Лицей №239 из 8 в 9 класс 2005 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2005 год
Вариант 2
- Упростить: \[ \frac{a\sqrt{a - 27}}{a + 3\sqrt{a + 9}} + 3. \]
- Разложить на множители: \[ 2a^3 + 3a - 5. \]
- Найти наибольшее двузначное натуральное число \(n\), такое что дробь \[ \frac{3n + 16}{n + 4} \] является сокращаемой.
- Сравнить числа \[ a = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} \quad\text{и}\quad b = \frac{2}{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}. \]
- Решить уравнение: \[ \frac{2}{x + 1} = \frac{x - 5}{x^2 - x - 2}. \]
- Решить уравнение: \[ \lvert x\rvert + x + 2 = \lvert 2x + 2\rvert. \]
- Найти наименьшее значение выражения \[ x^2 + 2xy + 8y^2 \] при условии \(x - 2y = 4\).
- Решить неравенство: \[ \frac{\sqrt{x - 4}}{(x - 2)(x - 6)^2(x - 7)} \le 0. \]
- Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \[ \lvert y\rvert = x - 1. \]
- Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} y - x = 3,\\ x^2 y - xy^2 = 6. \end{cases} \]
- При каких значениях \(a\) уравнение
\[
(x - 5)(x - a)(x - 2a) = 0
\]
имеет ровно два различных корня?
- При каких значениях \(q\) сумма квадратов корней уравнения
\[
x^2 - 10x + q = 0
\]
равна 2?
- Решить относительно \(x\) уравнение:
\[
(k - 1)x^2 + (2k - 3)x - 2 = 0.
\]
- При каких натуральных \(m\) и \(n\) выполнено равенство
\[
\frac{2}{m - 1} + \frac{1}{n} = 3?
\]
- В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) равен \(100^\circ\).
\(M\) — точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(C\).
Найти угол \(\angle AMC\).
- Найти диагонали ромба, если одна из них в \(2{,}5\) раза больше другой,
а площадь ромба равна \(20\text{ см}^2\).
- Найти площадь четырёхугольника \(ABCD\), если
\(AB = 12\), \(BC = 8\), \(CD = 17\), \(DA = 9\) и \(BD = 12\).
- В равнобедренной трапеции, описанной около круга, основания равны
\(32\text{ см}\) и \(50\text{ см}\). Найти радиус вписанного круга.
- Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части \(16\text{ см}\)
и \(4\text{ см}\), а другая — пополам. Найти длину второй хорды.
- Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам \(1\) и \(4\). Найти все углы этого треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить:
\[
\frac{a\sqrt{a - 27}}{a + 3\sqrt{a + 9}} + 3.
\]
Решение: Введем замену:
Пусть \( \sqrt{a - 27} = u \Rightarrow a = u^2 + 27 \). Тогда знаменатель: \[ a + 3\sqrt{a + 9} = u^2 + 27 + 3\sqrt{u^2 + 36}. \] Подставим обратно в выражение: \[ \frac{(u^2 + 27)u}{u^2 + 27 + 3\sqrt{u^2 + 36}} + 3. \] Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( u^2 + 27 - 3\sqrt{u^2 + 36} \). После упрощений получим: \[ \sqrt{a + 9} \Rightarrow \text{Итог: } a + b = \sqrt{a + 9}. \]
Ответ: \( \sqrt{a + 9} \).
- Разложить на множители:
\[
2a^3 + 3a - 5.
\]
Решение: Подставим \( a = 1 \) в полином: \[ 2(1)^3 + 3(1) - 5 = 0. \] Значит, \( (a - 1) \) является множителем. Разделим полином на \( (a - 1) \): \[ 2a^3 + 0a^2 + 3a - 5 = (a - 1)(2a^2 + 2a + 5). \] Квадратный множитель не имеет действительных корней.
Ответ: \( (a - 1)(2a^2 + 2a + 5) \).
- Найти наибольшее двузначное \( n \), чтобы дробь:
\[
\frac{3n + 16}{n + 4}
\]
была сокращаемой.
Решение: Знаменатель и числитель должны иметь общий делитель \( d > 1 \). Используем алгоритм Евклида: \[ \text{НОД}(3n + 16, n + 4) = \text{НОД}(n + 4, 4) \Rightarrow d \text{ делит } 4. \] Максимальное \( n \), при котором \( n + 4 \) делится на 2: \( n = 98 \).
Ответ: 98.
- Сравнить:
\[
a = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} \quad \text{и} \quad b = \frac{2}{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}.
\]
Решение: Представим \( a \): \[ \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt5 - \sqrt3)^2} = \sqrt5 - \sqrt3. \] Представим \( b \): \[ \frac{2}{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}} = \frac{2}{\sqrt{(\sqrt5 + \sqrt3)^2}} = \sqrt5 - \sqrt3. \] Сравнение показало: \( a = b \).
Ответ: \( a = b \).
- Решить уравнение:
\[
\frac{2}{x + 1} = \frac{x - 5}{x^2 - x - 2}.
\]
Решение: Преобразуем уравнение: \[ \frac{2}{x + 1} - \frac{x - 5}{(x - 2)(x + 1)} = 0 \Rightarrow \frac{2(x - 2) - (x - 5)}{(x - 2)(x + 1)} = 0. \] Упростим числитель: \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \quad \text{(не входит в ОДЗ)}. \] Ответ: нет решений.
- Решить уравнение:
\[
|x| + x + 2 = |2x + 2|.
\]
Решение: Рассмотрим случаи:- \( x \ge 0 \: \Rightarrow 2x + 2 = 2x + 2 \: \Rightarrow x \ge 0 \).
- \( x < 0 \: \Rightarrow |x| = -x \): \[ -x + x + 2 = |2x + 2| \Rightarrow 2 = |2x + 2| \Rightarrow x = -2. \]
- Найти минимум выражения:
\[
x^2 + 2xy + 8y^2 \quad \text{при} \quad x - 2y = 4.
\]
Решение: Выразим \( x = 2y + 4 \): \[ (2y + 4)^2 + 2(2y + 4)y + 8y^2 = 16y^2 + 24y + 16. \] Минимум квадратичной функции достигается при \( y = -\frac{3}{4} \), минимальное значение 7.
Ответ: 7.
- Решить неравенство:
\[
\frac{\sqrt{x - 4}}{(x - 2)(x - 6)^2(x - 7)} \le 0.
\]
Решение: ОДЗ: \( x \ge 4, \; x \neq 6, 7 \). Знаменатель меняет знак: отрицателен на \( (6,7) \). Числитель неотрицателен.
Ответ: \( x = 4 \text{ или } 6 < x < 7 \).
- Изобразить множество точек \( |y| = x - 1 \).
Решение: График состоит из лучей: \[ y = x - 1 \quad \text{при} \quad x \ge 1, \quad y = -(x - 1) \quad \text{при} \quad x \ge 1. \] Ответ: две прямые с вершиной в точке \( (1, 0) \).
- Решить систему:
\[
\begin{cases}
y - x = 3,\\
x^2 y - xy^2 = 6.
\end{cases}
\]
Решение: Подставим \( y = x + 3 \): \[ x^3 + 3x^2 - x(x^2 + 6x + 9) = 6 \Rightarrow -3x^2 - 9x - 6 = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ или } -2. \] Ответ: \( (-1, 2) \), \( (-2, 1) \).
Материалы школы Юайти