8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2024 год


Вариант 1



  1. Что больше: \(\sqrt{48} + \sqrt{11}\) или \(\sqrt{27} + 5\)?
  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(1 + \frac{\sqrt{xy}}{x + y + \sqrt{xy}}\Bigr) \cdot \frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{y - x}. \]
  3. Разложите на множители многочлен \[ x^4 + 2x^3y - 3x^2 - 2x - 6xy - 4y. \]
  4. Решите уравнение: \[ \frac{6x}{x^3 + 4} + \frac{x}{x^3 - 3} = 0{,}7x. \]
  5. Из города \(A\) в город \(B\), находящийся на расстоянии 20 км, выехал трактор, а через 5 мин ему навстречу — второй трактор, скорость которого на 5 км/ч больше. Второй трактор приехал в \(A\) на 3 мин раньше, чем первый в \(B\). Найдите скорость второго трактора.
  6. Решите неравенство: \[ \frac{(x-7)\sqrt{x+5}}{x^6 - 16x^2} \;\ge\; 0. \]
  7. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^2 - 10x + 24}{\lvert x - 7\rvert + \lvert x - 3\rvert - 2}. \]
  8. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(5x^2 - 3x - 11 = 0\). Вычислите \(x_1^3x_2 + x_2^3x_1\).
  9. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0,\\ x - 4y = 3. \end{cases} \]
  10. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{ax^2 - (3a+2)x + 8}{x^2 - x - 2} = 0 \] имеет единственный корень?
  11. Вершина параболы \(y = f(x)\) расположена в точке \(\bigl(\tfrac72, \tfrac35\bigr)\), а один из корней уравнения \(f(x)=0\) равен \(\sqrt2\). Найдите второй корень.
  12. На плоскости проведены прямые \[ y = \tfrac23 x,\quad y = 4x,\quad x + y = 5. \] Найдите их точки пересечения и вычислите площадь треугольника с вершинами в этих точках.
  13. В треугольнике две стороны равны 13 и 15, а высота, проведённая к третьей стороне, равна 12. Найдите площадь треугольника.
  14. В трапеции углы, прилежащие к большему основанию, равны \(45^\circ\) и \(60^\circ\), высота равна 6, а площадь равна 42. Найдите меньшее основание.
  15. На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены соответственно точки \(C_1\) и \(B_1\) так, что \(AC_1 = 7\), \(C_1B = 2\), \(AB_1 = 3\), \(B_1C = 18\). Биссектриса угла \(A\) пересекает отрезки \(BC\) и \(B_1C_1\) в точках \(T\) и \(T_1\) соответственно, причём \(T_1T = 8\). Найдите \(AT_1\).
  16. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна \(h\), а один из острых углов равен \(\alpha\). Найдите периметр треугольника.
  17. При каких натуральных \(n\) число \[ \frac{7n - 11}{8 - n} \] является натуральным?
  18. Цену на товар подняли на $30\%$, а зарплату — на $4\%$. На сколько процентов меньше товара теперь удастся купить на зарплату?
  19. На окружности расположены точки \(A,B,C,D\), причём \(\angle ADC = \angle CBA = 52^\circ\), \(\angle ADB = 43^\circ\). Найдите \(\angle CAB\).
  20. Сколько существует трёхзначных чисел, из которых перестановками цифр можно получить число большее, чем 879?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сравним \(\sqrt{48} + \sqrt{11}\) и \(\sqrt{27} + 5\):
    Возведем обе части в квадрат: \[ (\sqrt{48} + \sqrt{11})^2 = 48 + 2\sqrt{528} + 11 = 59 + 2\sqrt{528} \] \[ (\sqrt{27} + 5)^2 = 27 + 10\sqrt{27} + 25 = 52 + 10\sqrt{3} \] Сравним подкоренные выражения: \[ 528 > 27 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{528} > \sqrt{27} \quad \Rightarrow \quad 2\sqrt{528} > 10\sqrt{3} \] Следовательно, \(\sqrt{48} + \sqrt{11} > \sqrt{27} + 5\).
    Ответ: \(\sqrt{48} + \sqrt{11}\) больше.

  2. Упростим выражение: \[ \frac{x^3 - y^3}{(y - x)(x + y + \sqrt{xy})} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{-(x - y)(x + y + \sqrt{xy})} = -\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y + \sqrt{xy}} = -\sqrt{x} - \sqrt{y} \] Ответ: \(-\sqrt{x} - \sqrt{y}\).

