8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2005 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2005
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2005 год


Вариант 1



  1. Упростить: \[ \frac{a\sqrt{a + 27}}{a - 3\sqrt{a + 9}} - 3. \]
  2. Разложить на множители: \[ 2a^3 + 3a^2 - 5. \]
  3. Найти наибольшее двузначное натуральное число \(n\) такое, что дробь \[ \frac{3n + 17}{n + 4} \] является сокращаемой.
  4. Сравнить числа \[ a = \sqrt{7 - 3\sqrt{5}} \quad\text{и}\quad b = \frac{2}{\sqrt{7 + 3\sqrt{5}}}. \]
  5. Решить уравнение: \[ \frac{2}{x - 1} = \frac{x + 5}{x^2 + x - 2}. \]
  6. Решить уравнение: \[ \lvert x\rvert - x + 2 = \lvert 2x - 2\rvert. \]
  7. Найти наименьшее значение выражения \[ x^2 - 2xy + 8y^2 \] при условии \(x + 2y = 4\).
  8. Решить неравенство: \[ \frac{\sqrt{x - 3}}{(x - 1)(x - 5)^2(x - 6)} \le 0. \]
  9. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \[ \lvert y\rvert = x + 1. \]
  10. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 3,\\ x^2y - xy^2 = -6. \end{cases} \]
  11. При каких значениях \(a\) уравнение \[ (x - 3)(x - a)(x - 2a) = 0 \] имеет ровно два различных корня?
  12. При каких значениях \(q\) сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 + 10x + q = 0 \] равна 2?
  13. Решить относительно \(x\) уравнение: \[ (k - 1)x^2 - (2k - 1)x + 2 = 0. \]
  14. При каких натуральных \(m\) и \(n\) выполнено равенство \[ \frac{2}{m} + \frac{1}{n - 1} = 3? \]
  15. В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) равен \(80^\circ\). \(M\) — точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(C\). Найти угол \(\angle AMC\).
  16. Найти диагонали ромба, если одна из них в \(1{,}5\) раза больше другой, а площадь ромба равна \(27\text{ см}^2\).
  17. Найти площадь четырёхугольника \(ABCD\), если \(AB = 5\), \(BC = 13\), \(CD = 9\), \(DA = 15\) и \(AC = 12\).
  18. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, основания равны \(36\text{ см}\) и \(100\text{ см}\). Найти радиус вписанного круга.
  19. Из двух пересекающихся хорд одна поделилась на части \(48\text{ см}\) и \(3\text{ см}\), а другая — пополам. Найти длину второй хорды.
  20. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам \(2\) и \(5\). Найти все углы треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить: \[ \frac{a\sqrt{a + 27}}{a - 3\sqrt{a + 9}} - 3. \] Решение:
    Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(a + 3\sqrt{a + 9}\): \[ \frac{a\sqrt{a+27}(a + 3\sqrt{a+9})}{(a)^2 - (3\sqrt{a+9})^2} - 3 = \frac{a\sqrt{a+27}(a + 3\sqrt{a+9})}{a^2 - 9(a + 9)} - 3. \] Упростим знаменатель: \[ a^2 - 9a - 81 = (a - 9)(a + 9). \] Заметим, что числитель: \[ a\sqrt{a + 27}(a + 3\sqrt{a +9}) = (a - 9)(a +9)\sqrt{a +27}. \] Таким образом, исходное выражение упрощается до: \[ \sqrt{a +9} - 3. \] Ответ: \(\sqrt{a +9} - 3\).
  2. Разложить на множители: \[ 2a^3 + 3a^2 - 5. \] Решение:
    Найдём рациональные корни. Подставим \(a = 1\): \[ 2(1)^3 + 3(1)^2 - 5 = 0 \Rightarrow a = 1 \text{ — корень}. \] Поделим многочлен на \((a - 1)\): \[ (a - 1)(2a^2 + 5a + 5). \] Квадратичный множитель не раскладывается дальше.
    Ответ: \((a - 1)(2a^2 + 5a + 5)\).
  3. Найти наибольшее двузначное натуральное число \(n\) такое, что дробь \(\dfrac{3n + 17}{n + 4}\) сокращаема.
    Решение:
    Пусть \(d = \text{НОД}(3n +17, n +4)\). Используя алгоритм Евклида: \[ d = \text{НОД}(n +4, 5) \Rightarrow d = 5 \Rightarrow n +4 \] Наибольшее двузначное \(n = 96\) (так как \(96 +4 = 100\)).
    Ответ: 96.
  4. Сравнить числа \(a = \sqrt{7 - 3\sqrt{5}}\) и \(b = \dfrac{2}{\sqrt{7 +3\sqrt{5}}}\).
    Решение:
    Возведём \(a\) и \(b\) в квадрат: \[ a^2 = 7 - 3\sqrt{5}, \quad b^2 = \dfrac{4}{7 +3\sqrt{5}} = \dfrac{4(7 -3\sqrt{5})}{(7 +3\sqrt{5})(7 -3\sqrt{5})} = 7 -3\sqrt{5}. \] Поскольку \(a\) и \(b\) положительны, получаем \(a = b\).
    Ответ: \(a = b\).
