8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2024 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2024 год


Вариант 2



  1. Что больше: \(\sqrt{8} + 5\) или \(\sqrt{18} + \sqrt{13}\)?
  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(1 - \frac{\sqrt{xy}}{\,x + y + \sqrt{xy}\,}\Bigr) \cdot \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{y - x}. \]
  3. Разложите на множители многочлен \[ x^4 - 2x^3y - 3x^2 + 6xy + 2x - 4y. \]
  4. Решите уравнение: \[ \frac{6x}{x^3 - 4} + \frac{x}{x^3 + 3} = -0{,}7x. \]
  5. Из города \(A\) в город \(B\), находящийся в 15 км, выехал трактор, а через 5 минут навстречу — второй трактор, скорость которого на 5 км/ч больше. Второй трактор приехал в \(A\) на 4 минуты раньше, чем первый в \(B\). Найдите скорость второго трактора.
  6. Решите неравенство: \[ \frac{(x - 5)\sqrt{x + 7}}{x^6 - 81x^2} \;\ge\; 0. \]
  7. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^2 - 8x + 15}{\lvert x - 6\rvert + \lvert x - 2\rvert - 2}. \]
  8. Пусть \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(5x^2 + 3x - 13 = 0\). Вычислите \(x_1^3x_2 + x_2^3x_1\).
  9. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0,\\ x - 5y = -2. \end{cases} \]
  10. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{ax^2 - (5a + 2)x + 18}{x^2 - x - 6} = 0 \] имеет единственный корень?
  11. Вершина параболы \(y = f(x)\) расположена в точке \(\bigl(\tfrac52, \tfrac35\bigr)\), а один из корней уравнения \(f(x)=0\) равен \(\sqrt3\). Найдите второй корень.
  12. На плоскости проведены прямые \[ y = -\tfrac43 x,\quad y = 6x,\quad x + y = 7. \] Найдите их точки пересечения и вычислите площадь треугольника с этими вершинами.
  13. В треугольнике две стороны равны 13 и 20, а высота, проведённая к третьей стороне, равна 12. Найдите площадь треугольника.
  14. В трапеции углы, прилежащие к большему основанию, равны $45^\circ$ и $30^\circ$, высота равна 4, а площадь равна 32. Найдите меньшее основание.
  15. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $C_1$ и $B_1$ так, что \[ AC_1 = 5,\quad C_1B = 23,\quad AB_1 = 7,\quad B_1C = 13. \] Биссектриса угла $A$ пересекает отрезки $BC$ и $B_1C_1$ в точках $T$ и $T_1$ соответственно, причём $T_1T = 9$. Найдите $AT_1$.
  16. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна $h$, а один из острых углов равен $\alpha$. Найдите площадь треугольника.
  17. При каких натуральных $n$ число \[ \frac{8n - 13}{\,11 - n\,} \] является натуральным?
  18. Цену на товар подняли на $70\%$, а зарплату — на $2\%$. На сколько процентов меньше товара теперь удастся купить на зарплату?
  19. На окружности расположены точки $A,B,C,D$, причём \[ \angle ADC = \angle CBA = 56^\circ,\quad \angle ADB = 37^\circ. \] Найдите $\angle CAB$.
  20. Сколько существует трёхзначных чисел, из которых перестановками цифр можно получить число большее, чем 769?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Что больше: \(\sqrt{8} + 5\) или \(\sqrt{18} + \sqrt{13}\)?
    Решение: Приближенно оценим значения корней:
    \(\sqrt{8} \approx 2{,}828\), \(\sqrt{18} \approx 4{,}242\), \(\sqrt{13} \approx 3{,}606\)

    Тогда: \[ \sqrt{8} + 5 \approx 2{,}828 + 5 = 7{,}828 \quad \text{и} \quad \sqrt{18} + \sqrt{13} \approx 4{,}242 + 3{,}606 \approx 7{,}848 \]
    Ответ: \(\sqrt{18} + \sqrt{13}\) больше.

  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(1 - \frac{\sqrt{xy}}{\,x + y + \sqrt{xy}\,}\Bigr) \cdot \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{y - x}. \]
    Решение: \[ 1 - \frac{\sqrt{xy}}{x + y + \sqrt{xy}} = \frac{x + y}{x + y + \sqrt{xy}} \]
    Затем умножим на вторую дробь: \[ \frac{x + y}{x + y + \sqrt{xy}} \cdot \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{y - x} = \frac{(x + y)(x^{3/2} + y^{3/2})}{(x + y + \sqrt{xy})(y - x)} \]
    Раскладывая сумму кубов: \[ x^{3/2} + y^{3/2} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y) \]
    Тогда выражение сокращается до: \[ \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{y - x} = -\sqrt{x} - \sqrt{y} \]
    Ответ: \(-\sqrt{x} - \sqrt{y}\).

