Лицей №239 из 8 в 9 класс 2003 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2003 год
Вариант 1
- Упростить: \[ \frac{a + 1}{a^4 + a^3 + a^2} \;:\; \frac{1}{a^5 - a^2}. \]
- Разложить на множители: \[ a^3 + 2a - 3. \]
- Вычислить: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\;-\;\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}. \]
- Положительное число \(a\) составляет 200 % от своего квадрата. Найти число \(a\).
- Решить в целых числах уравнение: \[ (x - 2)\,(y + 3) = 2. \]
- При каких целых \(n\) число \[ \frac{4n - 5}{2n - 1} \] будет целым?
- Решить уравнение: \[ \lvert 3x + 8\rvert = x. \]
- Решить неравенство: \[ \lvert x + 3\rvert \;-\;\lvert 2x - 4\rvert < 5. \]
- Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 - 5x + 6}{\lvert x - 2\rvert}. \]
- Решить уравнение: \[ \frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x - 3} = 0. \]
- Решить неравенство: \[ \frac{x^2 + 3}{x + 1} \le 2. \]
- Решить уравнение: \[ (x - 1)^4 \;-\; x^2 \;+\; 2x \;-\; 13 = 0. \]
- При каких \(k\) уравнение \[ (k - 2)x^2 + 2(k - 1)x + k = 0 \] имеет единственный корень?
- Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен \(120^\circ\). Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найти основание треугольника.
- Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две боковые стороны равны 6 см, а больший угол при основании равен \(135^\circ\).
- Найти углы ромба, если его диагонали равны \(2\sqrt{3}\) и \(2\).
- К окружности проведены касательная и секущая, проходящая через центр окружности. Длина касательной вдвое меньше длины секущей. Найти отношение длины касательной к длине радиуса.
- Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\), причём \(BM:MC = 3:1\). Выразить вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AB}\).
- Сколько различных диагоналей можно провести в выпуклом семиугольнике?
- На прямой \(\ell\) найти точку \(C\), чтобы сумма расстояний \(AC + BC\) была наименьшей.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить: \[ \frac{a + 1}{a^4 + a^3 + a^2} : \frac{1}{a^5 - a^2} \] Решение: Преобразуем деление в умножение на обратную дробь: \[ \frac{a + 1}{a^2(a^2 + a + 1)} \cdot a^2(a - 1)(a^2 + a + 1) \] После сокращения получаем: \[ (a + 1)(a - 1) = a^2 - 1 \] Ответ: \( a^2 - 1 \).
- Разложить на множители: \[ a^3 + 2a - 3 \] Решение: Подбираем корень \( a = 1 \): \[ a^3 + 2a - 3 = (a - 1)(a^2 + a + 3) \] Ответ: \( (a - 1)(a^2 + a + 3) \).
- Вычислить: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \] Решение: Представим под корнями квадраты: \[ \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1) = 2 \] Ответ: 2.
- Положительное число \(a\) составляет 200 % от своего квадрата. Найти число \(a\). Решение: Составляем уравнение: \[ a = 2a^2 \quad \Rightarrow \quad 2a^2 - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a(2a - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0,5. \] Ответ: 0,5.
- Решить в целых числах уравнение: \[ (x - 2)(y + 3) = 2 \] Решение: Разложим 2 на целые множители: \[ \begin{cases} x - 2 = 1 \\ y + 3 = 2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad (3; -1) \quad \text{и аналогично для других пар:} \quad (4; -2), (1; -5), (0; -4). \] Ответ: \((3; -1), (4; -2), (1; -5), (0; -4)\).
- При каких целых \(n\) число \(\frac{4n - 5}{2n - 1}\) целое? Решение: Преобразуем: \[ \frac{4n - 5}{2n - 1} = 2 + \frac{-3}{2n - 1} \] Знаменатель должен делит \(-3\): \[ 2n - 1 \in \{\pm1, \pm3\} \quad \Rightarrow \quad n \in \{-1, 0, 1, 2\}. \] Ответ: \( -1, 0, 1, 2 \).
- Решить уравнение: \[ |3x + 8| = x \] Решение: По определению модуля \(x \ge 0\), но подстановка показывает отсутствие решений: \[ 3x + 8 = x \quad \Rightarrow \quad 2x = -8 \quad (\text{не подходит}). \] Ответ: Нет решений.
- Решить неравенство:
\[
|x + 3| - |2x - 4| < 5
\]
Решение: Разбиваем на интервалы:
\[
x < -3:\ (-x-3) - (4 - 2x) < 5 \quad \Rightarrow \quad x < 12
\]
Остальные интервалы также удовлетворяют, решение любое \(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \( x \in \mathbb{R} \).
- Построить график функции:
\[
y = \frac{x^2 - 5x + 6}{|x - 2|}
\]
Решение: Разложим числитель и упростим:
\[
y = \begin{cases}
x - 3, & x > 2 \\
3 - x, & x < 2
\end{cases}
\]
Ответ: График состоит из двух прямых с выколотой точкой \(x=2\).
- Решить уравнение: \[ \frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x - 3} = 0. \] Решение: Группируем и преобразуем: \[ \frac{2x}{x^2 - 25} + \frac{2x}{x^2 - 9} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \ \pm\sqrt{17} \] Ответ: \(0, \pm\sqrt{17}\).
- Решить неравенство: \[ \frac{x^2 + 3}{x + 1} \le 2 \] Решение: Приводим к виду: \[ \frac{(x - 1)^2}{x + 1} \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -1) \cup \{1\} \] Ответ: \( (-\infty; -1) \cup \{1\} \).
- Решить уравнение: \[ (x - 1)^4 - x^2 + 2x - 13 = 0 \] Решение: Раскрываем и находим корни: \[ x = 3, \ x = -1 \] Ответ: \(3, -1\).
- При каких \(k\) уравнение: \[ (k - 2)x^2 + 2(k - 1)x + k = 0 \] имеет единственный корень? Решение: Либо коэффициент при \(x^2=0\) (k=2), либо дискриминант равен нулю (DG): Дискриминант всегда равен 4, следовательно, только \(k=2\). Ответ: \(k=2\).
- Угол при вершине равнобедренного треугольника равен \(120^\circ\). Высота к боковой стороне равна 9 см. Найти основание. Решение: Через площадь и теорему косинусов: \[ BC = 18\ \text{см}. \] Ответ: 18 см.
- Найти площадь прямоугольной трапеции с боковыми сторонами 6 см, угол 135°. Решение: Используя разложение оснований и высоты, площадь равна 54 см². Ответ: 54 см².
- Найти углы ромба с диагоналями \(2\sqrt{3}\) и 2. Решение: Углы равны \(30^\circ\) и \(150^\circ\). Ответ: \(30^\circ, 150^\circ\).
- Касательная и секущая: отношение длины касательной к радиусу равно \(\sqrt{3}\). Ответ: \(\sqrt{3}\).
- Выразить вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AB}\). Решение: По правилу деления отрезка: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} \] Ответ: \(\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\).
- Число диагоналей в семиугольнике: \(\frac{7 \cdot 4}{2} = 14\). Ответ: 14.
- Найти точку \(C\) на прямой \(\ell\) для минимума \(AC + BC\). Ответ: Построить отражение точки \(B\) и провести прямую \(A B'\).
Материалы школы Юайти