8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2021 год


Вариант 1



  1. Вычислить: \[ 2\sqrt{8\tfrac12} - \sqrt{306 + 5\sqrt{1\tfrac{9}{25}}}. \]
  2. Вычислить: \[ \frac{2^{19}\cdot27^3 + 15\cdot4^9\cdot9^4}{6^9\cdot2^{10} + 12^{10}}. \]
  3. Упростить выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr) \cdot\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2b}. \]
  4. Найти наибольший общий делитель чисел 1394 и 1581.
  5. Решить уравнение: \[ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{2} = \frac{-4}{x^2 - 4x + 3}. \]
  6. Решить уравнение \[ x^2 - 15x + q = 0, \] если известно, что сумма квадратов его корней равна 125.
  7. Решить неравенство: \[ \frac{(2x^2 + 7x - 4)\,(x - 3)^2}{x + 6} \le 0. \]
  8. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 30 человек в классе?
  9. Повысив скорость на 10 км/ч, поезду удалось сократить на 1 час время прохождения 720 км. Найти первоначальную скорость поезда.
  10. На координатной плоскости изобразить множество точек, задаваемых уравнением \[ \frac{(x-1)\,(y-3)\,(y-2x)}{x-2} = 0. \]
  11. При \(x>0\), \(y>0\), \(x+y=6\) найти наибольшее значение произведения \(xy\).
  12. При каких значениях \(a\) уравнение \[ a x^2 + 2(1 - a)x - 4 = 0 \] имеет единственное решение?
  13. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \frac{(x - a)(x - 2a)}{x - 3a} = 0 \] не имеет решений?
  14. Звёздочкой обозначают знаки «\(+\)» или «\(-\)» совершенно произвольно. Может ли выполняться равенство \[ 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 20? \]
  15. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 4. Найти радиус описанной окружности.
  16. Точка \(O\) — точка пересечения медиан \(AM\) и \(BK\) треугольника \(ABC\). Сравните площади треугольников \(AOK\) и \(BOM\). Ответ обосновать.
  17. Углы \(A\) и \(B\) треугольника \(ABC\) равны соответственно \(71^\circ\) и \(79^\circ\). Найдите сторону \(AB\), если радиус описанной окружности равен 8.
  18. В равнобедренной трапеции диагональ делит тупой угол пополам. Найдите большее основание трапеции, если его длина на 25 см меньше периметра, а средняя линия равна 8 см.
  19. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (угол \(C\) прямой) \(\tan A = 2\). Найти \[ \frac{\sin A - \cos A}{\sin A + \cos A}. \]
  20. В параллелограмме \(ABCD\) на продолжении стороны \(DC\) взята точка \(M\) так, что \(DM = 3\,DC\) (точка \(C\) лежит между \(D\) и \(M\)). \(K\) — точка пересечения прямых \(AM\) и \(BC\). Найти площадь треугольника \(ABK\), если площадь параллелограмма равна 12.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: \[ 2\sqrt{8\tfrac{1}{2}} - \sqrt{306 + 5\sqrt{1\tfrac{9}{25}}}. \]
    Решение: Преобразуем смешанные дроби: \[ 8\tfrac{1}{2} = \frac{17}{2}, \quad 1\tfrac{9}{25} = \frac{34}{25}. \]
    Упростим выражения под корнями: \[ 2\sqrt{\frac{17}{2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{17}{2}} = \sqrt{34}, \] \[ 5\sqrt{\frac{34}{25}} = \sqrt{34}. \]
    Тогда выражение принимает вид: \[ \sqrt{34} - \sqrt{306 + \sqrt{34}} \approx \sqrt{34} - \sqrt{311.83} \approx -11.83. \]
    Ответ: \(-11.83\).
  2. Вычислить: \[ \frac{2^{19} \cdot 27^3 + 15 \cdot 4^9 \cdot 9^4}{6^9 \cdot 2^{10} + 12^{10}}. \]
    Решение: Используем разложение на простые множители: \[ \text{Числитель: } 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 21, \quad \text{Знаменатель: } 2^{19} \cdot 3^9 \cdot 7. \]
    Сокращаем общие множители: \[ \frac{21}{2 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}. \]
    Ответ: \(0,5\).
  3. Упростить выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr) \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2b}. \]
    Решение: Приведем к общему знаменателю первую часть: \[ \frac{2b}{(a - b)(\sqrt{a} - \sqrt{b})}. \]
    Умножаем на вторую часть и сокращаем: \[ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}. \]
    Ответ: \(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}\).
  4. Найти наибольший общий делитель чисел 1394 и 1581.
    Решение: По алгоритму Евклида: \[ 1581 \div 1394 = 1 \text{ (ост. } 187), \\ 1394 \div 187 = 7 \text{ (ост. } 85), \\ 187 \div 85 = 2 \text{ (ост. } 17), \\ 85 \div 17 = 5 \text{ (ост. } 0). \] Ответ: \(17\).
  5. Решить уравнение: \[ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{2} = \frac{-4}{x^2 - 4x + 3}. \]
    Решение: Разложим знаменатель правой части: \[ x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3). \]
    Приводим к общему знаменателю и решаем: \[ \frac{21}{2(x-1)(x-3)} = 0 \implies x = -1 \text{ (при проверке ОДЗ)}. \] Ответ: \(-1\).
  6. Решить уравнение: \[ x^2 - 15x + q = 0, \]
    Решение: Сумма квадратов корней по теореме Виета: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 225 - 2q = 125 \implies q = 50. \] Ответ: \(50\).
  7. Решить неравенство: \[ \frac{(2x^2 + 7x - 4)\,(x - 3)^2}{x + 6} \le 0. \]
    Решение: Метод интервалов: \[ x \in [-4; 0.5] \cup \{3\}, \quad x \ne -6. \] Ответ: \([-4; 0.5] \cup \{3\}\).
  8. Два дежурных из 30 человек:
    Решение: Сочетания \(C(30,2) = \frac{30 \cdot 29}{2} = 435\). Ответ: \(435\).
  9. Скорость поезда: \[ 720 = vt, \quad 720 = (v+10)(t-1) \implies v = 80 \text{ км/ч}. \] Ответ: \(80\) км/ч.
  10. Множество точек:
    Ответ: Линии \(x=1\), \(y=3\), \(y=2x\) с выколотыми точками \((2,3)\) и \((2,4)\).
  11. Максимум \(xy = 9\) при \(x = y = 3\). Ответ: \(9\).
  12. Уравнение с единственным решением: \[ D = 4(a+1)^2 \implies a = -1, \quad a = 0. \] Ответ: \(a = -1, 0\).
  13. Уравнение без решений: Ответ: \(a = 0\).
  14. Сумма знаков:
    Ответ: Невозможно, так как сумма нечётна.
  15. Радиус описанной окружности: Ответ: \(8\).
  16. Сравнение площадей треугольников: Ответ: Равны.
  17. Сторона \(AB\): \[ AB = 2R \cdot \sin 30^\circ = 8. \] Ответ: \(8\).
  18. Большее основание трапеции: \[ a = 9 \text{ см}. \] Ответ: \(9\) см.
  19. Значение тригонометрического выражения: \[ \frac{\sin A - \cos A}{\sin A + \cos A} = \frac{1}{3}. \] Ответ: \(\frac{1}{3}\).
  20. Площадь треугольника \(ABK\): Ответ: \(2\).
Материалы школы Юайти