Лицей №239 из 8 в 9 класс 2023 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2023 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac14 - 14{,}05\bigr) : 0{,}04 + 13{,}8 : \tfrac{1}{13}. \]
2. Упростите выражение: \[ \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 + 2} \;\cdot\; \Bigl(\frac{x}{x - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\Bigr). \]
3. Решите уравнения:
   1. \(\bigl|\;|x^2 - 5| - 1\bigr| = 3.\)
   2. \(\displaystyle \Bigl|\frac{4}{\,|x| - 2}\Bigr| = x - 2.\)
4. Сравните числа \[ (\sqrt{10} - \sqrt{5})\;\cdot\;\sqrt{\frac{20}{(1 - \sqrt{2})^2}} \quad\text{и}\quad 9{,}99. \]
5. Найдите значение выражения \[ \frac{3x + 2y + z}{2x - 3y + z}, \] если \(x:y:z = 2:1:3\).
   
   
6. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью 100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути. Ответ дайте в км/ч.
7. Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый — $40\%$, второй — $60\%$. Эти растворы смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили $20\%$-ный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг $80\%$-го раствора, то получился бы $70\%$-й раствор. Сколько килограммов $40\%$-го и $60\%$-го растворов было взято первоначально?
8. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если две его стороны равны 4 см и 9 см. Если ответов несколько, запишите их сумму.
9. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\), \(\angle D = 30^\circ\), \(AB = 6\), \(BC = 4\). Найдите \(CD\).
   
   
10. Постройте график функции \[ y = \frac{2x\,(4x^2 - 1)}{2x^2 - x} \] и определите, какие значения может принимать \(y\).
    
    
11. Не вычисляя корней уравнения \[ 3x^2 + 8x - 1 = 0, \] найдите \[ x_1 x_2^3 \;+\; x_2 x_1^3, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни этого уравнения.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac14 - 14{,}05\bigr) : 0{,}04 + 13{,}8 : \tfrac{1}{13}. \] Решение: Переведем смешанное число в десятичную дробь: \[ 1\tfrac14 = 1{,}25 \] Выполним действия поэтапно: \[ (1{,}25 - 14{,}05) : 0{,}04 + 13{,}8 \cdot 13 = (-12{,}8) : 0{,}04 + 179{,}4 = -320 + 179{,}4 = -140{,}6 \] Ответ: \(-140{,}6\).
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 + 2} \;\cdot\; \Bigl(\frac{x}{x - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\Bigr). \] Решение: Упростим выражение в скобках: \[ \frac{x(x + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(x - \sqrt{2})}{x^2 - 2} = \frac{x^2 + x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2}{x^2 - 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2} \] Сократим дробь: \[ \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 + 2} \cdot \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2} = \frac{x(x + \sqrt{2})}{x^2 - 2} \] Ответ: \(\dfrac{x(x + \sqrt{2})}{x^2 - 2}\).
   
   
3. Решите уравнения:
   1. \(\bigl|\;|x^2 - 5| - 1\bigr| = 3.\)
      Решение: \[ |x^2 - 5| - 1 = \pm 3 \Rightarrow |x^2 - 5| = 4 \] \[ x^2 -5 = \pm 4 \Rightarrow x^2 = 9 \text{ или } x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm3, \pm1 \] Ответ: \(x = \pm1,\, \pm3\).
   2. \(\displaystyle \Bigl|\frac{4}{\,|x| - 2}\Bigr| = x - 2.\)
      Решение: \[ x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \] Уравнение упрощается до: \[ \frac{4}{x - 2} = x - 2 \Rightarrow (x - 2)^2 = 4 \Rightarrow x = 4 \text{ (корень } x = 0 \text{ не подходит)} \] Ответ: \(4\).
   
   
   
4. Сравните числа \[ (\sqrt{10} - \sqrt{5})\;\cdot\;\sqrt{\frac{20}{(1 - \sqrt{2})^2}} \quad\text{и}\quad 9{,}99. \] Решение: \[ \sqrt{\frac{20}{(1 - \sqrt{2})^2}} = \frac{\sqrt{20}}{|1 - \sqrt{2}|} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1} \] Умножим: \[ (\sqrt{10} - \sqrt{5}) \cdot \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{5}(\sqrt{2} - 1) \cdot \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1} = 10 \] Сравнение: \(10 > 9{,}99\). Ответ: \(10 > 9{,}99\).
   
   
5. Найдите значение выражения \[ \frac{3x + 2y + z}{2x - 3y + z}, \] если \(x:y:z = 2:1:3\).
   Решение: Пусть \(x = 2k\), \(y = k\), \(z = 3k\): \[ \frac{3(2k) + 2k + 3k}{2(2k) - 3k + 3k} = \frac{11k}{4k} = \frac{11}{4} = 2{,}75 \] Ответ: \(2{,}75\).
   
   
6. Найдите среднюю скорость автомобиля:
   Решение: Общий путь: \[ 2 \cdot 50 + 1 \cdot 100 + 2 \cdot 75 = 350 \text{ км} \] Общее время: \[ 2 + 1 + 2 = 5 \text{ ч} \] Средняя скорость: \[ \frac{350}{5} = 70 \text{ км/ч} \] Ответ:70.
   
   
7. Найдите массы растворов серной кислоты:
   Решение: $$\begin{aligned} 0{,}4x + 0{,}6y &= 0{,}2(x + y + 5) \\ 0{,}4x + 0{,}6y + 4 &= 0{,}7(x + y + 5) \end{aligned}$$ Решение системы: \[ x = 1 \text{ кг} \quad y = 2 \text{ кг} \] Ответ:40% — 1 кг,60% — 2 кг.
   
   
8. Периметр равнобедренного треугольника:
   Решение: Стороны:9 см,9 см,4 см (корректны) или4 см,4 см,9 см (невозможны).
   Периметр: \[ 9 + 9 + 4 =22 \text{ см} \] Ответ:22 см.
   
   
9. Найдите \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\):
   Решение: Применение тригонометрии и теоремы косинусов: \[ CD = AB \frac{\sin\angle B}{\sin\angle D} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{0{,}5} =6\sqrt{3} \] Ответ:\(6\sqrt{3}\).
   
   
10. Постройте график функции \(y = \frac{2x(4x^2 -1)}{2x^2 - x}\):
    Решение: Функция упрощается до \(y =2(2x +1)\) при \(x\neq0\), \(x\neq0{,}5\). Значения \(y\) могут быть любыми, кроме \(y =2(2 \cdot0{,}5 +1) =4\). Ответ:\(y \in \mathbb{R} \setminus \{4\}\).
    
    
11. Найдите \(x_1 x_2^3 +x_2 x_1^3\):
    Решение: \[ x_1 x_2^3 +x_2 x_1^3 =x_1 x_2(x_1^2 + x_2^2) = \frac{-1}{3} \left(\left(-\frac{8}{3}\right)^2 -2\cdot\frac{-1}{3}\right) =\frac{-70}{27} \] Ответ:\(\dfrac{-70}{27}\).