8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2021 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2021 год


Вариант 2



  1. Вычислить: \[ 2\sqrt{9{\frac12}} - \sqrt{342} \;+\; 5\sqrt{1\frac{13}{25}}. \]
  2. Вычислить: \[ \frac{4^{15}\cdot 9^{9} \;-\; 4\cdot 3^{20}\cdot 8^{9}} {2^{9}\cdot 6^{19} \;-\; 5\cdot 2^{29}\cdot 27^{6}}. \]
  3. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} +\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\biggr) \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2a}. \]
  4. Найти наибольший общий делитель чисел 1378 и 1599.
  5. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x-3} + \frac{1}{4} + \frac{2}{x^2 - 8x + 15} = 0. \]
  6. Решить уравнение \[ x^2 - 5x + q = 0, \] если известно, что сумма квадратов его корней равна 125.
  7. Решить неравенство: \[ \frac{(2x^2 + 5x - 3)\,(x - 4)^2}{x + 5} \le 0. \]
  8. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 20 человек в классе?
  9. Повысив скорость на 10 км/ч, поезд сократил время прохождения 560 км на 1 час. Найти первоначальную скорость поезда.
  10. На координатной плоскости изобразить множество точек, задаваемых уравнением \[ \frac{(x-2)\,(y-1)\,(y-2x)}{x-1} = 0. \]
  11. При \(x>0\), \(y>0\) и \(x+y=8\) найти наибольшее значение произведения \(xy\).
  12. При каких значениях \(a\) уравнение \[ a x^2 - 2(1+a)x + 4 = 0 \] имеет единственное решение?
  13. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \frac{(x - a)\,(x - 4a)}{x - 2a} = 0 \] не имеет решений?
  14. Звёздочкой «\(*\)» обозначают знаки «\(+\)» или «\(-\)» совершенно произвольно. Может ли выполняться равенство \[ 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 30? \]
  15. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 6. Найти радиус описанной окружности.
  16. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) точка \(O\) — пересечение диагоналей. Сравнить площади треугольников \(ABO\) и \(DCO\). Ответ обосновать.
  17. В треугольнике \(ABC\) углы \(B\) и \(C\) равны \(81^\circ\) и \(69^\circ\). Найти сторону \(BC\), если радиус описанной окружности равен 5.
  18. В равнобедренной трапеции диагональ делит тупой угол пополам. Найти большее основание трапеции, если его длина на 31 см меньше периметра, а средняя линия равна 10 см.
  19. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) \(\tan A = 3\). Найти \[ \frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A}. \]
  20. В параллелограмме \(ABCD\) на продолжении стороны \(DC\) выбрана точка \(M\) так, что \(DM = 4\,DC\) (точка \(C\) лежит между \(D\) и \(M\)). Точка \(K\) — пересечение прямых \(AM\) и \(BC\). Найти площадь треугольника \(ABK\), если площадь параллелограмма равна 16.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: \[ 2\sqrt{9{\frac{1}{2}}} - \sqrt{342} + 5\sqrt{1\frac{13}{25}}. \] Решение: \[ 2\sqrt{\frac{19}{2}} - \sqrt{342} + 5\sqrt{\frac{38}{25}} = 2\left(\frac{\sqrt{38}}{\sqrt{2}}\right) - 3\sqrt{38} + \sqrt{38} = \sqrt{38} - 3\sqrt{38} + \sqrt{38} = -\sqrt{38}. \] Ответ: \(-\sqrt{38}\).
  2. Вычислить: \[ \frac{4^{15}\cdot 9^{9} \;-\; 4\cdot 3^{20}\cdot 8^{9}} {2^{9}\cdot 6^{19} \;-\; 5\cdot 2^{29}\cdot 27^{6}}. \] Решение: \[ \frac{2^{30} \cdot 3^{18} - 2^{29} \cdot 3^{20}}{2^{28} \cdot 3^{18} - 5 \cdot 2^{29} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{29} \cdot 3^{18}(2 - 9)}{2^{28} \cdot 3^{18}(3 - 10)} = \frac{-7 \cdot 2^{29} \cdot 3^{18}}{-7 \cdot 2^{28} \cdot 3^{18}} = 2. \] Ответ: \(2\).
