Лицей №239 из 8 в 9 класс 2006 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2006 год

Вариант 1

1. Упростить: \[ \frac{\displaystyle\frac{1}{a+b} \;-\;\frac{1}{a-b}} {\displaystyle\frac{1}{a+b} \;+\;\frac{1}{a-b}}\cdot\frac{a}{b}. \]
2. Сократить дробь: \[ \frac{x^4 + 4}{(x+1)^2 + 1}. \]
3. Товар первоначально стоил \(a\) рублей. Затем он подорожал на \(10\%\), а потом ещё на \(15\%\). На сколько процентов от первоначальной стоимости подорожал товар?
4. На столе лежат книги, число которых меньше 100. Сколько книг лежит на столе, если их можно без остатка связать в пачки по 3, по 4 и по 5 книг?
5. Решить уравнение: \[ \frac{x}{x-4} - \frac{1}{x+1} = \frac{2 - x}{x+1} + \frac{3}{x-4}. \]
6. Решить неравенство: \[ x^2 + x > \lvert x - 3\rvert. \]
7. Вычислить: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}. \]
8. Путь от города до посёлка автомобиль преодолевает за \(2{,}5\) часа. Если он увеличит скорость на \(20\) км/ч, то за 2 часа проедет на 15 км больше, чем расстояние от города до посёлка. Найти расстояние от города до посёлка.
9. Построить график функции: \[ y = \lvert x\rvert + \lvert x + 2\rvert. \]
10. Вычислить без использования техники: \[ 131 \cdot 139 \;-\; 133 \cdot 137. \]
    
    
11. Не решая уравнения \[ 2x^2 - 3x - 11 = 0 \] найти \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\), где \(x_1,x_2\) — корни этого уравнения.
    
    
12. Найдите наибольшее значение, которое может принимать \(xy\), если \[ 2x + 3y = 6. \]
    
    
13. При каких значениях \(k\) один из корней уравнения \[ x^2 - (k+4)x + (2k + 4) = 0 \] в два раза больше другого?
    
    
14. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \frac{x^2 - 4ax + 3a^2}{x - 3} = 0 \] имеет ровно один корень?
    
    
15. Прямая проходит через точку \(A(1,2)\) и пересекает ось ординат в точке, удалённой от начала координат на 2. Найти уравнение этой прямой.
    
    
16. Две стороны треугольника равны 2 и 4. Какие значения может принимать третья сторона, если её длина — целое число?
    
    
17. Найти наибольшую возможную площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой \(10\) см.
    
    
18. Равнобедренный треугольник, углы которого относятся как \(4:1\), достроили до параллелограмма, диагональю которого является боковая сторона. Найти углы параллелограмма.
    
    
19. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC = 34\) см. Перпендикуляр \(MN\), проведённый из середины \(BC\) к прямой \(AC\), делит сторону \(AC\) на отрезки \(AN = 25\) см и \(NC = 15\) см. Найти площадь треугольника \(ABC\).
    
    
20. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями \(4\) и \(6\).

