8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2007 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2007
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2007 год


Вариант 2



  1. Упростить выражение: \[ \frac{9}{(b-3)(c-3)} \;-\; \frac{b^2}{(b-c)(3-b)} \;-\; \frac{c^2}{(3-c)(c-b)}. \]
  2. Упростить выражение: \[ \sqrt{a - 1} + 2\sqrt{a - 2}. \]
  3. Решить уравнение: \[ \bigl\lvert x^2 - 5x + 6\bigr\rvert = 5x - x^2 - 6. \]
  4. Решить неравенство: \[ \biggl\lvert x\biggr\rvert \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 - x - 1} \ge 0. \]
  5. Построить график функции: \[ y = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x - 2}. \]
  6. Найти те значения \(b\), при которых сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 - b x + 10 = 0 \] равна 16.
  7. Решить уравнение в целых числах: \[ x^2 - 3xy = x - 3y + 2. \]
  8. Определить, при каких \(x\) и \(y\) выражение \[ 5y^2 + 4y + x^2 - 2xy + 1 \] принимает наименьшее значение.
  9. Найти длину медианы \(CM\) треугольника \(ABC\), если известны координаты вершин: \[ A(-2,5),\quad B(-4,-3),\quad C(0,0). \]
  10. Основания трапеции равны 10 см и 16 см. Найти длины отрезков, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \frac{9}{(b-3)(c-3)} - \frac{b^2}{(b-c)(3-b)} - \frac{c^2}{(3-c)(c-b)} \]
    Решение: Преобразуем знаменатели: \[ \frac{9}{(b-3)(c-3)} - \frac{b^2}{(c-b)(b-3)} + \frac{c^2}{(c-3)(c-b)} \]
    Общий знаменатель: \((b-3)(c-3)(c-b)\). Числитель: \[ 9(c - b) - b^2(c - 3) + c^2(b - 3) \]
    После упрощения числитель равен \((b-3)(c-3)(c-b)\). Ответ: \(1\).
    Ответ: \(1\).

  2. Упростить выражение: \[ \sqrt{a - 1} + 2\sqrt{a - 2} \]
    Решение: Область определения: \(a \geq 2\). Проверкой подстановкой достаточных значений убеждаемся, что дальнейшее упрощение невозможно.
    Ответ: \(\sqrt{a - 1} + 2\sqrt{a - 2}\).

  3. Решить уравнение: \[ |x^2 -5x +6| = 5x -x^2 -6 \]
    Решение: Правая часть \(- (x^2 -5x +6)\). Уравнение выполняется, если \(x^2 -5x +6 \leq 0\), то есть \(x \in [2, 3]\).
    Ответ: \(x \in [2, 3]\).

  4. Решить неравенство: \[ |x| \cdot \frac{x^3 -x^2 -x +1}{x^3 +x^2 -x -1} \ge 0 \]
    Решение: После факторизации числителя \((x-1)^2(x+1)\) и знаменателя \((x-1)(x+1)^2\) упрощаем до \(|x| \cdot \frac{(x-1)}{(x+1)} \geq 0\). Рассматриваем интервалы:
    Ответ: \(x \in (-\infty, -1) \cup \{0\} \cup (1, \infty)\).

  5. Построить график функции: \[ y = \frac{x^3 + 2x^2 -5x -6}{x - 2} \]
    Решение: Числитель равен \((x -2)(x^2 +4x +3)\). Упрощаем до \(y = x^2 +4x +3\) с исключением точки \(x =2\).
    Ответ: Парабола \(y = x^2 +4x +3\) с точкой разрыва в \(x =2\).

  6. Найти \(b\), при которых сумма квадратов корней уравнения \(x^2 -bx +10 =0\) равна 16.
    Решение: Используем \(x_1^2 +x_2^2 =b^2 -20 =16\). Решаем \(b^2 =36\).
    Ответ: \(b = \pm6\).

  7. Решить уравнение в целых числах: \[ x^2 -3xy =x -3y +2 \]
    Решение: После перегруппировки и факторизации получим \((x-1)(x -3y) =2\). Перебирая делители:
    Ответ: \((x, y) = (2, 0)\), \((-1, 0)\).

  8. Найти минимум выражения \(5y^2 +4y +x^2 -2xy +1\).
    Решение: Выделим полные квадраты: \[ (x -y)^2 + (2y +1)^2 \] Минимум достигается при \(x =-\frac{1}{2}\), \(y =-\frac{1}{2}\).
    Ответ: \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\).

  9. Найти длину медианы \(CM\) треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(-2,5)\), \(B(-4,-3)\), \(C(0,0)\).
    Решение: Середина \(AB\): \(M(-3,1)\). Расстояние от \(C\) до \(M\): \[ \sqrt{(-3)^2 +1^2} = \sqrt{10} \] Ответ: \(\sqrt{10}\) см.

  10. Основания трапеции 10 см и 16 см. Найти отрезки средней линии.
    Решение: Средняя линия \(13\) см. По свойству трапеции, диагонали делят её на равные отрезки разности оснований: \[ \frac{16 -10}{2} =3 \text{ см} \]
    Ответ: \(3\) см и \(3\) см.

Материалы школы Юайти