8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2002 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2002
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2002 год


Вариант 2



  1. Найти все натуральные \(n\), при которых число \[ \frac{3n + 1}{\,n - 1\,} \] является целым.
  2. Вычислить: \[ 4359{\tfrac{239}{9876}}\cdot 4356{\tfrac{239}{9876}} \;-\; 4358{\tfrac{239}{9876}}\cdot 4357{\tfrac{239}{9876}}. \]
  3. Упростить выражение: \[ \Bigl(\sqrt{a} + \frac{b}{\sqrt{a + \sqrt{b}}}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(1 + \frac{\sqrt{b^3}}{\,a\sqrt{a} - b\sqrt{b}\,}\Bigr) \;\cdot\; \bigl(\sqrt{a} - \sqrt{b}\bigr). \]
  4. Решить уравнение: \[ \frac{3}{x - 2} \;-\;\frac{4}{x - 1} \;=\; \frac{1}{x - 4} \;-\;\frac{2}{x - 3}. \]
  5. Решить неравенство: \[ \bigl\lvert 3x + 7\bigr\rvert < x + 3. \]
  6. Решить неравенство: \[ \sqrt{x}\,\bigl(1 - x\bigr)\,\bigl\lvert 2 - x\bigr\rvert\,(3 - x)^{2}\ge 0. \]
  7. Построить график функции: \[ y = \frac{2x^{2} + 5x + 2}{x + 2}\,\cdot (x - 1). \]
  8. Доказать, что если \(c\cdot(a - b + c)<0\), то квадратный трёхчлен \[ ax^{2} + bx + c \] имеет корни.
  9. В магазине продаются раки: маленькие — по 5 рублей, большие — по 8 рублей. Сколько маленьких и больших раков можно купить на 116 рублей ровно?
  10. Средняя линия трапеции равна 8 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 см. Найти основания трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найти все натуральные \(n\), при которых число \(\frac{3n + 1}{\,n - 1\,}\) является целым.
    Решение: Преобразуем выражение:
    \(\frac{3n + 1}{n - 1} = 3 + \frac{4}{n - 1}\).
    Для целости числа необходимо, чтобы \(n - 1\) делило 4. Натуральные делители 4: 1, 2, 4. Тогда \(n - 1 = 1 \rightarrow n = 2\); \(n - 1 = 2 \rightarrow n = 3\); \(n - 1 = 4 \rightarrow n = 5\).
    Проверка:
    \(n=2 \rightarrow \frac{7}{1}=7\);
    \(n=3 \rightarrow \frac{10}{2}=5\);
    \(n=5 \rightarrow \frac{16}{4}=4\) — целые числа.
    Ответ: \(n = 2,\; 3,\; 5\).
  2. Вычислить: \[ 4359{\tfrac{239}{9876}}\cdot 4356{\tfrac{239}{9876}} - 4358{\tfrac{239}{9876}}\cdot 4357{\tfrac{239}{9876}}. \]
    Решение: Обозначим \(a = 4358{\tfrac{239}{9876}}\). Тогда числа в выражении принимают вид \((a + 1)(a - 2) - a(a - 1)\).
    Раскроем скобки:
    \((a + 1)(a - 2) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2\);
    \(a(a - 1) = a^2 - a\);
    Тогда разность равна \(a^2 - a - 2 - (a^2 - a) = -2\).
    Ответ: \(-2\).

  3. Упростить выражение: \[ \Bigl(\sqrt{a} + \frac{b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\Bigr) \cdot \Bigl(1 + \frac{\sqrt{b^3}}{\,a\sqrt{a} - b\sqrt{b}\,}\Bigr) \cdot \bigl(\sqrt{a} - \sqrt{b}\bigr). \]
    Решение: Упростим последовательно:
    1. Первый множитель: умножим на \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\):
    \((\sqrt{a} + \frac{b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 + \frac{b(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = a - b + b \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\).
    2. Во втором множителе заметим, что \(a\sqrt{a} - b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)\). Тогда:
    \(1 + \frac{\sqrt{b^3}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b) + \sqrt{b^3}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}\).
    После преобразований выражение сокращается до \(\frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\). Общий результат умножения всех множителей дает \(a - b\).
    Ответ: \(a - b\).
  4. Решить уравнение: \[ \frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x - 1} = \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{x - 3}. \]
    Решение: Перенесём все члены в левую часть:
    \(\frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x - 1} - \frac{1}{x - 4} + \frac{2}{x - 3} = 0\).
    Приведём дроби к общему знаменателю \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\). После упрощения числитель равен \((x^2 - 7x + 14)\). Получаем уравнение \(x^2 - 7x + 14 = 0\). Дискриминант \(D = 49 - 56 = -7\), корней нет. Проверим ОДЗ: \(x \neq 1,2,3,4\). Ответов нет.
    Ответ: Решений нет.

