Лицей №239 из 8 в 9 класс 2020 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2020 год
Вариант 2
- Вычислить: \[ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}. \]
- Найти область определения функции: \[ f(x) = \sqrt{\frac{5 + 6x}{3x + 4}} \;-\; 1. \]
- Решить уравнение: \[ x^4 + 4x^2 - 5 = 0. \]
- Решить неравенство: \[ \lvert x - 4\rvert > 2x - 1. \]
- По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении движутся пассажирский и товарный поезда со скоростями 75 км/ч и 45 км/ч соответственно. Длина товарного поезда равна 800 м. Найти длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного, равно 2 минуты.
- При каком \(k\) графики функций \[ y = x^2 + 2x - 239 \quad\text{и}\quad y = k \] пересекаются в одной точке?
- При каком \(a\) квадрат разности корней уравнения \[ x^2 - 3x + a = 0 \] равен 25?
- В сосуд, содержащий 5 л $12\%$-ного раствора вещества, добавили 7 л воды. Какой процент составляет концентрация полученного раствора?
- Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой \[ y = -2x + 1. \]
- Найдите стороны параллелограмма \(ABCD\), если его периметр равен 100 см, а биссектриса острого угла \(A\) делит сторону \(BC\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(B\).
- Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 24 см, 25 см и 7 см.
- Разность оснований равнобедренной трапеции равна 4. Синус угла при большем основании равен 0,6. Найдите длину боковой стороны трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислить:
\[
\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}.
\]
Решение: Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
\[
\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = 1 + \sqrt{7}, \quad \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{7} - 1.
\]
Тогда разность:
\[
(1 + \sqrt{7}) - (\sqrt{7} - 1) = 2.
\]
Ответ: 2.
- Найти область определения функции:
\[
f(x) = \sqrt{\frac{5 + 6x}{3x + 4}} \;-\; 1.
\]
Решение: Дробь под корнем должна быть неотрицательна, а знаменатель не равен нулю:
\[
\frac{5 + 6x}{3x + 4} \geq 0 \quad \text{и} \quad 3x + 4 \neq 0.
\]
Корни числителя: \(x = -\frac{5}{6}\), знаменателя: \(x = -\frac{4}{3}\). Метод интервалов даёт:
\[
x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup [-\frac{5}{6}; +\infty).
\]
Ответ: \( (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup [-\frac{5}{6}; +\infty) \).
- Решить уравнение:
\[
x^4 + 4x^2 - 5 = 0.
\]
Решение: Замена \(y = x^2\):
\[
y^2 + 4y - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \, (\text{т.к.} \, y = -5 \, \text{не подходит}).
\]
Тогда \(x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1\).
Ответ: \(\pm 1\).
- Решить неравенство:
\[
\lvert x - 4\rvert > 2x - 1.
\]
Решение: Рассмотрим два случая:
- При \(x 2x - 1 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{5}{3}\).
- При \(x \geq 4\): решений нет.
- По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении движутся пассажирский и товарный поезда. Длина товарного поезда 800 м. Найти длину пассажирского поезда, если время обгона 2 минуты.
Решение: Относительная скорость: \(75 - 45 = 30\) км/ч. Расстояние обгона: \(L + 0,8\) км. Время: \[ \frac{L + 0,8}{30} = \frac{1}{30} \quad \Rightarrow \quad L = 0,2 \, \text{км} = 200 \, \text{м}. \] Ответ: 200 м.
- При каком \(k\) графики функций пересекаются в одной точке?
\[
y = x^2 + 2x - 239 \quad\text{и}\quad y = k.
\]
Решение: Уравнение \(x^2 + 2x - 239 - k = 0\) имеет один корень. Дискриминант:
\[
D = 4 + 4(239 + k) = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -240.
\]
Ответ: \(-240\).
- При каком \(a\) квадрат разности корней уравнения
\[
x^2 - 3x + a = 0
\]
равен 25?
Решение: Разность корней \(\sqrt{D} = 5\). Дискриминант: \[ 9 - 4a = 25 \quad \Rightarrow \quad a = -4. \] Ответ: \(-4\).
- Концентрация раствора после добавления воды:
Решение: Изначально вещества: \(5 \cdot 0,12 = 0,6\) л. Новый объём: \(12\) л. Концентрация: \[ \frac{0,6}{12} = 0,05 = 5\%. \] Ответ: \(5\%\).
- Площадь треугольника, ограниченного осями и прямой \(y = -2x + 1\):
Решение: Точки пересечения: \((0; 1)\) и \((\frac{1}{2}; 0)\). Площадь: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}. \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).
- Стороны параллелограмма \(ABCD\):
Решение: Пусть \(AB = a\), \(BC = b\). Из условия биссектрисы: \(\frac{a}{b} = \frac{2}{1}\). Периметр: \[ 2a + 2b = 100 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{100}{3},\, b = \frac{50}{3}. \] Ответ: \(\frac{100}{3}\) см, \(\frac{50}{3}\) см.
- Меньшая высота треугольника со сторонами 24 см, 25 см, 7 см:
Решение: Треугольник прямоугольный (7² + 24² = 25²). Высота к гипотенузе: \[ h = \frac{2 \cdot 84}{25} = 6,72 \, \text{см}. \] Ответ: \(6,72\) см.
- Боковая сторона трапеции:
Решение: Из соотношения \(\cos \alpha = \frac{2}{c}\) и \(\sin \alpha = 0,6\): \[ c^2 = \frac{4}{1 - 0,36} = 6,25 \quad \Rightarrow \quad c = 2,5. \] Ответ: \(2,5\).
Материалы школы Юайти