  3. Разложим многочлен группировкой: \[ x^4 + 2x^3y - 3x^2 - 2x - 6xy - 4y = (x^4 + 2x^3y) - (3x^2 + 6xy) - (2x + 4y) = x^3(x + 2y) - 3x(x + 2y) - 2(x + 2y) = (x + 2y)(x^3 - 3x - 2) \] Ответ: \((x + 2y)(x^3 - 3x - 2)\).

  4. Решим уравнение умножением на общий знаменатель: \[ 6x(x^3 - 3) + x(x^3 + 4) = 0,7x(x^3 + 4)(x^3 - 3) \] После преобразований получаем \(x = 0\) или \(x = 2\). Проверка показывает, что \(x = 2\) — корень. Ответ: \(x = 2\).

  5. Пусть скоростью второго трактора \(v\) км/ч, тогда первого \(v - 5\) км/ч. Составим уравнение времени: \[ \frac{20}{v - 5} - \frac{20}{v} = \frac{8}{60} \] Решая уравнение, получаем \(v = 20\) км/ч. Ответ: 20 км/ч.

  6. Решим неравенство методом интервалов:
    Числитель: \(x = 7\) (корень четной кратности), \(\sqrt{x + 5} \geq 0\) при \(x \geq -5\).
    Знаменатель: \(x^2(x^4 - 16) \neq 0\), исключаем \(x = 0, \pm 2\).
    Ответ: \(x \in [-5; -2) \cup \{7\} \cup (2; +\infty)\).

  7. Упростим знаменатель: \[ |x - 7| + |x - 3| - 2 = \begin{cases} 2x - 12, & x \geq 7 \\ 2, & 3 \leq x < 7 \\ 4 - 2x, & x < 3 \end{cases} \] График функции представляет собой ломаные линии с выколотыми точками. Ответ: график необходимо построить по указанным интервалам.

  8. Используем теорему Виета: \[ x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = x_1x_2[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2] = \frac{-11}{5} \left[\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 2 \cdot \frac{-11}{5}\right] = \frac{891}{125} \] Ответ: \(\frac{891}{125}\).

  9. Подставим \(x = 4y + 3\) в первое уравнение: \[ (4y + 3)^2 + y^2 - 6(4y + 3) - 8y = 0 \Rightarrow 17y^2 - 4y - 21 = 0 \] Корни \(y = \frac{21}{17}\) и \(y = -1\). Ответ: \((\frac{123}{17}, \frac{21}{17})\) и \((-1, -1)\).

  10. Знаменатель \(x^2 - x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, -1\). Для единственности корня числитель должен иметь один корень, совпадающий с исключенными, или квадратный трехчлен иметь ровно один корень. При \(a = 1\) и \(a = 6\) решение единственно. Ответ: \(a = 1, 6\).

  11. Вершина параболы \(x_0 = \frac{7}{2}\). Используя свойство корней: \(\sqrt{2} + x_2 = 7 \Rightarrow x_2 = 7 - \sqrt{2}\). Ответ: \(7 - \sqrt{2}\).

  12. Точки пересечения: \((\frac{15}{7}, \frac{10}{7})\), \((5, 0)\), \((\frac{15}{11}, \frac{60}{11})\). Площадь треугольника: \(\frac{75}{11}\). Ответ: \(\frac{75}{11}\).

  13. Площадь через высоту: \(S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14 = 84\) (третья сторона \(\sqrt{13^2 - 12^2} + \sqrt{15^2 - 12^2} = 5 + 9 = 14\)). Ответ: 84.

  14. Меньшее основание \(a = \frac{S}{h} - b\), где \(b = 6 + 6\sqrt{3}\). Получаем \(a = 5\). Ответ: 5 см.

  15. По теореме Менелая для треугольников \(ABC\) и \(AB_1C_1\) получаем \(AT_1 = \frac{63}{5}\). Ответ: \(\frac{63}{5}\).

  16. Периметр \(P = h\left( \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\cos \alpha} + \tan \alpha + \cot \alpha \right)\). Ответ: \(h\left( \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\cos \alpha} + \tan \alpha + \cot \alpha \right)\).

  17. \(\frac{7n - 11}{8 - n} = k \in \mathbb{N}\). Решая \(n = \frac{8k + 11}{k + 7}\). Подходящие \(k = 1, 5\), тогда \(n = 2, 7\). Ответ: \(n = 2, 7\).

  18. Новый объём: \(\frac{1.04}{1.3} \approx 0.8\) — уменьшение на 20%. Ответ: на 20%.

  19. По свойству вписанных углов \(\angle CAB = 180^\circ - 52^\circ - 43^\circ = 85^\circ\). Ответ: \(85^\circ\).

  20. Рассматриваем числа с цифрами \(\geq 8\,7\,9\). Всего 169 чисел. Ответ: 169.
Материалы школы Юайти