  5. Решить неравенство: \[ \bigl\lvert 3x + 7\bigr\rvert < x + 3. \]
    Решение: Рассмотрим два случая:
    1. \(3x + 7 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{7}{3}\). Тогда неравенство: \(3x + 7 < x + 3 \rightarrow 2x < -4 \rightarrow x < -2\). С учётом интервала: \(-\frac{7}{3} \leq x < -2\).
    2. \(3x + 7 < 0 \rightarrow x < -\frac{7}{3}\). Тогда неравенство: \(-3x - 7 < x + 3 \rightarrow -4x -2,5\). С учётом интервала: \(-2,5 < x < -\frac{7}{3}\).
    Объединяя оба случая с учётом \(x + 3 > 0 \rightarrow x > -3\): \(-2,5 < x < -2\).
    Ответ: \(x \in (-2.5; -2)\).

  6. Решить неравенство: \[ \sqrt{x}\,\bigl(1 - x\bigr)\,\bigl\lvert 2 - x\bigr\rvert\,(3 - x)^{2}\geq 0. \]
    Решение: Рассмотрим знаки множителей на области \(x \geq 0\):
    1. \(\sqrt{x} \geq 0\) при \(x\geq 0\). 2. \(1 - x \geq 0\) при \(x \leq 1\). 3. \(|2 - x| \geq 0\) всегда. 4. \((3 - x)^2 \geq 0\) всегда.
    Произведение ≥0, если количество отрицательных множителей чётно. Основное ограничение: \(1 - x \geq 0\). Также, точки \(x = 0\), \(x =2\), \(x=3\) обращают произведение в ноль. Решение: \(x \in [0; 1] \cup \{2, 3\}\).
    Ответ: \(x \in [0; 1] \cup \{2, 3\}\).

  7. Построить график функции: \[ y = \frac{2x^{2} + 5x + 2}{x + 2}\,\cdot (x - 1). \]
    Решение: Разложим числитель дроби:
    \(2x^2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)\). Тогда выражение упрощается до:
    \(\frac{(x + 2)(2x + 1)}{x + 2} \cdot (x - 1) = (2x + 1)(x - 1) = 2x^2 - x - 1\) при \(x \neq -2\). График — парабола \(y = 2x^2 - x -1\) с выколотой точкой при \(x = -2\).
    Ответ: График параболы \(y = 2x^2 - x -1\) с разрывом при \(x = -2\).

  8. Доказать, что если \(c\cdot(a - b + c)<0\), то квадратный трёхчлен \(ax^{2} + bx + c\) имеет корни.
    Решение: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Условие \(c(a - b + c) < 0\) означает:
    1. Если \(c > 0\), то \(a - b + c a + c\). Тогда \(D = b^2 -4ac > (a + c)^2 -4ac = a^2 -2ac + c^2 = (a - c)^2 \geq 0\). 2. Если \(c 0 \rightarrow b b^2\) при \(ac 0\).
    В обоих случаях \(D >0\), следовательно корни существуют.

  9. Сколько маленьких и больших раков можно купить на 116 рублей ровно?
    Решение: Пусть \(x\) — количество маленьких раков (5 руб.), \(y\) — больших (8 руб.). Уравнение: \(5x + 8y = 116\).
    Перебираем \(y \in \mathbb{N}\): - \(y =12 \rightarrow x =4\); - \(y =7 \rightarrow x =12\); - \(y =2 \rightarrow x =20\).
    Ответ: \((4,12),\;(12,7),\;(20,2)\).

  10. Средняя линия трапеции равна 8 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 см. Найти основания трапеции.
    Решение: Средняя линия \(m = \frac{a + b}{2} =8 \rightarrow a + b =16\). Обозначим отрезки средней линии как \(x\) и \(x +2\). По свойству трапеции:
    \(x = \frac{a}{2}\), \(x +2 = \frac{b}{2}\) ⇒ \(a =2x\), \(b =2x +4\).
    Тогда \(2x +2x +4 =16 \rightarrow 4x =12 \rightarrow x =3\). Основания: \(a=6\), \(b=10\).
    Ответ: \(6\) см и \(10\) см.
Материалы школы Юайти