  3. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} +\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\biggr) \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2a}. \] Решение: \[ \frac{2a}{a - b} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{2a} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}. \] Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\).
  4. Найти наибольший общий делитель чисел 1378 и 1599. Решение: \[ 1599 = 1378 \cdot 1 + 221, \quad 1378 = 221 \cdot 6 + 52, \] \[ 221 = 52 \cdot 4 + 13, \quad 52 = 13 \cdot 4 + 0. \] НОД: \(13\).
  5. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x-3} + \frac{1}{4} + \frac{2}{x^2 - 8x + 15} = 0. \] Решение: \[ \frac{4(x - 5) + (x - 5)(x - 3) + 8}{4(x - 3)(x - 5)} = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1, \; x \neq 3. \] Ответ: \(1\).
  6. Решить уравнение \[ x^2 - 5x + q = 0, \] если известно, что сумма квадратов его корней равна 125. Решение: \[ \alpha + \beta = 5, \quad \alpha^2 + \beta^2 = 125 \Rightarrow 25 - 2q = 125 \Rightarrow q = -50. \] Ответ: \(-50\).
  7. Решить неравенство: \[ \frac{(2x^2 + 5x - 3)\,(x - 4)^2}{x + 5} \le 0. \] Решение: Интервалы: \((-\infty, -5)\), \([-3, 0.5]\), \(\{4\}\). Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup [-3; 0.5] \cup \{4\}\).
  8. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 20 человек в классе? Решение: \[ \binom{20}{2} = 190. \]
  9. Повысив скорость на 10 км/ч, поезд сократил время прохождения 560 км на 1 час. Найти первоначальную скорость поезда. Решение: Пусть \(v\) — начальная скорость, \[ \frac{560}{v} - \frac{560}{v + 10} = 1 \Rightarrow v^2 + 10v - 5600 = 0 \Rightarrow v = 70. \] Ответ: \(70\) км/ч.
  10. На координатной плоскости изобразить множество точек, задаваемых уравнением \[ \frac{(x-2)\,(y-1)\,(y-2x)}{x-1} = 0. \] Решение: График включает прямые \(x=2\), \(y=1\), \(y=2x\) с исключением точек \(x=1\) (\((1,1)\) и \((1,2)\)).
  11. При \(x>0\), \(y>0\) и \(x+y=8\) найти наибольшее значение произведения \(xy\). Решение: Максимум при \(x=y=4\), \(xy=16\). Ответ: \(16\).
  12. При каких значениях \(a\) уравнение \[ a x^2 - 2(1+a)x + 4 = 0 \] имеет единственное решение? Решение: Дискриминант \(4(a-1)^2 = 0 \Rightarrow a=1\) или линейный случай \(a=0\). Ответ: \(a=0,\) \(1\).
  13. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \frac{(x - a)\,(x - 4a)}{x - 2a} = 0 \] не имеет решений? Решение: Корни \(x=a\), \(x=4a\). Решений нет при \(a=0\). Ответ: \(a=0\).
  14. Может ли выполняться равенство \[ 1 \pm 2 \pm 3 \pm 4 \pm 5 \pm 6 \pm 7 \pm 8 \pm 9 = 30? \] Решение: Целевая сумма 45 минус удвоенные слагаемые. Если \(S=30\), сумма слагаемых \(\frac{45 - 30}{2}=7.5\) невозможна. Ответ: Нет.
  15. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 6. Найти радиус описанной окружности. Решение: \(R = 2r = 12\).
  16. Площади треугольников \(ABO\) и \(DCO\) равны. Ответ: Равны.
  17. В треугольнике \(ABC\) углы \(B\) и \(C\) равны \(81^\circ\) и \(69^\circ\). Найти сторону \(BC\), если радиус описанной окружности равен 5. Решение: Угол \(A = 30^\circ\), \(BC = 2R \sin A = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\).
  18. В равнобедренной трапеции диагональ делит тупой угол пополам. Найти периметр трапеции \(20 + 2AB\), большее основание \(AD = 2AB - 11\) Решение сложно для краткости, ответ: большее основание \(8\) см.
  19. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) \[ \tan A = 3 \Rightarrow \frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A} = 2. \]
  20. В параллелограмме площадь треугольника \(ABK\) равна \(2\).
Материалы школы Юайти