  5. Решить уравнение: \[ \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x +5}{x^2 +x -2}. \] Решение:
    Факторизуем знаменатель правой части: \[ x^2 +x -2 = (x -1)(x +2). \] Умножим обе части на \((x -1)(x +2)\), учитывая ОДЗ (\(x \neq1\), \(x \neq -2\)): \[ 2(x +2) = x +5 \Rightarrow x =1 \,\, (\text{не входит в ОДЗ}). \] Ответ: Нет решений.
  6. Решить уравнение: \[ |x| - x +2 = |2x -2|. \] Решение:
    Рассмотрим случаи \(x \geq0\) и \(x <0\):
    • Для \(x \geq0\):
      Уравнение сводится к \(2 = |2x -2|\), решения \(x=0\) и \(x=2\).
    • Для \(x <0\):
      Уравнение тождественно выполняется, так как \(|2x -2| = -2x -2\).
      Все \(x <0\) — решения.
    Ответ: \(x \in (-\infty;0] \cup \{2\}\).
  7. Найти наименьшее значение выражения \(x^2 -2xy +8y^2\) при условии \(x +2y =4\).
    Решение:
    Подставим \(x =4 -2y\) в выражение: \[ (4 -2y)^2 -2(4 -2y)y +8y^2 =16y^2 -24y +16. \] Минимум квадратного трёхчлена при \(y = \dfrac{24}{32} =0.75\): \[ 16(0.75)^2 -24(0.75) +16 =7. \] Ответ: 7.
  8. Решить неравенство: \[ \dfrac{\sqrt{x -3}}{(x -1)(x -5)^2(x -6)} \leq0. \] Решение:
    Область определения: \(x \geq3\), \(x \neq5\), \(x \neq6\). Определим знаки:
    • Числитель \(\sqrt{x -3} \geq0\).
    • Знаменатель отрицателен при \(x \in [3;5) \cup (5;6)\).
      Ответ: \(x \in [3;5) \cup (5;6)\).
    • Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \(|y| =x +1\).
      Ответ: График состоит из двух лучей: \(y =x +1\) для \(x \geq-1\) и \(y = -x -1\) для \(x \leq-1\), вершина в точке \((-1;0)\).
    • Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y =3, \\ x^2y -xy^2 = -6. \end{cases} \] Решение:
      Из первого уравнения \(x =y +3\). Подставим во второе: \[ (y +3)^2 y - (y +3)y^2 =3 y^2 +9y =-6 \Rightarrow y =-1 \Rightarrow x=2; \quad y=-2 \Rightarrow x=1. \] Ответ: \((2;-1)\), \((1;-2)\).
    • При каких значениях \(a\) уравнение \((x -3)(x -a)(x -2a) =0\) имеет 2 различных корня?
      Решение:
      Корни: \(3\), \(a\), \(2a\). Условие нарушается если:
      • \(a=3\) (корни \(3\), \(3\), \(6\)).
      • \(a=0\) (корни \(3\), \(0\), \(0\)).
      • \(3=2a \Rightarrow a=1.5\) (корни \(3\), \(1.5\), \(3\)).
      Ответ: \(a=0\); \(1.5\); \(3\).
    • При каких значениях \(q\) сумма квадратов корней уравнения \(x^2 +10x +q =0\) равна 2?
      Решение:
      Корни \(x_1 +x_2 =-10\), \(x_1x_2 =q\). Сумма квадратов: \[ x_1^2 +x_2^2 =100 -2q =2 \Rightarrow q=49. \] Однако дискриминант должен быть неотрицателен: \(100 -4q \geq0 \Rightarrow q\leq25\).
      Ответ: Невозможно.
    • Решить относительно \(x\) уравнение \((k -1)x^2 - (2k -1)x +2 =0\).
      Решение:
      Если \(k \neq1\), корни \(x=2\) и \(x=\dfrac{1}{k -1}\). При \(k=1\) корень \(x=2\).
      Ответ: для \(k \neq1\): \(x=2\); \(x=\dfrac{1}{k -1}\); для \(k=1\): \(x=2\).
    • При каких натуральных \(m\) и \(n\) выполнено равенство \(\dfrac{2}{m} +\dfrac{1}{n -1}=3\).
      Решение:
      Преобразуем уравнение к виду \(n =1 +\dfrac{1}{3 -\dfrac{2}{m}}\). Оно выполнимо только при \(m=1\), \(n=2\).
      Ответ: \(m=1\); \(n=2\).
    • В треугольнике \(ABC\) угол \(B =80^\circ\). М — точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(C\). Найти \(\angle AMC\).
      Ответ: \(130^\circ\).
    • Найти диагонали ромба, если одна из них в \(1.5\) раза больше другой, а площадь \(27\text{ см}^2\).
      Ответ: \(6\) см и \(9\) см.
    • Найти площадь четырёхугольника \(ABCD\).
      Ответ: Площадь каждого треугольника \(ABC\) и \(ADC\) равна \(30\) и \(54\) соответственно. Общая площадь: \(84\).
    • Найти радиус вписанного круга в равнобедренной трапеции.
      Ответ: \(30\) см.
    • Найти длину хорды, разделённой пополам.
      Ответ: Длина хорды \(24\) см.
    • Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны \(2:5\).
      Ответ: Возможные углы: \(75^\circ\), \(75^\circ\), \(30^\circ\) или \(100^\circ\), \(40^\circ\), \(40^\circ\).
Материалы школы Юайти