Лицей №239 из 8 в 9 класс 2023 год вариант 2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2023 год

Вариант 2

1. Вычислить: \[ \Bigl(1\tfrac{3}{4} : 1{,}125 - 1{,}75 : \tfrac{2}{3}\Bigr)\;\cdot\;1\tfrac{5}{7}. \]
2. Упростить выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr) \;\cdot\; \frac{a - b}{a^2 + ab}. \]
3. Решить уравнения:
   1. \(\bigl|\,1 - |x^2 - 6|\,\bigr| = 2.\)
   2. \(\displaystyle \Bigl|\frac{9}{|x| - 3}\Bigr| = x - 3.\)
4. Сравнить числа: \[ \bigl(\sqrt{8} + \sqrt{10}\bigr)\,\cdot\sqrt{32}\,\cdot(2 - \sqrt{5})^2 \quad\text{и}\quad 7{,}99. \]
5. Найти значение выражения \[ \frac{2y - 4x + z}{5x - 3y + 8z}, \] если \(x:y:z = 3:1:2\).
   
   
6. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути. Ответ дайте в км/ч.
7. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг $50\%$-го раствора той же кислоты, получился бы 41% раствор. Сколько килограммов 30% и 60% растворов использовали первоначально?
8. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если две его стороны равны 5 см и 10 см. Если ответов несколько, запишите их сумму.
9. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\), \(\angle D = 30^\circ\), \(AB = 3\), \(BC = 2\). Найдите \(CD\).
10. Постройте график функции \[ y = \frac{2x\,(x^2 - 9)}{x^2 - 3x} \] и определите, какие значения может принимать \(y\).
    
    
11. Не вычисляя корней уравнения \[ 2x^2 - 7x - 3 = 0, \] найдите \[ x_1x_2^3 + x_2x_1^3, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни этого уравнения.

Решения задач

1. Вычислить: \[ \Bigl(1\tfrac{3}{4} : 1{,}125 - 1{,}75 : \tfrac{2}{3}\Bigr)\;\cdot\;1\tfrac{5}{7}. \] Решение: \[ 1\tfrac{3}{4} = \frac{7}{4},\quad 1{,}125 = \frac{9}{8},\quad 1{,}75 = \frac{7}{4},\quad 1\tfrac{5}{7} = \frac{12}{7} \] \[ \frac{7}{4} \div \frac{9}{8} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{14}{9} \] \[ \frac{7}{4} \div \frac{2}{3} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{8} \] \[ \frac{14}{9} - \frac{21}{8} = \frac{112 - 189}{72} = -\frac{77}{72} \] \[ -\frac{77}{72} \cdot \frac{12}{7} = -\frac{11}{6}. \] Ответ: $-\dfrac{11}{6}$.
   
   
2. Упростить выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr) \;\cdot\; \frac{a - b}{a^2 + ab}. \] Решение: \[ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \cdot \frac{a - b}{a(a + b)} = \frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{a - b}{a(a + b)} = \frac{1}{a} \] Ответ: $\dfrac{1}{a}$.
   
   
3. Решить уравнения:
   1. \(\bigl|\,1 - |x^2 - 6|\,\bigr| = 2.\)
      Решение: \[ |1 - |x^2 - 6|| = 2 \Rightarrow \begin{cases} |x^2 - 6| = 3 \\ |x^2 - 6| = -1 \quad (\text{не имеет решений}) \end{cases} \] \[ |x^2 - 6| = 3 \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 6 = 3 \Rightarrow x = \pm3 \\ x^2 - 6 = -3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3} \end{cases} \] Ответ: \(x = \pm3,\ \pm\sqrt{3}\).
      
      
   2. \(\displaystyle \Bigl|\frac{9}{|x| - 3}\Bigr| = x - 3.\)
      Решение: Условие существования: \(x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\). Тогда \(|x| = x\): \[ \frac{9}{x - 3} = x - 3 \Rightarrow (x - 3)^2 = 9 \Rightarrow x = 6 \quad (x = 0 \not\geq 3) \] Ответ: \(x = 6\).
   
   
   
4. Сравнить числа: \[ \bigl(\sqrt{8} + \sqrt{10}\bigr)\,\cdot\sqrt{32}\,\cdot(2 - \sqrt{5})^2 \quad\text{и}\quad 7{,}99. \] Решение: \[ \sqrt{8} \approx 2.828,\ \sqrt{10} \approx 3.162,\ \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.657,\ (2 - \sqrt{5})^2 = 9 - 4\sqrt{5} \approx 0.056. \] \[ (2.828 + 3.162) \cdot 5.657 \cdot 0.056 \approx 5.99 \cdot 0.056 \approx 0.339,\ что \ < 7{,}99 \] Ответ: \( {\bigl(\sqrt{8} + \sqrt{10}\bigr)\,\cdot\sqrt{32}\,\cdot(2 - \sqrt{5})^2} < 7{,}99 \).
   
   
5. Найти значение выражения: \[ \frac{2y - 4x + z}{5x - 3y + 8z},\ \text{при}\ x:y:z = 3:1:2. \] Решение: Пусть \(x = 3k,\ y = k,\ z = 2k\): \[ \frac{2k - 12k + 2k}{15k - 3k + 16k} = \frac{-8k}{28k} = -\frac{2}{7} \] Ответ: \(-\dfrac{2}{7}\).
   
   
6. Средняя скорость автомобиля: \[ v_{\text{ср}} = \frac{190 + 180 + 170}{\frac{190}{50} + \frac{180}{90} + \frac{170}{100}} = \frac{540}{7.5} \approx 72\ \text{км/ч}. \] Ответ: 72 км/ч.
   
   
7. Задача на смешивание растворов.
   Решение: Пусть масса 30% раствора — \(x\) кг, 60% — \(y\) кг: \[ \begin{cases} 0.3x + 0.6y = 0.36(x + y + 10) \\ 0.3x + 0.6y + 5 = 0.41(x + y + 10) \end{cases}\ \Rightarrow\ x = 60\ \text{кг},\ y = 30\ \text{кг}. \] Ответ: 30% раствор — 60 кг, 60% раствор — 30 кг.
   
   
8. Периметр равнобедренного треугольника:
   Неравенство треугольника: \(10 + 5 > 10\) выполнено. \[ P = 10 + 10 + 5 = 25\ \text{см}. \] Ответ: 25 см.
   
   
9. Решение для четырёхугольника \(ABCD\):
   Используя теорему косинусов для \(\triangle BCD\): \[ CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(150^\circ), \] получим \(CD = 3\). Ответ: 3.
   
   
10. График функции: \[ y = \frac{2x(x^2 - 9)}{x^2 - 3x} = \frac{2x(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \begin{cases} 2(x + 3), & x \neq 0,\ 3 \\ \text{не определён}, & x = 0,\ 3 \end{cases} \] Область значений: \(y \in \mathbb{R} \setminus \{6,\ 12\}\).
    
    
11. Вычисление выражения для квадратного уравнения: \[ x_1x_2^3 + x_2x_1^3 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = x_1x_2\left[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\right] \] \[ x_1 + x_2 = \frac{7}{2},\ x_1x_2 = -\frac{3}{2} \] \[ -\frac{3}{2}\left[\left(\frac{7}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)\right] = -\frac{183}{8} \] Ответ: \(-\dfrac{183}{8}\).