8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2022 год


Вариант 1



  1. Упростить: \[ \frac{a\sqrt{a}-1}{a + \sqrt{a} - 2} \;+\; \frac{3\,(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+2}. \]
  2. Решить уравнение: \[ \frac{x}{x-2} \;-\; \frac{5}{x+2} \;=\; \frac{8}{x^2-4}. \]
  3. Вычислить: \[ \Bigl(\tfrac12\sqrt{6} \;-\;\sqrt{12} + 0{,}5\sqrt{24} + \tfrac{3\sqrt{48}}{4}\Bigr)\;\cdot\;2\sqrt{2}. \]
  4. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 3x - 4 \;\ge\; 0,\\ -x - 5 \;<\; 0. \end{cases} \]
  5. Записать уравнение параболы, если известно, что она проходит через точку \((-2,5)\), а её вершина — точка \((-1,2)\).
  6. Смешали 8 литров $25\%$-ного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами $20\%$-ного раствора этого же вещества. Определите процент концентрации получившегося раствора.

  7. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дать в км/ч.

  8. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(30^\circ\), гипотенуза равна 8. Найти отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла.

  9. Периметр параллелограмма равен 70 см, а его высоты 3 см и 4 см. Найти стороны параллелограмма.

  10. Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли полученная разность оказаться равной 180?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить: $\frac{a\sqrt{a}-1}{a + \sqrt{a} - 2} + \frac{3\,(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+2}$
    Решение: Введём замену $t = \sqrt{a}$, тогда $a = t^2$. Исходное выражение становится: $$\frac{t^3 - 1}{t^2 + t - 2} + \frac{3(t + 1)}{t + 2}$$ Разложим числитель первой дроби на множители: $$t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)$$ Разложим знаменатель первой дроби: $$t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1)$$ Упростим первую дробь: $$\frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{(t + 2)(t - 1)} = \frac{t^2 + t + 1}{t + 2}$$ Теперь все выражение: $$\frac{t^2 + t + 1}{t + 2} + \frac{3(t + 1)}{t + 2} = \frac{t^2 + t + 1 + 3t + 3}{t + 2} = \frac{t^2 + 4t + 4}{t + 2} = \frac{(t + 2)^2}{t + 2} = t + 2$$ Возвращаемся к исходной переменной $a$: $$\sqrt{a} + 2$$ Ответ: $\boxed{\sqrt{a} + 2}$
  2. Решить уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{8}{x^2 - 4}$ Решение:

    Общий знаменатель: $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

    Умножим все члены уравнения на общий знаменатель:

    x(x + 2) - 5(x - 2) = 8

    Раскроем скобки:

    $x^2 + 2x - 5x + 10 = 8 ⇒ x^2 - 3x + 2 = 0$

    Решим квадратное уравнение:

    $ D = 9 - 8 = 1 \quad ⇒ \quad x = \frac{3 \pm 1}{2}$ Корни: $$x_1 = 2 \quad \text{(не подходит, исключаем)}$$ $$x_2 = 1$$ Ответ: $\boxed{1}$
  3. Вычислить: $\left(\frac{1}{2}\sqrt{6} - \sqrt{12} + 0{,}5\sqrt{24} + \frac{3\sqrt{48}}{4}\right) \cdot 2\sqrt{2}$ Решение: Упростим каждое слагаемое: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3},\quad \sqrt{24} = 2\sqrt{6},\quad \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ Подставляем: $$ \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3\sqrt{3}\right) \cdot 2\sqrt{2} = \left(\frac{3\sqrt{6}}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot 2\sqrt{2} $$ Раскрываем скобки: $$ 3\sqrt{12} + 2\sqrt{6} = 6\sqrt{3} + 2\sqrt{6} $$ Ответ: $\boxed{6\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}$
  4. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 3x - 4 \geq 0,\\ -x - 5 < 0. \end{cases} \] Решение: 1) Решим первое неравенство: Корни квадратного трёхчлена: $x_1 = -4,\quad x_2 = 1$ Решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$ 2) Второе неравенство: $-x -5 -5$ 3) Пересечение решений: $x \in (-5, -4] \cup [1, +\infty)$ Ответ: $\boxed{(-5, -4] \cup [1, +\infty)}$
  5. Записать уравнение параболы с вершиной в точке $(-1,2)$, проходящей через $(-2,5)$ Решение: Используем уравнение параболы в вершиной форме: $y = a(x + 1)^2 + 2$ Подставим координаты точки: $$ 5 = a(-2 + 1)^2 + 2 ⇒ 5 = a + 2 ⇒ a = 3 $$ Уравнение параболы: Ответ: $\boxed{y = 3(x + 1)^2 + 2}$
  6. Определить концентрацию смеси из 8 л 25% и 12 л 20% растворов Решение: Масса вещества: $$ 8 \cdot 0,25 + 12 \cdot 0,20 = 2 + 2,4 = 4,4 \text{ кг} $$ Объем смеси: $8 + 12 = 20$ л Концентрация: $$ \frac{4,4}{20} \cdot 100% = 22% $$ Ответ: $\boxed{22\%}$
  7. Найти скорость второго велосипедиста Решение: Пусть скорость второго — $x$ км/ч, тогда первого — $(x + 3)$ км/ч Время второго: $\frac{88}{x}$, первого: $\frac{88}{x + 3}$ Разница времени: $$ \frac{88}{x} - \frac{88}{x + 3} = 3 $$ Умножим на $x(x + 3)$: $$ 88(x + 3) - 88x = 3x(x + 3) ⇒ 264 = 3x^2 + 9x $$ Решаем квадратное уравнение: $$ x^2 + 3x - 88 = 0 ⇒ D = 361 ⇒ x = \frac{-3 \pm 19}{2} $$ Положительный корень: $x = 8$ км/ч Ответ: $\boxed{8}$
  8. Найти отрезки гипотенузы при высоте из прямого угла Решение: Катеты треугольника: $AB = 8 \cdot \cos 30^\circ = 4\sqrt{3},\quad BC = 4$ Высота: $h = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 4}{8} = 2\sqrt{3}$ Отрезки гипотенузы распределяются как квадраты катетов: $$ AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{(4\sqrt{3})^2}{8} = 6,\quad DC = AC - AD = 2 $$ Ответ: $\boxed{6 \text{ см и } 2 \text{ см}}$
  9. Найти стороны параллелограмма Решение: Пусть стороны $a$ и $b$, тогда: $$ \begin{cases} 2(a + b) = 70 ⇒ a + b = 35 \\ h_a = 3,\; h_b = 4 ⇒ a = S/3,\; b = S/4 \end{cases} $$ Решаем систему: $$ \frac{S}{3} + \frac{S}{4} = 35 ⇒ \frac{7S}{12} = 35 ⇒ S = 60 \text{ см}^2 $$ Стороны: $$ a = \frac{60}{3} = 20 \text{ см},\quad b = \frac{60}{4} = 15 \text{ см} $$ Ответ: $\boxed{20 \text{ см и } 15 \text{ см}}$
  10. Проверить: число минус сумма цифр равно 180? Решение: \\ Пусть число $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ Условие: $$ 100a + 10b + c - (a + b + c) = 99a + 9b = 180 ⇒ 11a + b = 20 $$ Подбираем целые значения $1 \leq a \leq 9, 0 \leq b \leq 9$: Единственное решение: $a = 1, b = 9 ⇒\overline{abc}=190$ Проверяем: $190 - (1+9+0) = 180$ Ответ: $\boxed{\text{Да, возможно (например, число 190)}}$
Материалы школы Юайти