8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2019
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2019 год


Вариант 1



  1. Свежий виноград содержит 80% влаги, сушёный виноград (изюм) $5\%$. Сколько килограммов свежего винограда требуется для приготовления 1 кг изюма?
  2. Решите уравнение: \[ \frac{3x}{x+3} - \frac{42}{x^2 - 9} = 1 + \frac{7}{3 - x}. \]
  3. Решите неравенство: \[ \frac{7}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{9}{x - 2} + 1 \le 0. \]
  4. Упростите при \(x>0\), \(y>0\): \[ \sqrt{xy}\!\left(\frac{x}{y}\sqrt{xy} - 2\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{1}{xy}}\right). \]
  5. Данo уравнение \(x^2 - 2x - 1 = 0\). Не решая его, найдите сумму квадратов его корней.
  6. В треугольнике \(ABC\) проведена прямая \(BD\) так, что \(\angle ABD = \angle C\). Найдите отрезки \(AD\) и \(DC\), если \(AB = 2\), \(AC = 4\).
  7. В трапеции диагональ и боковая сторона, исходящие из вершины тупого угла, равны 26 см и \(\sqrt{577}\) см соответственно, высота трапеции 24 см, меньшее основание 7 см. Найдите площадь трапеции.
  8. В прямоугольном треугольнике \(ABC\), в котором \(\tan\angle A = \tfrac12\), найдите \(\cos\angle A\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Свежий виноград содержит 80% влаги, сушёный виноград (изюм) $5\%$. Сколько килограммов свежего винограда требуется для приготовления 1 кг изюма?
    Решение: В свежем винограде сухое вещество составляет $20\%$, в изюме — $95\%$. Пусть $x$ кг — масса свежего винограда. Тогда сухого вещества в нём $0,2x$ кг. В 1 кг изюма сухого вещества $0,95$ кг.
    $0,2x = 0,95 \implies x = \frac{0,95}{0,2} = 4,75$ кг.
    Ответ: 4,75 кг.

  2. Решите уравнение: \[ \frac{3x}{x+3} - \frac{42}{x^2 - 9} = 1 + \frac{7}{3 - x}. \]
    Решение: Общий знаменатель — $(x-3)(x+3)$. Преобразуем уравнение:
    $\frac{3x}{x+3} - \frac{42}{(x-3)(x+3)} - 1 + \frac{7}{x-3} = 0$.
    Умножим на общий знаменатель:
    $3x(x-3) - 42 - (x^2 - 9) + 7(x+3) = 0$
    $3x^2 - 9x - 42 - x^2 + 9 + 7x + 21 = 0$
    $2x^2 - 2x - 12 = 0 \implies x^2 - x - 6 = 0$
    Корни: $x = \frac{1 \pm 5}{2} \implies x = 3$ (не подходит) или $x = -2$.
    Ответ: -2.

  3. Решите неравенство: \[ \frac{7}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{9}{x - 2} + 1 \le 0. \]
    Решение: Приведём к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:
    $\frac{7 + 9(x-1) + (x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)} \le 0 \implies \frac{x^2 + 6x}{(x-1)(x-2)} \le 0$
    Нули числителя: $x(x + 6) = 0 \implies x = 0, x = -6$. Знаки на интервалах: $\boxed{[-6; 0]}$.
    Ответ: $[-6; 0]$.

  4. Упростите при \(x>0\), \(y>0\): \[ \sqrt{xy}\!\left(\frac{x}{y}\sqrt{xy} - 2\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{1}{xy}}\right). \]
    Решение: Упростим каждое слагаемое:
    $\sqrt{xy} \cdot \frac{x}{y}\sqrt{xy} = x^2$,
    $\sqrt{xy} \cdot (-2)\sqrt{\frac{x}{y}} = -2x$,
    $\sqrt{xy} \cdot \sqrt{\frac{1}{xy}} = 1$.
    Итог: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
    Ответ: $(x - 1)^2$.

  5. Данo уравнение \(x^2 - 2x - 1 = 0\). Не решая его, найдите сумму квадратов его корней.
    Решение: По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1x_2 = -1$.
    Сумма квадратов: $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4 - 2(-1) = 6$.
    Ответ: 6.

  6. В треугольнике \(ABC\) проведена прямая \(BD\) так, что \(\angle ABD = \angle C\). Найдите отрезки \(AD\) и \(DC\), если \(AB = 2\), \(AC = 4\).
    Решение: Треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны (по двум углам). Тогда:
    $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB} \implies \frac{2}{4} = \frac{AD}{2} \implies AD = 1$ см.
    $DC = AC - AD = 4 - 1 = 3$ см.
    Ответ: 1 см и 3 см.

  7. В трапеции диагональ и боковая сторона, исходящие из вершины тупого угла, равны 26 см и \(\sqrt{577}\) см соответственно, высота трапеции 24 см, меньшее основание 7 см. Найдите площадь трапеции.
    Решение: Пусть $AD$ — большее основание, $BC = 7$ см. Из треугольника $ABH$ (где $BH = 24$ см) находим $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = 1$ см. Для диагонали $BD = 26$ см:
    $BD^2 = BH^2 + HD^2 \implies 26^2 = 24^2 + (AD - 8)^2 \implies AD = 18$ см.
    Площадь: $\frac{7 + 18}{2} \cdot 24 = 300$ см².
    Ответ: 300 см².

  8. В прямоугольном треугольнике \(ABC\), в котором \(\tan\angle A = \tfrac12\), найдите \(\cos\angle A\).
    Решение: Пусть $BC = 1$, $AC = 2$, тогда $AB = \sqrt{5}$.
    $\cos \angle A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
    Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Материалы школы Юайти