(b-c)} = \frac{bc - 9}{(b-3)(c-3)}
\]
Ответ: \(\dfrac{bc - 9}{(b-3)(c-3)}\).
- Упростить выражение:
\[
\sqrt{a - 1} + 2\sqrt{a - 2}
\]
Решение: Область определения: \(a \geq 2\). Выражение не требует дальнейших упрощений и записано в стандартном виде.
Ответ: \(\sqrt{a - 1} + 2\sqrt{a - 2}\ при\ a \geq 2\).
- Решить уравнение:
\[
|x^2 - 5x +6| = 5x - x^2 -6
\]
Решение: Правая часть равна \(-(x^2 -5x +6)\). Уравнение \(|f(x)| = -f(x)\) выполняется при \(f(x) \leq 0\):
\[
x^2 -5x +6 \leq 0 \implies (x-2)(x-3) \leq 0 \implies x \in [2;3]
\]
Проверка: на отрезке \([2;3]\) уравнение тождественно выполняется.
Ответ: \(x \in [2; 3]\).
- Решить неравенство:
\[
|x| \cdot \frac{x^3 -x^2 -x +1}{x^3 +x^2 -x -1} \geq 0
\]
Решение: Разложив числитель и знаменатель на множители:
\[
\frac{(x-1)^2(x+1)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{(x-1)}{(x+1)}
\]
Учитывая ОДЗ (\(x \neq \pm1\)) и выполнив разбор знаков выражения \(|x| \cdot \frac{x-1}{x+1}\), получим решение:
\[
x \in (-\infty; -1) \cup \{0\} \cup (1; +\infty)
\]
Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup \{0\} \cup (1; +\infty)\).
- Построить график функции:
\[
y = \frac{x^3 +2x^2 -5x -6}{x -2}
\]
Решение: Разделим числитель на знаменатель:
\[
x^3 +2x^2 -5x -6 = (x-2)(x^2 +4x +3) \implies y = x^2 +4x +3\ для\ x \neq 2
\]
График — парабола \(y = x^2 +4x +3\) с выколотой точкой при \(x = 2\).
Ответ: Парабола \(y = x^2 +4x +3\), исключена точка \((2;15)\).
- Найти значения \(b\), при которых сумма квадратов корней уравнения \(x^2 -bx +10 = 0\) равна 16.
Решение: Сумма квадратов корней:
\[
x_1^2 +x_2^2 = (x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2 = b^2 -2 \cdot 10 =16 \implies b^2 =36 \implies b = \pm6
\]
Ответ: \(b = \pm6\).
- Решить в целых числах уравнение:
\[
x^2 -3xy =x -3y +2
\]
Решение: Перепишем уравнение и разложим на множители:
\[
(x -1)(x -3y -2) =0 \implies x =1\ или\ x =3y +2
\]
Подставляя \(x =3y +2\) и учитывая целостность, получим решения:
\((2,0)\), \((-1,0)\).
Ответ: \((2,0)\), \((-1,0)\).
- Определить, при каких \(x\) и \(y\) выражение \(5y^2 +4y +x^2 -2xy +1\) принимает наименьшее значение.
Решение: Выделим полные квадраты:
\[
(x -y)^2 + (2y +1)^2 \geq 0
\]
Минимум достигается при:
\[
x = -\frac{1}{2},\ y = -\frac{1}{2}
\]
Ответ: \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\).
- Найти длину медианы \(CM\) треугольника \(ABC\) с координатами \(A(-2,5)\), \(B(-4,3)\), \(C(0,0)\).
Решение: Середина \(AB\) — точка \(M(-3,4)\). Расстояние \(CM\):
\[
\sqrt{(-3 -0)^2 + (4 -0)^2} =5
\]
Ответ: 5.
- Основания трапеции равны 10 см и 16 см. Найти длины отрезков средней линии, на которые её делят диагонали. Решение: Средняя линия равна \(\frac{10 +16}{2} =13\ см\). Диагонали делят её на три части: два крайних отрезка по 5 см и средний 3 см. Ответ: 3 см и 5 см.
Материалы школы Юайти