Лицей №239 из 8 в 9 класс 2023 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2023 год

Вариант 1

1. Упростите: \[ \left(\frac{d-2}{d+2} -\frac{1}{d^2-4d+4}\,\cdot\frac{d^3+8}{d^2-2d+4}\right) :\left(d+2+\frac{8}{d-2}\right). \]
2. Решите неравенство: \[ \frac{3}{5x-1}+\frac{4}{3x+1}\;\ge\;1. \]
3. Найдите все значения параметра \(p\), при каждом из которых уравнение \[ \frac{(2p-3)x^2 - (3p+2)x + p - 1}{x - 2} = 0 \] имеет ровно один корень.
4. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корни \[ \frac{2 - x_1}{x_2} \quad\text{и}\quad \frac{2 - x_2}{x_1}, \] где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \[ 3x^2 + 2x - 9 = 0. \]
5. Постройте график функции \[ g(x) = \frac{4\sqrt{x^2 + 4x + 4}}{\sqrt{16 + 8x + x^2} + x}. \]
6. С помощью графика из предыдущего пункта определите все значения \(k\), при каждом из которых прямая \[ y = k(x + 2) \] имеет с графиком более одной общей точки.
7. Упростите: \[ \frac{17\sqrt{3}}{3\sqrt{5} - 7\sqrt{3}} \;-\; \frac{3\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}}. \]
8. Пусть \[ T = \left(\frac{4}{2\sqrt{a} - 3\sqrt{b}} - \frac{14\sqrt{b}}{2a + \sqrt{ab} - 6b} + \frac{7}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}\right) :\left(\frac{1}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}\right). \]
   1. Упростите \(T\).
   2. Найдите значение \(T\) при \(a = 92\), \(b = 207\).
   3. Найдите значение \(T\) при \(a = 153\), \(b = 68\).
9. Смешали некоторое количество \(40\%\)-ного и \(75\%\)-ного растворов кислоты, в результате получился \(61\%\)-ный раствор. Если бы каждого раствора взяли на 40 л меньше, получился бы \(65\%\)-ный раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально?
10. Двое бегают вокруг озера с постоянными скоростями; один из них затрачивает на круг на 7 минут меньше другого. Если они стартуют одновременно в одном направлении, то впервые встречаются через 1 ч 24 мин. Через какое время они впервые встретятся, если побегут одновременно в противоположных направлениях?
11. Решите уравнение: \[ \frac{3}{(x-5)(x+2)} + \frac{5}{(x-4)(x+1)} = -2. \]
12. Решите уравнение: \[ \bigl\lvert 3x^2 + 18x - 23\bigr\rvert - \bigl\lvert 13 - 2x^2 - 12x\bigr\rvert = -1. \]
13. В равнобедренной трапеции даны: длина меньшего основания — \(a\), высота — \(h\), острый угол — \(\alpha\). Найдите периметр, среднюю линию и площадь этой трапеции.
14. На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) выбраны точки \(D\) и \(E\) так, что \(DE \parallel BC\). Известно, что \(AE=4\), \(ED=5\), \(DB=6\), \(BC=20\). Найдите периметр и площадь четырёхугольника \(BDEC\).
15. Пусть \(CH\) — высота прямоугольного треугольника \(ABC\), проведённая к гипотенузе, \(AH=9\) см, \(BC=20\) см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
16. На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(K\) так, что \(BK:CK=5:2\). Отрезок \(KD\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(M\). Луч \(BM\) пересекает отрезок \(CD\) в точке \(P\). Найдите отношение \(CP:PD\).
17. Найдите количество трёхзначных чисел, делящихся на 6, в записи которых встречается цифра 7.
18. Решите в целых числах уравнение: \[ x(x+2) = y^2 + 30. \]
19. 1. Можно ли число 2023 представить как сумму двух натуральных чисел, суммы цифр которых равны?
    2. Можно ли число 799 представить как сумму двух натуральных чисел, суммы цифр которых равны?
    3. Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить как сумму пяти различных натуральных чисел, суммы цифр которых равны.

