Лицей №239 из 8 в 9 класс 2022 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2022 год
Вариант 2
- Вычислить: \[ \frac{\bigl(\frac14 - \frac5{24}\bigr)\cdot 8 - \frac13} {1{,}85 - 1{,}62 : 0{,}9}. \]
- Найти все натуральные \(n\), при которых число \[ \frac{3n + 1}{n - 1} \] является целым.
- Товар первоначально стоил \(m\) рублей. Затем он подорожал на \(15\%\), а потом ещё на \(10\%\). Определить, на сколько процентов от первоначальной стоимости подорожал товар.
- Упростить выражение: \[ \frac{a\sqrt{a} + 1}{\,a - \sqrt{a} - 2\,} \;-\; \frac{3\,(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - 2}. \]
- Разложить на множители: \[ 2a^3 + 3a - 5. \]
- Упростить: \[ \sqrt{54 - 14\sqrt{5}} + \sqrt{5}. \]
- Решить в целых числах уравнение: \[ (x + 2)\,(y - 3) = 2. \]
- Решить уравнение: \[ \lvert x\rvert + x + 2 = \lvert 2x + 2\rvert. \]
- Решить уравнение: \[ (x + 1)^4 - x^2 - 2x - 13 = 0. \]
- Построить график функции: \[ y = \frac{3x^2 + 8x + 4}{\lvert 2x + 2\rvert + x}. \]
- При каких значениях \(k\) уравнение \[ (k + 2)x^2 + 2(k + 1)x + k = 0 \] имеет единственный корень?
- Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} y^2 - x y = 4,\\ x^2 - x y = -3. \end{cases} \]
- Решить неравенство: \[ \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 1} \;\ge\; \frac{1}{x}. \]
- На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 20 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если на первой машине её можно сделать на 30 минут быстрее, чем на второй?
- Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя час вслед за ним вышла легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина обогнала автобус и через 5 часов после своего выхода находилась впереди него на 70 км. Найти скорость автобуса.
- Прямая проходит через точку \(A(-1,2)\) и пересекает ось ординат в точке, удалённой от начала координат на 2. Найти уравнение этой прямой.
- В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) равен \(100^\circ\). \(M\) — точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(C\). Найти угол между этими биссектрисами.
- Найти диагонали ромба, если одна из них в \(2{,}5\) раза больше другой, а площадь ромба равна \(20\) см\(^2\).
- В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) взяли точку \(M\) и провели прямую, параллельную \(AB\), которая пересекла сторону \(BC\) в точке \(N\). Найти отношение площади треугольника \(MCN\) к площади трапеции \(AMNB\), если \(AM:MC = 3:2\).
- Две стороны треугольника равны 2 и 5. Какие значения может принимать третья сторона, если её длина — целое число?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
-
Вычислить:
\[
\frac{\left(\frac{1}{4} - \frac{5}{24}\right) \cdot 8 - \frac{1}{3}}{1{,}85 - 1{,}62 : 0{,}9}
\]
Решение:
Числитель: \[ \frac{1}{4} - \frac{5}{24} = \frac{6}{24} - \frac{5}{24} = \frac{1}{24} \] \[ \frac{1}{24} \cdot 8 = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 \] Знаменатель: \[ 1{,}62 : 0{,}9 = 1{,}8, \quad 1{,}85 - 1{,}8 = 0{,}05 \] Результирующее значение: \[ \frac{0}{0{,}05} = 0 \] Ответ: $\boxed{0}.$ - Найти все натуральные \(n\), при которых число
\[
\frac{3n + 1}{n - 1}
\]
является целым.
Решение:
Пусть \(\frac{3n + 1}{n - 1} = k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). \[ 3n + 1 = k(n - 1) \implies 3n + 1 = kn - k \implies n(k - 3) = k + 1 \] \[ n = \frac{k + 1}{k - 3} \] Перебор возможных значений \(k\): \[ k - 3 \text{ делит } k + 1 \implies k - 3 \text{ делит } (k + 1) - (k - 3) = 4 \] Возможные \(k - 3\): \(\pm1, \pm2, \pm4\). Проверка натуральности \(n\): \[ k = 4 \implies n = 5; \quad k = 5 \implies n = 3; \quad k = 2 \implies n = 2 \] Ответ: $\boxed{2, 3, 5}.$ - Товар подорожал на \(15\%\), затем на \(10\%\). Найти общий процент подорожания от первоначальной стоимости.
Решение:
Итоговая цена: \[ 1{,}15m \cdot 1{,}10 = 1{,}265m \] Подорожание на \(26{,}5\%\).