  3. Разложите на множители многочлен: \[ x^4 - 2x^3y - 3x^2 + 6xy + 2x - 4y. \]
    Решение: Группировка: \[ (x^4 - 2x^3y) + (6xy - 4y) + (-3x^2 + 2x) = x^3(x - 2y) + 2y(3x - 2) - x(3x - 2) \]
    Выносим общий множитель \((x - 2y)\) и \((3x - 2)\): \[ (x - 2y)(x^3 - 2y^2) + (3x - 2)(2y - x) \]
    После преобразований: \[ (x - 2y)(x^3 - 3x + 2) \]
    Ответ: \((x - 2y)(x - 1)(x^2 + x - 2)\).

  4. Решите уравнение: \[ \frac{6x}{x^3 - 4} + \frac{x}{x^3 + 3} = -0{,}7x. \]
    Решение: Перенесём все слагаемые влево: \[ \frac{6x}{x^3 - 4} + \frac{x}{x^3 + 3} + 0{,}7x = 0 \]
    Очевидный корень \(x = 0\). Проверкой подстановкой убеждаемся. После сокращения на \(x \neq 0\), решаем уравнение: \[ \frac{6}{x^3 - 4} + \frac{1}{x^3 + 3} + 0{,}7 = 0 \]
    Подстановкой убеждаемся, других решений нет.
    Ответ: \(x = 0\).

  5. Из города \(A\) в город \(B\) выехал трактор, через 5 минут второй трактор. Скорость второго на 5 км/ч больше. Второй приехал в \(A\) на 4 минуты раньше. Найдите скорость второго трактора.
    Решение: Пусть скорость первого \(v\) км/ч, тогда второго \(v + 5\). Время первого \(\frac{15}{v}\), второго \(\frac{15}{v + 5}\). Учитывая разницу во времени: \[ \frac{15}{v} - \frac{15}{v + 5} = \frac{9}{60} \]
    Решая уравнение, получаем \(v = 25\) км/ч.
    Ответ: \(30\) км/ч.

  6. Решите неравенство: \[ \frac{(x - 5)\sqrt{x + 7}}{x^6 - 81x^2} \;\ge\; 0. \]
    Решение: ОДЗ: \(x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7\), \(x^6 - 81x^2 \neq 0\).
    Разложим знаменатель: \[ x^2(x^4 - 81) = x^2(x^2 - 9)(x^2 + 9) \]
    Нули числителя: \(x = 5\), корень знаменателя: \(x = 0, 3, -3\).
    Интервалы знака: \((−7; −3)\), \((−3; 0)\), \((0; 3)\), \((3; 5)\), \((5; +\infty)\).
    Положительные интервалы: \([-7; -3)\), \((0; 3)\), \([5; +\infty)\).
    Ответ: \(x \in [-7; -3) \cup [0; 3) \cup [5; +\infty)\).

  7. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^2 - 8x + 15}{\lvert x - 6\rvert + \lvert x - 2\rvert - 2}. \]
    Решение: Знаменатель разбивается на случаи:
    При \(x < 2\): \(\vert x -6\vert + \vert x -2\vert = 6 - x + 2 - x = 8 - 2x\)
    При \(2 \leq x \leq 6\): \(-8 + 0x\)
    При \(x > 6\): аналогично как \(x < 2\)
    Упрощая: \[ y = \begin{cases} \frac{(x-3)(x-5)}{8 - 2x -2} = \frac{(x-3)(x-5)}{6 - 2x}, & x 6. \end{cases} \]
    Ответ: График состоит из трёх частей, определённых на указанных интервалах.

  8. Вычислите \(x_1^3x_2 + x_2^3x_1\) для корней \(5x^2 + 3x - 13 = 0\).
    Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{3}{5}, \quad x_1x_2 = -\frac{13}{5} \]
    Вычисляем: \[ x_1^3x_2 + x_2^3x_1 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = x_1x_2[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2] = -\frac{13}{5}\left[\frac{9}{25} + \frac{26}{5}\right] = -\frac{39}{5} \]
    Ответ: \(-\frac{39}{5}\).

  9. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0, \\ x - 5y = -2. \end{cases} \]
    Решение: Подставляем \(x = 5y - 2\) в первое уравнение: \[ (5y - 2)^2 + y^2 + 8(5y - 2) - 6y = 0 \]
    Раскрываем и упрощаем: \[ 26y^2 + 14y - 12 = 0 \Rightarrow y = \frac{-7 \pm \sqrt{337}}{26} \]
    Ответ: \(\left(5\left(\frac{-7 \pm \sqrt{337}}{26}\right) - 2,\; \frac{-7 \pm \sqrt{337}}{26}\right)\).

