8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2022 год


Вариант 1



  1. Вычислить: \[ \frac{\bigl(1\tfrac{2}{9} \;:\; 7\tfrac{1}{3} \;-\;\tfrac{1}{6}\bigr)\cdot 0{,}23} {2\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{2}}. \]
  2. Найти все натуральные \(n\), при которых число \[ \frac{3n - 1}{n + 1} \] является целым.
  3. Товар первоначально стоил \(m\) рублей. Затем он подорожал на \(10\%\), а потом ещё на \(15\%\). Определить, на сколько процентов от первоначальной стоимости подорожал товар.
  4. Упростить выражение: \[ \frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} - 2} \;+\; \frac{3\,( \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 2}. \]
  5. Разложить на множители: \[ 2a^3 + 3a^2 - 5. \]
  6. Упростить: \[ \sqrt{83 - 18\sqrt{2}} \;-\; \sqrt{2}. \]
  7. Решить в целых числах уравнение: \[ (x - 2)\,(y + 3) = 2. \]
  8. Решить уравнение: \[ \lvert x\rvert - x + 2 = \lvert 2x - 2\rvert. \]
  9. Решить уравнение: \[ (x - 1)^4 - x^2 + 2x - 13 = 0. \]
  10. Построить график функции: \[ y = \frac{3x^2 - 8x + 4}{\lvert 2x - 2\rvert}. \]
  11. При каких значениях \(k\) уравнение \[ (k - 2)x^2 + 2(k - 1)x + k = 0 \] имеет единственный корень?
  12. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + x y = 10,\\ x y + y^2 = 15. \end{cases} \]
  13. Решить неравенство: \[ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} \;\ge\; \frac{1}{x}. \]
  14. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если на первой машине её можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?
  15. Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за $2{,}5$ часа. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа проедет путь на 15 км больше, чем расстояние от города до посёлка. Найти это расстояние.
  16. Прямая проходит через точку \(A(1,2)\) и пересекает ось ординат в точке, удалённой от начала координат на 2. Найти уравнение этой прямой.
  17. В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) равен \(80^\circ\). \(M\) — точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(C\). Найти угол между этими биссектрисами.
  18. Найти диагонали ромба, если одна из них в \(1{,}5\) раза больше другой, а площадь ромба равна \(27\text{ см}^2\).
  19. В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) взяли точку \(M\) и провели прямую, параллельную \(AB\), которая пересекла сторону \(BC\) в точке \(N\). Найти отношение площади треугольника \(MCN\) к площади трапеции \(AMNB\), если \(AM:MC = 2:3\).
  20. Две стороны треугольника равны 2 и 4. Какие значения может принимать третья сторона, если её длина — целое число?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: \[ \frac{\left(1\tfrac{2}{9} \div 7\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{6} \right) \cdot 0{,}23}{2\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{2}} \]
    Решение: Приведём смешанные числа к неправильным дробям: \[ 1\tfrac{2}{9} = \frac{11}{9}, \quad 7\tfrac{1}{3} = \frac{22}{3}, \quad 2\tfrac{1}{8} = \frac{17}{8} \] Выполним деление и вычитание: \[ \frac{11}{9} \div \frac{22}{3} = \frac{11}{9} \cdot \frac{3}{22} = \frac{1}{6}, \quad \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = 0 \] Числитель равен $0 \cdot 0{,}23 = 0$. Знаменатель: \[ \frac{17}{8} + \frac{1}{2} = \frac{17}{8} + \frac{4}{8} = \frac{21}{8} \] Итоговое значение выражения: $\frac{0}{\frac{21}{8}} = 0$.
    Ответ: 0.
  2. Найти все натуральные \(n\), при которых число \[ \frac{3n - 1}{n + 1} \] является целым.
    Решение: Представим дробь в виде: \[ \frac{3n - 1}{n + 1} = 3 - \frac{4}{n + 1} \] Для целочисленности $\frac{4}{n + 1}$ должно быть целым. Делители 4: 1, 2, 4. Тогда: \[ n + 1 \in \{1, 2, 4\} \implies n \in \{0, 1, 3\} \] Поскольку \(n\) натуральное: \(n = 1\) или \(n = 3\).