Решения задач

1. Упростить: \[ \frac{\displaystyle\frac{1}{a+b} \;-\;\frac{1}{a-b}} {\displaystyle\frac{1}{a+b} \;+\;\frac{1}{a-b}}\cdot\frac{a}{b} \] Решение:
   Числитель первой дроби: \[ \frac{(a - b) - (a + b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{-2b}{a^2 - b^2} \] Знаменатель первой дроби: \[ \frac{(a - b) + (a + b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a}{a^2 - b^2} \] Основная дробь: \[ \frac{-2b}{a^2 - b^2} \div \frac{2a}{a^2 - b^2} = -\frac{b}{a} \] После умножения на \(\frac{a}{b}\): \[ -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = -1 \] Ответ: \(-1\).
2. Сократить дробь: \[ \frac{x^4 + 4}{(x+1)^2 + 1} \] Решение:
   Числитель раскладывается как \( (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) \) по формуле суммы квадратов.
   Знаменатель: \( (x + 1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 2 \).
   Сокращаем общий множитель: \[ \frac{(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)}{x^2 + 2x + 2} = x^2 - 2x + 2 \] Ответ: \( x^2 - 2x + 2 \).
3. Товар первоначально стоил \(a\) рублей. После двух повышений на 10% и $15\%$:
   Новая цена: \( a \cdot 1.1 \cdot 1.15 = a \cdot 1.265 \).
   Общее подорожание: \( 26.5% \).
   Ответ: на $26,5\%$.
4. Найти количество книг меньше 100, делящихся на 3, 4, 5.
   Решение: НОК(3, 4, 5) = 60. Единственное число меньше 100: 60.
   Ответ: 60.
5. Решить уравнение: \[ \frac{x}{x-4} - \frac{1}{x+1} = \frac{2 - x}{x+1} + \frac{3}{x-4} \] Решение:
   После преобразований уравнение сводится к: \[ (x - 3)\left(\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 1}\right) = 0 \] Корни: \( x = 3 \) и \( x = \frac{3}{2} \).
   Ответ: \( x = 1{,}5 \) и \( x = 3 \).
6. Решить неравенство: \[ x^2 + x > \lvert x - 3\rvert \] Решение:
   Разбор по случаям \( x \geq 3 \) и \( x < 3 \). Объединение решений: \[ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) \] Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) \).
7. Вычислить: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \] Решение:
   Замена \( \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \). После упрощений: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \] Ответ: \( \sqrt{3} \).
8. Путь автомобиля:
   Пусть расстояние — \( S \), исходная скорость — \( v \): \[ \begin{cases} S = 2{,}5v \\ 2(v + 20) = S + 15 \end{cases} \] Решая систему, находим \( S = 225 \) км.
   Ответ: 225 км.
9. График функции \( y = \lvert x\rvert + \lvert x + 2\rvert \):
   График состоит из линейных участков с изломами в \( x = -2 \) и \( x = 0 \). Уравнения: \[ y = \begin{cases} -2x - 2, & x \leq -2 \\ 2, & -2 \leq x \leq 0 \\ 2x + 2, & x \geq 0 \end{cases} \] Ответ: см. уравнения выше.
10. Вычислить: \[ 131 \cdot 139 - 133 \cdot 137 \] Решение:
    Используем разность квадратов: \[ (135 - 4)(135 + 4) - (135 - 2)(135 + 2) = (135^2 - 16) - (135^2 - 4) = -12 \] Ответ: \(-12\).
11. Найдите \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \) для уравнения \( 2x^2 - 3x - 11 = 0 \):
    Решение: \[ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} \] Подстановка коэффициентов:
    Сумма корней \( \frac{3}{2} \), произведение \( -\frac{11}{2} \): \[ \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{11}{2}\right)}{-\frac{11}{2}} = \frac{\frac{9}{4} + 11}{-\frac{11}{2}} = -\frac{53}{22} \] Ответ: \(-\frac{53}{22}\).
12. Максимум \( xy \) при \( 2x + 3y = 6 \):
    Решение:
    Выразим \( y = 2 - \frac{2}{3}x \). Подставим в \( xy \): \[ x\left(2 - \frac{2}{3}x\right) = -\frac{2}{3}x^2 + 2x \] Максимум при \( x = \frac{3}{2} \), \( y = 1 \). Значение \( xy = \frac{3}{2} \).
    Ответ: \(\frac{3}{2}\).
13. Корни уравнения \( x^2 - (k+4)x + (2k + 4) = 0 \) в соотношении 2:1:
    Пусть корни \( 2\alpha \) и \( \alpha \): \[ \begin{cases} 3\alpha = k + 4 \\ 2\alpha^2 = 2k + 4 \end{cases} \] Решая систему, находим \( k = 2 \).
    Ответ: \( k = 2 \).
14. Уравнение \( \frac{x^2 - 4ax + 3a^2}{x - 3} = 0 \):
    Числитель раскладывается: \( (x - a)(x - 3a) \). Корни \( x = a \) и \( x = 3a \).
    Условие единственности корня: \( a = 3a \) или \( a = 3 \). Таким образом \( a = 0 \) или \( a = 3 \).
    Ответ: \( a = 0 \) или \( a = 3 \).
15. Уравнение прямой через \( A(1, 2) \), пересекающей ось ординат в точке \( (0, 2) \):
    Уравнение вида \( y = kx + 2 \). Подстановка \( A \): \[ 2 = k \cdot 1 + 2 \Rightarrow k = 0 \] Ответ: \( y = 2 \).
16. Третья сторона треугольника с целой длиной:
    По неравенству треугольника: \( 4 - 2 < c < 4 + 2 \Rightarrow c \in \{3, 4, 5\} \).
    Ответ: \( 3 \), \( 4 \), \( 5 \).
17. Максимальная площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см:
    Максимум достигается при равнокатетном треугольнике: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 25 \, \text{см}^2 \] Ответ: \( 25 \, \text{см}^2 \).
18. Углы параллелограмма, достроенного из равнобедренного треугольника с углами \( 4:1 \):
    Углы треугольника: \( 30^\circ \), \( 30^\circ \), \( 120^\circ \). Углы параллелограмма: \( 60^\circ \), \( 120^\circ \).
    Ответ: \( 60^\circ \) и \( 120^\circ \).
19. Площадь треугольника \( ABC \):
    Рассматриваем треугольник, разделённый медианой. Используем свойства медианы и теорему Пифагора:
    Площадь \( S = 340 \, \text{см}^2 \). Ответ: \( 340 \, \text{см}^2 \).
20. Радиус вписанной окружности в трапеции с основаниями 4 и 6:
    У прямоугольной трапеции радиус вписанной окружности равен полуразности оснований: \[ r = \frac{6 - 4}{2} = 1 \] Ответ: \( 1 \).