Лицей №239 из 8 в 9 класс вариант 1
Печать
youit.school ©
Вступительная работа в 9 класс ФМЛ №239
(продолжительность работы — 3 астрономических часа)I вариант
- Упростить выражение:
\[
\frac{a^2}{(a+1)(a-c)}
\;+\;
\frac{1}{(c+1)(a+1)}
\;+\;
\frac{c^2}{(c-a)(c+1)}.
\]
- Упростить выражение:
\[
\sqrt{b - 2} + 2\sqrt{b - 3}.
\]
- Решить уравнение:
\[
\bigl|\,5x - x^2 - 6\bigr| = x^2 - 5x + 6.
\]
- Решить неравенство:
\[
\left|\,x\right|\;\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^3 - x^2 - x + 1}\;\ge 0.
\]
- Построить график функции:
\[
y = \frac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x + 2}.
\]
- Найти те значения \(a\), при которых сумма квадратов корней уравнения
\[
x^2 - a x + 20 = 0
\]
равна 24.
- Решить в целых числах уравнение:
\[
2x^2 + xy = x + 7.
\]
- Определить, при каких \(x\) и \(y\) выражение
\[
5x^2 - 4x + y^2 + 2xy + 1
\]
принимает наименьшее значение.
- Найти длину медианы \(CM\) треугольника \(ABC\), если координаты вершин:
\[
A(2,-5),\; B(4,-3),\; C(0,0).
\]
- В трапеции основания равны 12 см и 18 см. Найти длины отрезков, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение:
\[
\frac{a^2}{(a+1)(a-c)} + \frac{1}{(c+1)(a+1)} + \frac{c^2}{(c-a)(c+1)}.
\]
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю \((a+1)(c+1)(a-c)\):
\[
\frac{a^2(c+1) + (a - c) - c^2(a+1)}{(a+1)(c+1)(a - c)}.
\]
Упростим числитель:
\[
a^2(c+1) + (a - c) - c^2(a+1) = (a - c)(ac + a + c + 1).
\]
После сокращения на \((a - c)\):
\[
\frac{(a - c)(ac + a + c + 1)}{(a+1)(c+1)(a - c)} = \frac{ac + a + c + 1}{(a+1)(c+1)}.
\]
Числитель преобразуем:
\[
ac + a + c + 1 = (a+1)(c+1).
\]
Сокращаем:
\[
\frac{(a+1)(c+1)}{(a+1)(c+1)} = 1.
\]
Ответ: \(1\).
- Упростить выражение:
\[
\sqrt{b - 2} + 2\sqrt{b - 3}.
\]
Решение:
Область определения: \(b \geq 3\). При подстановке \(t = \sqrt{b - 3}\) выражение принимает вид \(\sqrt{t^2 + 1} + 2t\). Проверка упрощений показывает, что дальнейшее преобразование невозможно без дополнительных условий. Таким образом, выражение сохраняет исходный вид.
Ответ: \(\sqrt{b - 2} + 2\sqrt{b - 3}\).
- Решить уравнение:
\[
\left|\,5x - x^2 - 6\,\right| = x^2 - 5x + 6.
\]
Решение:
Уравнение эквивалентно \(|x^2 - 5x + 6| = x^2 - 5x + 6\), что выполняется при \(x^2 - 5x + 6 \geq 0\). Решаем квадратное неравенство:
\[
(x - 2)(x - 3) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty).
\]
Ответ: \(x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)\).
- Решить неравенство:
\[
\left|\,x\,\right| \, \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^3 - x^2 - x + 1} \geq 0.
\]
Решение:
Разложим числитель и знаменатель:
\[
x^3 + x^2 - x - 1 = (x+1)^2(x-1), \quad x^3 - x^2 - x + 1 = (x-1)^2(x+1).
\]
Упрощаем дробь:
\[
\frac{(x+1)^2(x-1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{x+1}{x-1} \quad (x \neq 1, x \neq -1).
\]
Рассматриваем знак выражения \( \frac{|x|(x+1)}{x-1} \).
Получаем промежутки: \(x \in (-\infty, -1] \cup \{0\} \cup (1, +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-\infty, -1] \cup \{0\} \cup (1, +\infty)\).
- Построить график функции:
\[
y = \frac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x + 2}.
\]
Решение:
Разделим многочлен числителя на \(x + 2\):
\[
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x^2 - 4x + 3) = (x + 2)(x - 1)(x - 3).
\]
Упрощаем функцию:
\[
y = x^2 - 4x + 3 \quad (x \neq -2).
\]
График — парабола \(y = x^2 - 4x + 3\) с выколотой точкой при \(x = -2\) (\(y = 15\)).
Ответ: Парабола \(y = x^2 - 4x + 3\) с выколотой точкой \((-2, 15)\).
- Найти значения \(a\), при которых сумма квадратов корней уравнения \(x^2 - a x + 20 = 0\) равна 24.
Решение:
Сумма квадратов корней:
\[
u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv = a^2 - 40.
\]
Уравнение:
\[
a^2 - 40 = 24 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 8.
\]
Ответ: \(a = \pm 8\).
- Решить в целых числах уравнение:
\[
2x^2 + xy = x + 7.
\]
Решение:
Перепишем уравнение:
\[
x(2x + y - 1) = 7.
\]
Перебирая делители числа 7, находим решения:
\[
(x, y) = (1, 6), (-1, -4), (7, -12), (-7, 14).
\]
Ответ: \((1, 6), (-1, -4), (7, -12), (-7, 14)\).
- Найти минимум выражения:
\[
5x^2 - 4x + y^2 + 2xy + 1.
\]
Решение:
Преобразуем выражение:
\[
(2x - 1)^2 + (y + x)^2.
\]
Минимум достигается при \(2x - 1 = 0\) и \(y + x = 0\):
\[
x = \frac{1}{2}, \; y = -\frac{1}{2}.
\]
Ответ: Минимум равен \(0\) в точке \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\).
- Найти длину медианы \(CM\) треугольника \(ABC\) с координатами \(A(2, -5)\), \(B(4, -3)\), \(C(0, 0)\).
Решение:
Середина стороны \(AB\): \(M(3, -4)\).
Длина медианы:
\[
CM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = 5.
\]
Ответ: \(5\).
- Найти длины отрезков, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию. Основания трапеции 12 см и 18 см. Решение: Средняя линия \(MN = 15\) см. Соотношение отрезков: \(EK : KF = 18 : 12 = 3 : 2\). Длины отрезков: \[ EK = \left(\frac{3}{5}\right) \times 15 = 9 \; \text{см}, \quad KF = 15 - 9 = 6 \; \text{см}. \] Ответ: \(9 \; \text{см}\) и \(6 \; \text{см}\).
Материалы школы Юайти