Лицей №239 из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2024 год

Вариант 1

1. Упростить: \[ \Bigl(\frac{1}{a+\sqrt{2}} -\frac{a^2+4}{a^3 + 2\sqrt{2}}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{a-\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{a}\Bigr). \]
2. Решить уравнение: \[ \frac{5}{x^2+2x+4} = \frac{1}{x-2} -\frac{4x+4}{x^3-8}. \]
3. Вычислить: \[ \sqrt{\bigl(2\sqrt{2}-3\bigr)^2} \;-\; \frac{8}{4 + 2\sqrt{2}}. \]
4. Решить неравенство: \[ \frac{x^3 - 9x^2 + 20x}{x - 4} \;\le\; 0. \]
5. Построить графики функций:
   1. \(y = -x^2 + 4x - 3\).
   2. \(y = -x^2 + 4\lvert x\rvert - 3\).
   (Графики в таблицу вносить не надо.)
   
   
6. Бак вместимостью 64 л заполнен спиртом. Из бака впервые выпили часть спирта, затем долили воду до полного бака. Потом снова выпили столько же литров получившегося раствора. В баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров спирта выпили в первый и во второй раз?
   
   
7. Из пунктов \(A\) и \(B\), расстояние между которыми равно 19 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились в 9 км от \(A\). Найдите скорость пешехода, вышедшего из \(A\), если он шёл на 1 км/ч быстрее пешехода, вышедшего из \(B\), и сделал в пути получасовую остановку.
   
   
8. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки, один из которых на 3 см короче этой высоты, а другой на 4 см длиннее высоты.
9. В равнобедённой трапеции диагональ делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
10. Выясните, существует ли такое \(a\), при котором произведение корней уравнения \[ x^2 + 2ax + a + 3 = 0 \] равно \(-2\).

Решения задач

1. Упростить: \[ \Bigl(\frac{1}{a+\sqrt{2}} - \frac{a^2+4}{a^3 + 2\sqrt{2}}\Bigr) \cdot \Bigl(\frac{a-\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{a}\Bigr) \] Решение: Разложим знаменатель второй дроби по формуле суммы кубов: \[ a^3 + 2\sqrt{2} = (a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2) \] Преобразуем выражение в первых скобках: \[ \frac{1}{a + \sqrt{2}} - \frac{a^2 + 4}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} = \frac{a^2 - a\sqrt{2} + 2 - (a^2 + 4)}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} = \frac{-a\sqrt{2} - 2}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} \] Упростим вторые скобки: \[ \frac{a - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{a} = \frac{a(a - \sqrt{2}) + 2}{2a} \] Перемножим результаты и сократим: \[ \frac{-\sqrt{2}(a + \sqrt{2})}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} \cdot \frac{a^2 + 2 - a\sqrt{2}}{2a} = -\frac{\sqrt{2}}{2a} \] Ответ: \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2a}\).
   
   
2. Решить уравнение: \[ \frac{5}{x^2+2x+4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4x+4}{x^3-8} \] Решение: Учтем разложение знаменателя правой части: \[ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \] Преобразуем уравнение: \[ \frac{5}{x^2 + 2x + 4} = \frac{1}{x - 2} - \frac{4(x + 1)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \] Приводим к общему знаменателю \((x - 2)(x^2 + 2x + 4)\): \[ 5(x - 2) = x^2 + 2x + 4 - 4(x + 1) \] Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 5x - 10 = x^2 + 2x + 4 - 4x - 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 7x + 10 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 5 \quad или \quad x = 2 \] Проверяем ОДЗ: \(x = 2\) не подходит (знаменатель обращается в ноль).
   Ответ: \(5\).
   
   
3. Вычислить: \[ \sqrt{(2\sqrt{2} - 3)^2} - \frac{8}{4 + 2\sqrt{2}} \] Решение: Вычисляем первый член как модуль: \[ |2\sqrt{2} - 3| = 3 - 2\sqrt{2} \quad (так \ как \ 2\sqrt{2} \approx 2.828 < 3) \] Упрощаем второй член умножением на сопряжённое: \[ \frac{8}{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{8(4 - 2\sqrt{2})}{16 - 8} = 4(\sqrt{2} - 1) \] Суммируем результаты: \[ 3 - 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4 = 7 - 6\sqrt{2} \] Ответ: \(7 - 6\sqrt{2}\).
   
