8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2007 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2007
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2007 год


Вариант 1



  1. Упростить выражение: \[ \frac{a^2}{(a+1)(a-c)} \;+\; \frac{1}{(c+1)(a+1)} \;+\; \frac{c^2}{(c-a)(c+1)}. \]
  2. Упростить выражение: \[ \sqrt{b - 2} \;+\; 2\sqrt{b - 3}. \]
  3. Решить уравнение: \[ \bigl\lvert 5x - x^2 - 6\bigr\rvert = x^2 - 5x + 6. \]
  4. Решить неравенство: \[ \biggl\lvert x\biggr\lvert \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^3 - x^2 - x + 1} \biggr\rvert \ge 0. \]
  5. Построить график функции: \[ y = \frac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x + 2}. \]
  6. Найти те значения \(a\), при которых сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 - a x + 20 = 0 \] равна 24.
  7. Решить уравнение в целых числах: \[ 2x^2 + x y = x + 7. \]
  8. Определить, при каких \(x\) и \(y\) выражение \[ 5x^2 - 4x + y^2 + 2x y + 1 \] принимает наименьшее значение.
  9. Найти длину медианы \(CM\) треугольника \(ABC\), если известны координаты вершин: \[ A(2, -5),\quad B(4, -3),\quad C(0,0). \]
  10. Основания трапеции равны 12 см и 18 см. Найти длины отрезков, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \frac{a^2}{(a+1)(a-c)} + \frac{1}{(c+1)(a+1)} + \frac{c^2}{(c-a)(c+1)}. \]
    Решение: Приводим все дроби к общему знаменателю $(a+1)(a-c)(c+1)$: \[ \frac{a^2(c+1) + (a-c) - c^2(a+1)}{(a+1)(a-c)(c+1)}. \] Упрощаем числитель: \[ a^2 c + a^2 + a - c - c^2 a - c^2 = (a - c)(a c + a + c + 1). \] Факторизуем выражение: \[ (a - c)(a + 1)(c + 1). \] Сокращаем с общим знаменателем: \[ \frac{(a - c)(a + 1)(c + 1)}{(a + 1)(a - c)(c + 1)} = 1. \] Ответ: 1.

  2. Упростить выражение: \[ \sqrt{b - 2} + 2\sqrt{b - 3}. \]
    Решение: Область определения: $b \geq 3$. Поскольку выражение уже является максимально упрощенной формой, далее упростить невозможно.
    Ответ: $\sqrt{b - 2} + 2\sqrt{b - 3}$ при $b \geq 3$.

  3. Решить уравнение: \[ \bigl\lvert 5x - x^2 - 6\bigr\rvert = x^2 - 5x + 6. \]
    Решение: Замечаем, что левая и правая части связаны соотношением: \[ |x^2 - 5x + 6| = x^2 - 5x + 6. \] Это равенство выполняется, когда $x^2 - 5x + 6 \geq 0$.
    Решаем квадратное неравенство: \[ (x - 2)(x - 3) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty). \] Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

  4. Решить неравенство: \[ \biggl\lvert x \cdot \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^3 - x^2 - x + 1} \biggr\rvert \ge 0. \]
    Решение: Упрощаем дробь в выражении: \[ \frac{(x+1)^2 (x-1)}{(x-1)^2 (x+1)} = \frac{x+1}{x-1} \quad (x \neq -1, 1). \] Неравенство принимает вид: \[ \left|x \cdot \frac{x+1}{x-1}\right| \geq 0. \] Модуль всегда неотрицателен. Учитывая ОДЗ ($x \neq -1, 1$):
    Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

  5. Построить график функции: \[ y = \frac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x + 2}. \]
    Решение: Разделим числитель на $x + 2$: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x^2 - 4x + 3) = (x + 2)(x - 1)(x - 3). \] Сокращаем: \[ y = \frac{(x + 2)(x - 1)(x - 3)}{x + 2} = (x - 1)(x - 3) \quad (x \neq -2). \] График — парабола $y = x^2 - 4x + 3$ с выколотой точкой при $x = -2$.

  6. Найти значения $a$, при которых сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 - a x + 20 = 0 \] равна 24.
    Решение: Сумма квадратов корней через теорему Виета: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = a^2 - 40. \] Решаем уравнение: \[ a^2 - 40 = 24 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 8. \] Ответ: $a = \pm 8$.

  7. Решить уравнение в целых числах: \[ 2x^2 + x y = x + 7. \]
    Решение: Выразим $y$: \[ y = \frac{7 + x - 2x^2}{x}. \] Для целых $y$ числитель должен делиться на $x$. Возможные $x$ — делители 7: $\pm1, \pm7$.
    Проверка: \[ (x, y) = (1,6), (-1,-4), (7,-12), (-7,14). \] Ответ: $(1,6)$, $(-1,-4)$, $(7,-12)$, $(-7,14)$.

  8. Найти минимальное значение выражения: \[ 5x^2 - 4x + y^2 + 2x y + 1. \]
    Решение: Преобразуем выражение: \[ 4(x - 0.5)^2 + (y + x)^2. \] Минимум достигается при $x = 0.5$, $y = -0.5$ и равен 0.
    Ответ: 0 при $(0.5, -0.5)$.

  9. Найти длину медианы $CM$ треугольника $ABC$ с вершинами $A(2,-5)$, $B(4,-3)$, $C(0,0)$.
    Решение: Координаты середины $AB$: \[ M = \left( \frac{2 + 4}{2}, \frac{-5 + (-3)}{2} \right) = (3, -4). \] Длина $CM$: \[ \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5. \] Ответ: 5.

  10. Основания трапеции 12 см и 18 см. Найти длины отрезков средней линии, на которые её делят диагонали.
    Решение: Средняя линия $MN = \frac{12 + 18}{2} = 15$ см. Отрезки делятся диагоналями пропорционально основаниям: \[ MO : ON = 12 : 18 = 2 : 3. \] Длины: \[ MO = \frac{15 \cdot 2}{5} = 6 \text{ см}, \quad ON = 9 \text{ см}. \] Ответ: 6 см и 9 см.
Материалы школы Юайти