8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2006 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2006
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2006 год


Вариант 2



  1. Упростить: \[ \frac{\displaystyle\frac{1}{a-b} \;-\;\frac{1}{a+b}} {\displaystyle\frac{1}{a-b} \;+\;\frac{1}{a+b}}\cdot\frac{a}{b}. \]
  2. Сократить дробь: \[ \frac{x^4 + 4}{(x-1)^2 + 1}. \]
  3. Товар первоначально стоил \(a\) рублей. Затем он подорожал на \(15\%\), а потом ещё на \(10\%\). На сколько процентов от первоначальной стоимости подорожал товар?
  4. На столе лежат книги, число которых меньше 100. Сколько книг лежит на столе, если их можно без остатка связать в пачки по 3, по 4 и по 7 книг?
  5. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+4} = \frac{2 + x}{1 - x} - \frac{3}{x+4}. \]
  6. Решить неравенство: \[ x^2 - x > \lvert x + 3\rvert. \]
  7. Вычислить: \[ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}. \]
  8. Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя час вслед за ним выехала легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина обогнала автобус и через 5 часов после своего выезда находилась впереди него на 70 км. Найти скорость автобуса.
  9. Построить график функции: \[ y = \lvert x\rvert + \lvert x - 2\rvert. \]
  10. Вычислить без использования техники: \[ 141\cdot149 \;-\; 143\cdot147. \]

  11. Не решая уравнения \[ 2x^2 + 3x - 11 = 0, \] найти \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\), где \(x_1, x_2\) — корни этого уравнения.
  12. Найдите наибольшее значение, которое может принимать \(xy\), если \[ 3x + 2y = 6. \]
  13. При каких значениях \(k\) один из корней уравнения \[ x^2 - (k + 5)x + (2k + 6) = 0 \] в два раза больше другого?
  14. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \frac{x^2 - 5ax + 4a^2}{x - 4} = 0 \] имеет ровно один корень?
  15. Прямая проходит через точку \(A(-1,2)\) и пересекает ось ординат в точке, удалённой от начала координат на 2. Найти уравнение этой прямой.
  16. Две стороны треугольника равны 2 и 5. Какие значения может принимать третья сторона, если её длина — целое число?
  17. Найти наибольшую возможную площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой \(12\) см.
  18. Равнобедренный треугольник, углы которого относятся как \(5:2\), достроили до параллелограмма, диагональю которого является боковая сторона. Найти углы параллелограмма.
  19. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC = 26\) см. Перпендикуляр \(MN\), проведённый из середины \(BC\) к прямой \(AC\), делит сторону \(AC\) на отрезки \(AN = 19\) см и \(NC = 5\) см. Найти площадь треугольника \(ABC\).
  20. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями \(2\) и \(3\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить: \[ \frac{\displaystyle\frac{1}{a-b} -\frac{1}{a+b}}{\displaystyle\frac{1}{a-b} +\frac{1}{a+b}}\cdot\frac{a}{b}. \] Решение: \[ \frac{\frac{2b}{(a-b)(a+b)}}{\frac{2a}{(a-b)(a+b)}} \cdot \frac{a}{b} = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1. \] Ответ: 1.

  2. Сократить дробь: \[ \frac{x^4 + 4}{(x-1)^2 + 1}. \] Решение: Разложим числитель по формуле Софи Жермен: \[ x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2). \] Знаменатель: \[ (x-1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 2. \] Сокращаем на \((x^2 - 2x + 2)\): \[ \frac{(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 2x + 2} = x^2 + 2x + 2. \] Ответ: \(x^2 + 2x + 2\).

  3. Товар первоначально стоил \(a\) рублей. После подорожаний стоимость стала: \[ a \cdot 1.15 \cdot 1.10 = 1.265a. \] Общее подорожание: \[ (1.265 - 1) \cdot 100% = 26.5\%. \] Ответ: $26.5\%$.

  4. Найти число книг \(N < 100\), делящееся на 3, 4, 7. Общее кратное: \[ \text{НОК}(3,4,7) = 84. \] Ответ: 84.