Решения задач

1. Упростите: \[ \left(\frac{d-2}{d+2} -\frac{1}{d^2-4d+4} \cdot \frac{d^3+8}{d^2-2d+4}\right) :\left(d+2+\frac{8}{d-2}\right) \] Решение: Упростим числитель и знаменатель отдельно. Числитель: \[ \frac{d-2}{d+2} - \frac{1}{(d-2)^2} \cdot \frac{(d+2)(d^2-2d+4)}{d^2-2d+4} = \frac{d-2}{d+2} - \frac{d+2}{(d-2)^2} \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{(d-2)^3 - (d+2)^2}{(d+2)(d-2)^2} = \frac{-12d}{(d+2)(d-2)^2} \] Знаменатель: \[ d+2 + \frac{8}{d-2} = \frac{d^2-4 +8}{d-2} = \frac{d^2+4}{d-2} \] Объединяя: \[ \frac{-12d}{(d+2)(d-2)^2} : \frac{d^2+4}{d-2} = \frac{-12d}{(d+2)(d-2)^2} \cdot \frac{d-2}{d^2+4} = \frac{-12d}{(d+2)(d-2)(d^2+4)} \] Ответ: \(\displaystyle \frac{-12d}{(d^2-4)(d^2+4)}\)
2. Решите неравенство: \[ \frac{3}{5x-1} + \frac{4}{3x+1} \ge 1 \] Решение: Переносим 1 влево: \[ \frac{3}{5x-1} + \frac{4}{3x+1} -1 \ge 0 \] Общий знаменатель: \((5x-1)(3x+1)\). После приведения: \[ \frac{-15x^2 +27x}{(5x-1)(3x+1)} \ge 0 \] Разложим числитель: \[ -3x(5x -9) \ge 0 \] Критические точки: \(x = 0\), \(x = \frac{9}{5}\), \(x = \frac{1}{5}\), \(x = -\frac{1}{3}\). Метод интервалов: \[ x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup \left[0; \frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{9}{5}; +\infty\right) \] Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup \left[0; \frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{9}{5}; +\infty\right)\)
3. Найдите все значения параметра \(p\), при которых уравнение имеет ровно один корень: \[ \frac{(2p-3)x^2 - (3p+2)x + p -1}{x-2} = 0 \] Решение: Рассмотрим два случая: 1. Числитель имеет один корень \(x \neq 2\): \[ D = 0 \Rightarrow p = \frac{117}{25} \] 2. Числитель имеет два корня, один из которых \(x = 2\): Подставляем \(x = 2\) в числитель: \[ 8p -12 -6p -4 + p -1 = 0 \Rightarrow p = \frac{17}{3} \] Ответ: \(p = \frac{117}{25}\) или \(p = \frac{17}{3}\)
4. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами: Корни: \(\frac{2 -x_1}{x_2}\) и \(\frac{2 -x_2}{x_1}\), где \(x_1, x_2\) — корни \(3x^2 +2x -9 = 0\). Решение: По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}\), \(x_1x_2 = -3\). Сумма новых корней: \[ S = \frac{70}{27} \] Произведение: \[ P = -\frac{7}{9} \] Уравнение: \[ 27t^2 -70t -21 =0 \] Ответ: \(27t^2 -70t -21 =0\)
5. Постройте график функции: \[ g(x) = \frac{4\sqrt{x^2 +4x +4}}{\sqrt{16 +8x +x^2} +x} \] Решение: Упростим: \[ g(x) = \begin{cases} 2, & x > -2 \\ -2, & -4 \le x < -2 \\ x+2, & x < -4 \end{cases} \] График состоит из трёх частей с разрывами в \(x = -2\) и изломом в \(x = -4\).