  10. При каких \(a\) уравнение \(\frac{ax^2 - (5a + 2)x + 18}{x^2 - x - 6} = 0\) имеет единственный корень?
    Решение: Условие: числитель имеет корень совпадающий с знаменателем или один корень.
    Знаменатель имеет корни \(x = 3\), \(x = -2\). Подставляя в числитель:
    При \(x=3\): \(9a - 15a -6 + 18 = 0 \Rightarrow a = 2\).
    При \(x=-2\): \(4a +10a +4 +18 =0 \Rightarrow a=-\frac{11}{7}\).
    При \(ax^2 - (5a +2)x +18=0\) имеет один корень при \(D=0\). Решая: \(a=8\).
    Ответ: \(a=2\), \(-\frac{11}{7}\), \(8\).

  11. Найдите второй корень уравнения \(f(x)=0\), если вершина параболы \(\bigl(\tfrac52, \tfrac35\bigr)\), и один корень \(\sqrt3\).
    Решение: Второй корень связан с вершиной соотношением: \[ \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac52 \Rightarrow x_2 = 5 - \sqrt3 \]
    Ответ: \(5 - \sqrt3\).

  12. Найдите площадь треугольника с вершинами в пересечениях прямых \(y = -\frac43 x\), \(y = 6x\), \(x + y = 7\).
    Решение: Точки пересечения: \((-\frac43 x = 6x)\Rightarrow x =0; y=0\); \(6x =7 -x\Rightarrow x=1, y=6\); \(-\frac43 x =7 -x\Rightarrow x=-21\).
    Координаты вершин: \((0,0)\), \((1,6)\), \((-21,28)\).
    Площадь через определитель: \[ S = \frac{1}{2}|0\cdot(6 -28) +1\cdot(28 -0)+ (-21)\cdot(0 -6)| = \frac{1}{2}|0 +28 +126| = 77 \]
    Ответ: \(77\).

  13. Площадь треугольника со сторонами 13, 20 и высотой 12 к третьей стороне.
    Решение: Пусть третья сторона \(c\). Тогда: \[ S = \frac{1}{2}c \cdot 12 \Rightarrow c = \frac{S}{6} \]
    Используя формулу Герона, находим \(c =24\), \(S = 120\).
    Ответ: \(120\).

  14. Найдите меньшее основание трапеции с углами \(45^\circ\), \(30^\circ\), высотой 4 и площадью 32.
    Решение: Проекции боковых сторон на основание: \[ a = b +4\cot45^\circ +4\cot30^\circ = b +4 +4\sqrt3 \]
    Площадь: \[ \frac{(a + b)}{2}\cdot4 =32 \Rightarrow a +b =16 \]
    Подставляя \(a = b +4(1 +\sqrt3)\), находим \(b =2\).
    Ответ: \(2\).

  15. Найдите \(AT_1\) с данными точками \(C_1\), \(B_1\) и отрезком \(T_1T =9\).
    Решение: Используя теорему Менелая для треугольника \(ABC\) и секущей \(B_1C_1\): \[ \frac{AT_1}{T_1T} = \frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{C_1B}{AC_1} = \frac{7}{13} \cdot \frac{23}{5} = \frac{161}{65} \]
    Так как \(T_1T=9\), то \(AT_1=9 \cdot \frac{161}{65} \approx22\).
    Ответ: \(7\).

  16. Площадь прямоугольного треугольника через высоту \(h\) и угол \(\alpha\).
    Ответ: \(\frac{h^2}{\sin2\alpha}\).

  17. Натуральные \(n\) для \(\frac{8n -13}{11 -n}\).
    Решение: \(\frac{8n-13}{11-n}=k \in \mathbb{N}\).
    Решая, получаем \(n =3\) или \(n=5\).

  18. На сколько процентов уменьшится покупательная способность при росте цены на 70% и зарплаты на 2\%.
    Ответ: На \( \frac{70 -2}{1 +0{,}02} \approx66{,}67\%\).

  19. Найдите угол \(\angle CAB\) по данным углам.
    Решение: Из вписанных углов: \[ \angle CAB = 180^\circ -56^\circ -37^\circ =87^\circ \]

  20. Трёхзначные числа, перестановки которых больше 769.
    Ответ: Числа вида \(7a b\), где \(a \geq 7\), далее перебор возможных чисел. Всего 74.
Материалы школы Юайти