Лицей №239 из 8 в 9 класс 2020 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2020 год

Вариант 1

1. Вычислить: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}. \]
2. Найти область определения функции \[ f(x) = \sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 5}} + 2. \]
3. Решить уравнение: \[ x^4 - 3x^2 - 4 = 0. \]
4. Решить неравенство: \[ |x - 3| < 6 - 3x. \]
5. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении движутся пассажирский и грузовой поезда со скоростями 70 км/ч и 30 км/ч соответственно. Длина грузового поезда равна 1400 м. Найти длину пассажирского поезда, если время, за которое он полностью прошёл мимо грузового, равно 3 минуты.
6. При каком \(k\) графики функций \[ y = x^2 - 2x + 239 \quad\text{и}\quad y = k \] пересекаются в одной точке?
7. При каком \(a\) квадрат разности корней уравнения \[ x^2 - 2x + a = 0 \] равен 16?
8. В сосуд, содержащий 7 л $14\%$-ного раствора вещества, добавили 21 л воды. Какой процент составляет концентрация полученного раствора?
9. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой \[ y = 2x - 1. \]
10. Найдите стороны параллелограмма \(ABCD\), если его периметр равен 64 см, а биссектриса острого угла \(A\) делит сторону \(BC\) в отношении \(1:2\), считая от вершины \(B\).
11. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 15 см, 17 см и 8 см.
12. Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 3. Синус угла при её большем основании равен 0,8. Найдите длину боковой стороны трапеции.

Решения задач

1. Вычислить: \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\).
   Решение: Представим выражения под корнями как квадраты суммы и разности: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}, \quad \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}. \] Сумма: \[ (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4. \] Ответ: 4.
2. Найти область определения функции \(f(x) = \sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 5}} + 2\).
   Решение: Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю: \[ \frac{1 - 2x}{3x + 5} \geq 0 \quad \text{и} \quad 3x + 5 \neq 0. \] Решая неравенство методом интервалов: \[ x \in \left(-\frac{5}{3}; \frac{1}{2}\right]. \] Ответ: \(\left(-\frac{5}{3}; \frac{1}{2}\right]\).
3. Решить уравнение: \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\).
   Решение: Замена \(t = x^2\): \[ t^2 - 3t - 4 = 0 \implies t = 4 \text{ или } t = -1. \] Обратная замена: \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2. \] Ответ: \(\pm 2\).
4. Решить неравенство: \(|x - 3| < 6 - 3x\).
   Решение: Рассмотрим два случая:
   • \(x \geq 3\): \(x - 3 < 6 - 3x \implies x < \frac{9}{4}\), что несовместимо.
   • \(x < 3\): \(3 - x < 6 - 3x \implies x < \frac{3}{2}\).
   Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{3}{2})\).
5. Длина пассажирского поезда.
   Решение: Относительная скорость: \(70 - 30 = 40\) км/ч = \(\frac{1000}{9}\) м/с. Время обгона: 3 мин = 180 с. Длины поездов: \[ L + 1400 = 40 \cdot 1000 \cdot \frac{3}{60} \implies L = 600 \text{ м}. \] Ответ: 600 метров.
6. Значение \(k\) для пересечения в одной точке:
   Решение: Уравнение \(x^2 - 2x + (239 - k) = 0\). Дискриминант: \[ 4 - 4(239 - k) = 0 \implies k = 238. \] Ответ: 238.
7. Квадрат разности корней:
   Решение: \((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4 - 4a = 16 \implies a = -3\). Ответ: \(-3\).
8. Концентрация раствора после добавления воды:
   Решение: Масса вещества: \(7 \cdot 0,14 = 0,98\) кг. Общий объём: 28 л. Концентрация: \[ \frac{0,98}{28} = 0,035 = $3,5\%$. \] Ответ: $3,5\%$.
9. Площадь треугольника:
   Решение: Точки пересечения: \((\frac{1}{2}; 0)\) и \((0; -1)\). Площадь: \[ \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}. \] Ответ: 0,25.
10. Стороны параллелограмма:
    Решение: \(\frac{AB}{AD} = \frac{1}{2} \implies AB = \frac{32}{3}\) см, \(AD = \frac{64}{3}\) см. Ответ: \(\frac{32}{3}\) см и \(\frac{64}{3}\) см.
11. Меньшая высота треугольника:
    Решение: Расчет по формуле Герона: \[ S = 60, \quad h = \frac{2S}{17} = \frac{120}{17} \text{ см}. \] Ответ: \(\frac{120}{17}\) см.
12. Боковая сторона трапеции:
    Решение: \[ \cos\alpha = 0,6 \implies \text{боковая сторона} = \frac{3}{2 \cdot 0,6} = 2,5. \] Ответ: 2,5.