6. Определите \(k\), при которых прямая \(y = k(x +2)\) пересекает график более одной точки. Решение: Анализ пересечений с частями графика показывает: \[ k \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \] Ответ: \(k 1\)
7. Упростите: \[ \frac{17\sqrt{3}}{3\sqrt{5} -7\sqrt{3}} - \frac{3\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5\sqrt{3} -4\sqrt{5}} \] Решение: Домножим числитель и знаменатель на сопряженные: \[ \frac{17\sqrt{3}(3\sqrt{5} +7\sqrt{3})}{(3\sqrt{5})^2 - (7\sqrt{3})^2} - \frac{(3\sqrt{5} - \sqrt{3})(5\sqrt{3} +4\sqrt{5})}{(5\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{5})^2} \] После упрощений: \[ -7 -3 = -10 \] Ответ: \(-10\)
8. Упростите \(T\): \[ T = \left(\frac{4}{2\sqrt{a} -3\sqrt{b}} - \frac{14\sqrt{b}}{2a + \sqrt{ab} -6b} + \frac{7}{\sqrt{a} +2\sqrt{b}}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{a} +2\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}\right) \] Решение: Упростим числитель и знаменатель: \[ T = \frac{2}{\sqrt{a} -3\sqrt{b}} \] При \(a =92\), \(b =207\): \[ T = \frac{2}{\sqrt{92} -3\sqrt{207}} = 1 \] При \(a=153\), \(b=68\): \[ T = \frac{2}{\sqrt{153} -3\sqrt{68}} = -2 \] Ответ: \(T = \dfrac{2}{\sqrt{a} -3\sqrt{b}}\), при \(a=92, b=207\) \(T=1\), при \(a=153, b=68\) \(T=-2\)
9. Смешали растворы кислоты: Пусть \(x\) л — 40% раствора, \(y\) л — 75% раствора. Уравнения: \[ \begin{cases} 0.4x +0.75y =0.61(x+y) \\ 0.4(x-40) +0.75(y-40) =0.65(x+y -80) \end{cases} \] Решение: \[ x = 100\ л,\ y =140\ л \] Ответ: 100 л и 140 л
10. Встреча бегунов: Пусть \(v_1\), \(v_2\) — скорости, \(t\) — время встречи в противоположных направлениях: \[ 84(v_1 - v_2) = \text{период}, \quad t(v_1 + v_2) = \text{период} \] Ответ: \(t=12\ мин\)
11. Решите уравнение: \[ \frac{3}{(x-5)(x+2)} + \frac{5}{(x-4)(x+1)} = -2 \] Решение: Замена переменных \(y = x - \frac{3}{2}\), получим: \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = 3 \] Ответ: \(x=1\), \(x=3\)
12. Решите уравнение: \[ |3x^2 +18x -23| - |13 -2x^2 -12x| =-1 \] Решение: Разбор случаев для модулей приводит к: \[ x = -5, -1, 1, 5 \] Ответ: \(x=-5, -1,1,5\)
13. Параметры трапеции: \[ \text{Средняя линия} = \frac{a + a +2h\cot\alpha}{2} = a +h\cot\alpha \] Периметр: \(2a +2h\cot\alpha +2h\csc\alpha\) Ответ: Периметр \(2a +2h(\cot\alpha + \csc\alpha)\), средняя линия \(a +h\cot\alpha\), площадь \((a +h\cot\alpha)h\)
14. Четырёхугольник BDEC: Подобие треугольников приводит к периметру \(24\) и площади \(150\). Ответ: Периметр 24, площадь 150
15. Высота треугольника \(ABC\): По теореме Пифагора площадь \(S =90\ см^2\) Ответ: 90 см²
16. Отношение \(CP:PD\): Применение теоремы Менелая даёт \(CP:PD =5:2\) Ответ: \(5:2\)
17. Трёхзначные числа с цифрой 7: Используем принцип включения-исключения: всего \(150\) чисел. Ответ: 150
18. Решите уравнение: \[ x(x+2) = y^2 +30 \] Решение: Подбор целых чисел: \((x,y) = (5,\pm5),\ (-7,\pm5)\) Ответ: \((5,5),\ (5,-5),\ (-7,5),\ (-7,-5)\)
19. Суммы цифр:
    1. 2023: Да, \(2023 =1994 +29\). Суммы цифр: \(1+9+9+4=23\), \(2+9=11\) → Нельзя.
    2. 799: Да, \(799 =394 +405\). Суммы цифр: \(3+9+4=16\), \(4+0+5=9\) → Нельзя.
    3. Наименьшее число: \(110\).
    Ответ: (a) Нет, (б) Нет, (в) 110