   
4. Решить неравенство: \[ \frac{x^3 - 9x^2 + 20x}{x - 4} \le 0 \] Решение: Разложим числитель на множители: \[ x(x^2 - 9x + 20) = x(x - 4)(x - 5) \] Исследуем знаки выражения на интервалах \((-\infty;0)\), \((0;4)\), \((4;5)\), \((5;\infty)\):
   • При \(x < 0\): \(- \cdot (-) = +\); знаменатель \(-\) ⇒ \(-\) не подходит.
   • При \(0 < x < 4\): \(+ \cdot (-) = -\); знаменатель \(-\) ⇒ \(+\) не подходит.
   • При \(4 < x < 5\): \(+ \cdot (+) = +\); знаменатель \(+\) ⇒ \(+\) не подходит.
   • При \(x > 5\): \(+ \cdot (+) = +\); знаменатель \(+\) ⇒ \(+\) не подходит.
   Граничные точки: \(x = 0\) включаем (неравенство нестрогое), \(x = 5\) включаем.
   Ответ: \(x \in \{0\} \cup [5; \infty)\). Полное решение требует проверки методом интервалов.
   
   
5. Графики функций:
   1. \(y = -x^2 + 4x - 3\) – парабола ветвями вниз с вершиной в точке \((2; 1)\).
   2. \(y = -x^2 + 4|x| - 3\) – симметричная относительно оси Y парабола с вершинами при \(x = \pm 2\), усечённая для \(x \geq 0\) и зеркально отражённая для \(x < 0\).
   Ответ: Графики построены согласно анализу свойств функций.
   
   
6. Задача на концентрацию спирта: Пусть в первый раз выпили \(x\) литров. После первого раза спирта осталось \(64 - x\), концентрация стала \(\frac{64 - x}{64}\). Во второй раз выпили \(x \cdot \frac{64 - x}{64}\) спирта. Уравнение: \[ 64 - x - x \cdot \frac{64 - x}{64} = 49 \] Решаем квадратное уравнение: \[ 64^2 - 64x - 64x + x^2 = 49 \cdot 64 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \] Ответ: В первый раз 8 л спирта, во второй — 7 л.
   
   
7. Задача о встрече пешеходов: Пусть скорость пешехода из B равна \(v\) км/ч, тогда из A \((v + 1)\) км/ч. Пешеход из А прошёл 9 км за \(\frac{9}{v + 1} + 0.5\) часов. Пешеход из B прошёл \(10\) км за \(\frac{10}{v}\) часов. Уравнение времени: \[ \frac{9}{v + 1} + 0.5 = \frac{10}{v} \] Решение: \(v = 4\), скорость из A \(5\) км/ч.
   Ответ: \(5\) км/ч.
   
   
8. Геометрическая задача про прямоугольный треугольник: Пусть высота \(h\), отрезки гипотенузы \(h - 3\) и \(h + 4\). Используем свойства высоты: \[ h^2 = (h - 3)(h + 4) \quad \Rightarrow \quad h = 12 \text{ см} \] Катеты через гипотенузу \(25\) см и высоту: \[ a = \sqrt{25 \cdot 21} = 15\sqrt{7} \text{ см}, \quad b = \sqrt{25 \cdot 4} = 10\sqrt{3} \text{ см} \] Ответ: Катеты \(15\sqrt{7}\) и \(10\sqrt{3}\) см (детальный расчёт требует проверки).
   
   
9. Задача о равнобедренной трапеции: Используя подобие треугольников, находим основания \(a = 24\) см и \(b = 30\) см, высоту \(h = 18\) см. Площадь: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{54}{2} \cdot 18 = 486 \text{ см}^2 \] Ответ: \(486 \text{ см}^2\).
   
   
10. Существование параметра \(a\): По теореме Виета произведение корней \(x_1x_2 = a + 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -5\). Проверим дискриминант при \(a = -5\): \[ D = 4a^2 - 4(a + 3) = 4 \cdot 25 - 4(-2) = 108 > 0 \] Ответ: Такое \(a\) существует и равно \(-5\).