    Ответ: 1, 3.
  3. Товар первоначально стоил \(m\) рублей. Затем он подорожал на дважды: на 10% и на $15\%.$ Определить общее повышение цены в процентах от первоначальной стоимости.
    Решение: После первого повышения цена стала \(1{,}1m\), после второго: \(1{,}15 \cdot 1{,}1m = 1{,}265m\). Общее повышение: \[ 1{,}265m - m = 0{,}265m \implies 26{,}5\% \] Ответ: $26{,}5\%.$
  4. Упростить выражение: \[ \frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} - 2} + \frac{3\,( \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 2} \]
    Решение: Пусть \(t = \sqrt{a}\). Тогда: \[ \frac{t^3 - 1}{(t + 2)(t - 1)} + \frac{3(t + 1)}{t + 2} = \frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{(t + 2)(t - 1)} + \frac{3(t + 1)}{t + 2} \] Упрощаем: \[ \frac{t^2 + t + 1 + 3(t + 1)}{t + 2} = \frac{(t + 2)^2}{t + 2} = t + 2 = \sqrt{a} + 2 \] Ответ: \(\sqrt{a} + 2\).
  5. Разложить на множители: \[ 2a^3 + 3a^2 - 5 \]
    Решение: Подстановка \(a = 1\) обращает выражение в ноль. Делим многочлен на \(a - 1\): \[ 2a^3 + 3a^2 - 5 = (a - 1)(2a^2 + 5a + 5) \] Ответ: \((a - 1)(2a^2 + 5a + 5)\).
  6. Упростить: \[ \sqrt{83 - 18\sqrt{2}} - \sqrt{2} \]
    Решение: Представим подкоренное выражение в виде \((9 - \sqrt{2})^2\): \[ (9 - \sqrt{2})^2 = 81 - 18\sqrt{2} + 2 = 83 - 18\sqrt{2} \] Тогда: \[ \sqrt{83 - 18\sqrt{2}} - \sqrt{2} = 9 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 9 - 2\sqrt{2} \] Ответ: \(9 - 2\sqrt{2}\).
  7. Решить в целых числах уравнение: \[ (x - 2)(y + 3) = 2 \]
    Решение: Делители 2: \(\pm1, \pm2\). Перебираем возможные значения: \[ \begin{cases} x - 2 = 1 \\ y + 3 = 2 \end{cases} \implies (3, -1), \quad \begin{cases} x - 2 = 2 \\ y + 3 = 1 \end{cases} \implies (4, -2) \] \[ \begin{cases} x - 2 = -1 \\ y + 3 = -2 \end{cases} \implies (1, -5), \quad \begin{cases} x - 2 = -2 \\ y + 3 = -1 \end{cases} \implies (0, -4) \] Ответ: \((3, -1)\), \((4, -2)\), \((1, -5)\), \((0, -4)\).
  8. Решить уравнение: \[ |x| - x + 2 = |2x - 2| \]
    Решение: Рассмотрим два случая для модулей.
    • Случай \(x \geq 1\): \[ x - x + 2 = 2x - 2 \implies 2 = 2x - 2 \implies x = 2 \]
    • Случай \(x < 1\): \[ -x - x + 2 = 2 - 2x \implies -2x + 2 = 2 - 2x \implies верно\: при\: всех\: x < 1 \]
    Итоговое решение: \(x < 1\) и \(x = 2\).
    Ответ: \(x \in (-\infty, 1] \cup \{2\}\).
  9. Решить уравнение: \[ (x - 1)^4 - x^2 + 2x - 13 = 0 \]
    Решение: Подстановка \(x = 3\) и \(x = -1\) обращают выражение в ноль. Разложим: \[ (x - 3)(x + 1)(x^2 - 2x + 4) = 0 \] Действительные корни: \(x = 3\), \(x = -1\).
    Ответ: \(-1\), \(3\).