Ответ: $\boxed{26{,}5\%}$. - Упростить выражение:
\[
\frac{a\sqrt{a} + 1}{a - \sqrt{a} - 2} - \frac{3(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - 2}
\]
Решение:
Замена \(t = \sqrt{a}\): \[ \frac{t^3 + 1}{(t - 2)(t + 1)} - \frac{3(t - 1)}{t - 2} = \frac{(t + 1)(t^2 - t + 1)}{(t - 2)(t + 1)} - \frac{3(t - 1)}{t - 2} \] \[ = \frac{t^2 - t + 1}{t - 2} - \frac{3t - 3}{t - 2} = \frac{t^2 - 4t + 4}{t - 2} = t - 2 = \boxed{\sqrt{a} - 2}. \] - Разложить на множители:
\[
2a^3 + 3a - 5
\]
Решение:
Подбор корня: \(a = 1\) — корень. Деление многочлена на \(a - 1\): \[ 2a^3 + 3a - 5 = (a - 1)(2a^2 + 2a + 5) \] Ответ:$ \boxed{(a - 1)(2a^2 + 2a + 5)}$. - Упростить:
\[
\sqrt{54 - 14\sqrt{5}} + \sqrt{5}
\]
Решение: \[ \sqrt{54 - 14\sqrt{5}} = \sqrt{(7 - \sqrt{5})^2} = 7 - \sqrt{5} \] \[ 7 - \sqrt{5} + \sqrt{5} = \boxed{7}. \] - Решить в целых числах:
\[
(x + 2)(y - 3) = 2
\]
Решение:
Целые множители: \[ (x + 2, y - 3) \in \{(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)\} \] Ответ: $\boxed{(-1, 5)}, \boxed{(0, 4)}, \boxed{(-3, 1)}, \boxed{(-4, 2)}$. - Решить уравнение:
\[
|x| + x + 2 = |2x + 2|
\]
Решение:
Случай 1: \(x \geq 0\): \[ x + x + 2 = 2x + 2 \implies 0 = 0 \implies x \geq 0. \] Случай 2: \(x < 0\): \[ 2 = |2x + 2| \]
Подслучаи:
\(2x + 2 \geq 0 \implies x \geq -1\) — нет решений.
\(2x + 2 < 0 \implies x = -2\). Ответ: $\boxed{x \in \{-2\} \cup [0, +\infty)}$. - Решить уравнение:
\[
(x + 1)^4 - x^2 - 2x - 13 = 0
\]
Решение:
Замена \(y = (x + 1)^2\): \[ y^2 - y - 12 = 0 \implies y = 4 \implies x + 1 = \pm2 \implies \boxed{-3}, \boxed{1}. \] - Построить график функции:
\[
y = \frac{3x^2 + 8x + 4}{|2x + 2| + x}
\]
Решение:
Для \(x \geq -1\): \[ |2x + 2| = 2x + 2 \implies y = \frac{(3x + 2)(x + 2)}{3x + 2} = x + 2 \quad (x \neq -\frac{2}{3}). \] Для \(x < -1\): \[ |2x + 2| = -2x - 2 \implies y = \frac{(3x + 2)(x + 2)}{-x - 2} = -3x - 2 \quad (x \neq -2). \] График состоит из двух прямых с исключёнными точками. - При каких \(k\) уравнение
\[
(k + 2)x^2 + 2(k + 1)x + k = 0
\]
имеет единственный корень?
Решение:
Дискриминант: \[ D = 4(k + 1)^2 - 4(k + 2)k = 4 \neq 0 \, \forall k \neq -2. \] Единственный корень при \(k = -2\) (линейное уравнение). Ответ: $\boxed{k = -2}.$ - Решить систему:
\[
\begin{cases}
y^2 - xy = 4,\\
x^2 - xy = -3.
\end{cases}
\]
Решение:
Вычитание уравнений: \[ y^2 - x^2 = 7 \implies (y - x)(y + x) = 7. \] Решения: \[ (3, 4), (-3, -4). \] Ответ: $\boxed{(3, 4)}, \boxed{(-3, -4)}$. - Решить неравенство:
\[
\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 1} \geq \frac{1}{x}.
\]
Ответ: \(\boxed{x \in (-2, -1) \cup (0, 1)}\). - Две копировальные машины работают вместе за 20 минут. Время первой \(t\) минут, второй \(t + 30\). Найти \(t\):
Уравнение: \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 30} = \frac{1}{20} \implies t^2 - 10t - 600 = 0 \implies t = 30 \text{ мин.} \] Ответ: Первая — $\boxed{30}$ мин, вторая — $\boxed{60}$ мин. - Скорость автобуса \(v\) км/ч. Машина обгоняет через 5 часов на 70 км:
Уравнение: \[ 5(v + 20) - 6v = 70 \implies v = 30. \] Ответ: $\boxed{30}$ км/ч. - Уравнение прямой через \(A(-1, 2)\) и \(B(0, \pm2)\):
Проводим две прямые: \[ y = 2, \quad y = -4x - 2. \] Ответ: $\boxed{y = 2}, \boxed{y = -4x - 2}$. - Угол между биссектрисами: \[ 180^\circ - \frac{A + C}{2} = 180^\circ - 40^\circ = \boxed{140^\circ}. \]
- Диагонали ромба: \[ \frac{d \cdot 2{,}5d}{2} = 20 \implies d = 4 \text{ см}, \quad 2{,}5d = 10 \text{ см}. \] Ответ: $\boxed{4}$ см и $\boxed{10}$ см.
- Отношение площадей:
Коэффициент подобия \( \left(\frac{2}{5}\right)^2\), отношение \(4:21\). Ответ: $\boxed{\dfrac{4}{21}}$. - Третья сторона треугольника:
Неравенство треугольника: \[ 3 < a < 7 \implies \boxed{4}, \boxed{5}, \boxed{6}. \]
Материалы школы Юайти