  5. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+4} = \frac{2 + x}{1 - x} - \frac{3}{x+4}. \] Переносим слагаемые и группируем: \[ \frac{1 + x + 2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 4} = 0 \implies \frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 4} = 0. \] Решаем: \[ (x + 3)\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 4}\right) = 0. \] Корни: \(x = -3\) и \(x = -1.5\).
    Ответ: \(-3; \ -1.5\).

  6. Решить неравенство: \[ x^2 - x > |x + 3|. \] Для \(x \geq -3\): \[ x^2 - 2x - 3 > 0 \implies x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty). \] Для \(x < -3\) неравенство всегда выполнено. Общее решение: \[ x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty). \] Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)\).

  7. Вычислить: \[ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}. \] Упрощаем через подстановку \(\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}\): \[ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{5}-1}{2}. \] После вычислений: \[ \sqrt{2}. \] Ответ: \(\sqrt{2}\).

  8. Скорость автобуса \(v\), машины \(v + 20\): \[ 5(v + 20) - 6v = 70 \implies v = 30 \text{ км/ч}. \] Ответ: 30.

  9. График \(y = |x| + |x - 2|\):
    • \(x < 0\): \(y = -2x + 2\)
    • \(0 \leq x \leq 2\): \(y = 2\)
    • \(x > 2\): \(y = 2x - 2\)
    Ответ: Линейный график с точками излома в \(x=0\) и \(x=2\).

  10. Вычислить: \[ 141 \cdot 149 - 143 \cdot 147 = (145^2 - 16) - (145^2 - 4) = -12. \] Ответ: \(-12\).

  11. Используя теорему Виета: \[ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{11}{2}\right)}{-\frac{11}{2}} = -\frac{53}{22}. \] Ответ: \(-\frac{53}{22}\).

  12. Максимум \(xy\) при \(3x + 2y = 6\): \[ y = \frac{6 - 3x}{2}, \quad xy = -\frac{3x^2}{2} + 3x. \] Максимум в вершине параболы \(x = 1\): \[ xy = 1.5. \] Ответ: \(1.5\).

  13. Корни \(x\) и \(2x\): \[ 3x = k + 5, \quad 2x^2 = 2k + 6 \implies x = \frac{k + 5}{3}, \quad k^2 + k - 2 = 0 \implies k=1; -2. \] Ответ: \(1; \ -2\).

  14. Уравнение \(\frac{x^2 -5ax +4a^2}{x-4}=0\): Корни \(x = 4a\) и \(x=a\). Исключаем \(x=4\):
    • \(4a = 4 \implies a=1\)
    • \(a = 4\)
    • Корень кратности \(2\) при \(a=0\)
    Ответ: \(0; \ 1; \ 4\).

  15. Уравнение прямой через \(A(-1,2)\): \[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -4x - 2. \] Ответ: \(y=2\) и \(y=-4x-2\).

  16. Третья сторона треугольника: \[ 3 < c < 7 \implies c = 4; 5; 6. \] Ответ: \(4; \ 5; \ 6\).

  17. Максимальная площадь прямоугольного треугольника: Равнобедренный треугольник с катетами \(\frac{12}{\sqrt{2}}\): \[ S = \frac{1}{2} \left(\frac{12}{\sqrt{2}}\right)^2 = 36. \] Ответ: \(36 \text{ см}^2\).

  18. Углы параллелограмма: Углы треугольника \(100^\circ; 40^\circ; 40^\circ\), углы параллелограмма \(80^\circ; 100^\circ; 80^\circ; 100^\circ\). Ответ: \(80^\circ; \ 100^\circ\).

  19. Площадь треугольника: Координаты точек дают высоту \(h = 24\), площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 24 = 288. \] Ответ: \(288 \text{ см}^2\).

  20. Радиус вписанной окружности: Сумма оснований \(2 + 3 = 5\), радиус: \[ r = \frac{a + b}{2} = 2.5. \] Ответ: \(2.5\).
Материалы школы Юайти