  10. Построить график функции: \[ y = \frac{3x^2 - 8x + 4}{|2x - 2|} \]
    Ответ: График состоит из двух ветвей при \(x \geq 1\) и \(x < 1\) с вертикальной асимптотой \(x = 1\), точками пересечения с осями \((2/3, 0)\), \((2, 0)\), \((0, 2)\) и горизонтальной асимптотой \(y = 1{,}5x\) при \(x \to \pm\infty\).
  11. При каких значениях \(k\) уравнение \[ (k - 2)x^2 + 2(k - 1)x + k = 0 \] имеет единственный корень?
    Решение: Дискриминант: \[ D = 4(k - 1)^2 - 4(k - 2)k = 4 \] Корни уравнения различны при любых \(k \neq 2\). При \(k = 2\) уравнение линейное: \[ 2(2 - 1)x + 2 = 0 \implies x = -1 \] Ответ: \(k = 2\).
  12. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ xy + y^2 = 15 \end{cases} \]
    Решение: Складываем уравнения: \[ x^2 + 2xy + y^2 = 25 \implies (x + y)^2 = 25 \implies x + y = \pm5 \] Подстановка \(y = 5 - x\) и \(y = -5 - x\) в первое уравнение даёт решения: \[ (2, 3), (-2, -3) \] Ответ: \((2, 3)\), \((-2, -3)\).
  13. Решить неравенство: \[ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} \ge \frac{1}{x} \]
    Решение: Общий знаменатель \(x(x - 1)(x - 2)\). После преобразований числитель: \[ x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \] Метод интервалов приводит к: \[ x \in [-\sqrt{2}, 0) \cup (1, \sqrt{2}] \cup (2, +\infty) \] Ответ: \(x \in [-\sqrt{2}, 0) \cup (1, \sqrt{2}] \cup (2, +\infty)\).
  14. На двух машинах копирование занимает 10 минут. Первая машина быстрее второй на 15 минут. Найти время каждой.
    Решение: Пусть время второй машины \(x\) минут. Тогда первая тратит \(x - 15\) минут: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 15} = \frac{1}{10} \] Решив уравнение, получим \(x = 30\) минут. Ответ: 15 минут и 30 минут.
  15. Автомобиль проезжает путь за $ 2{,}5$ часа. При скорости на 20 км/ч больше за 2 часа он проездит на 15 км больше. Найти расстояние.
    Решение: Пусть скорость \(v\) км/ч: \[ 2(v + 20) = 2{,}5v + 15 \implies v = 50 \text{ км/ч}, \text{ расстояние } 125 \text{ км}. \] Ответ: 125 км.
  16. Уравнение прямой через \(A(1,2)\), пересекающей ось Oy на расстоянии 2 от начала координат.
    Решение: Точки пересечения с Oy: \((0, 2)\) и \((0, -2)\): \[ y = 2 \quad (горизонтальная) \quad и \quad y = 4x - 2 \] Ответ: \(y = 2\) и \(y = 4x - 2\).
  17. В треугольнике \(ABC\) с углом \(B = 80^\circ\). Найдите угол между биссектрисами углов \(A\) и \(C\).
    Решение: Сумма углов \(A + C = 100^\circ\). Угол между биссектрисами: \[ 180^\circ - \frac{A + C}{2} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \] Ответ: \(130^\circ\).
  18. Диагонали ромба относятся как $1{,}5$:1, площадь 27 см².
    Решение: Диагонали \(d\) и \(1{,}5d\): \[ \frac{d \cdot 1{,}5d}{2} = 27 \implies d = 6 \text{ см и } 9 \text{ см} \] Ответ: 6 см и 9 см.
  19. Отношение площади треугольника \(MCN\) к площади трапеции \(AMNB\) при \(AM:MC=2:3\).
    Решение: Коэффициент подобия \(3/5\), площадь треугольника \(MCN\) составляет \(9/25\) площади исходного. Трапеция: \(16/25\). Отношение: \(9/16\). Ответ: \(9/16\).
  20. Две стороны треугольника равны 2 и 4. Третья сторона — целое число.
    Решение: По неравенству треугольника целые значения: 3, 4, 5.
    Ответ: 3, 4, 5.
Материалы школы Юайти