Лицей №239 из 8 в 9 класс 2002 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2002 год

Вариант 1

1. Найти все натуральные \(n\), при которых число \[ \frac{3n - 1}{n + 1} \] является целым.
2. Вычислить: \[ 3458\frac{239}{9876}\cdot 3457{\frac{239}{9876}} \;-\; 3459{\frac{239}{9876}}\cdot 3456{\frac{239}{9876}}. \]
3. Упростить выражение: \[ \Bigl(\sqrt{a} + \frac{b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\Bigr) \cdot \Bigl(1 - \frac{\sqrt{b^3}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}\Bigr) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}). \]
4. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x - 5} - \frac{3}{x - 3} \;=\; \frac{2}{x - 4} - \frac{4}{x - 2}. \]
5. Решить неравенство: \[ \lvert 2x + 5\rvert < x + 4. \]
6. Решить неравенство: \[ \sqrt{x}\,\lvert 1 - x\rvert\,(2 - x)\,(3 - x^2)\le 0. \]
7. Построить график функции: \[ y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2}\,\cdot (x + 1). \]
8. Доказать, что если \(c\cdot(a + b + c) < 0\), то квадратный трёхчлен \[ ax^2 + bx + c \] имеет корни.
9. В магазине продаются раки: маленькие — по 5 рублей, большие — по 7 рублей. Сколько маленьких и больших раков можно купить на 101 рубль ровно?
10. Средняя линия трапеции делится двумя диагоналями на три равные части. Найти отношение между основаниями трапеции.

Решения задач

1. Найти все натуральные \(n\), при которых число \(\frac{3n - 1}{n + 1}\) является целым.
   Решение: $\frac{3n - 1}{n + 1} = 3 - \frac{4}{n + 1}$. Для целости выражения $\frac{4}{n + 1}$ должно быть целым. Тогда $n + 1$ — делитель 4. Натуральные делители 4: 1, 2, 4.
   Откуда $n + 1 = 1 \implies n = 0$ (не натуральное),
   $n + 1 = 2 \implies n = 1$,
   $n + 1 = 4 \implies n = 3$.
   Проверка: \(n = 1 \implies \frac{2}{2} = 1\); \(n = 3 \implies \frac{8}{4} = 2\).
   Ответ: 1 и 3.
2. Вычислить: \[ 3458\frac{239}{9876} \cdot 3457\frac{239}{9876} - 3459\frac{239}{9876} \cdot 3456\frac{239}{9876} \]
   Решение: Обозначим \(x = 3457\frac{239}{9876}\). Тогда выражение принимает вид:
   \((x + 1) \cdot x - (x + 2) \cdot (x - 1)\)
   Раскроем скобки: \(x^2 + x - (x^2 + x - 2) = x^2 + x - x^2 - x + 2 = 2\).
   Ответ: 2.
3. Упростить выражение: \[ \left(\sqrt{a} + \frac{b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right) \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{b^3}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}\right) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) \]
   Решение: Преобразуем первую скобку:
   \(\frac{a - b + b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\).
   Во вторую скобку подставим сумму кубов:
   \(1 - \frac{b\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3} = 1 - \frac{b\sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\).
   Перемножим все части:
   \(\frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \frac{a^2}{a - b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \frac{a^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}\).
   Ответ: \(\frac{a^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}\).
4. Решить уравнение: \[ \frac{1}{x - 5} - \frac{3}{x - 3} = \frac{2}{x - 4} - \frac{4}{x - 2} \]
   Решение: Перенесем все слагаемые влево:
   \(\frac{1}{x - 5} - \frac{3}{x - 3} - \frac{2}{x - 4} + \frac{4}{x - 2} = 0\).
   Общий знаменатель: \((x - 5)(x - 3)(x - 4)(x - 2)\). После приведения и сокращений получим:
   \(x(3x - 13) = 0 \implies x = 0\) или \(x = \frac{13}{3}\).
   Проверка ОДЗ: Все знаменатели ≠ 0.
   \(x = \frac{13}{3}\) приводит к x - 4 ≈ 1.67 ≠ 0. Сокращение показывает, ответы: \(x = 0\) и \(x = \frac{13}{3}\).
   Ответ: 0; \(\frac{13}{3}\).
5. Решить неравенство: \[ |2x + 5| < x + 4 \]
   Решение: Двойное неравенство: \(-x - 4 < 2x + 5 < x + 4\). Рассмотрим две системы:
   1. \(2x + 5 < x + 4 \implies x < -1\). При \(2x + 5 \geq 0 \implies x \geq -2.5\). Решение: \([-2.5; -1)\).
   2. \(2x + 5 > -x - 4 \implies 3x > -9 \implies x > -3\). При \(2x + 5 < 0 \implies x < -2.5\). Решение: \((-3; -2.5)\).
   Объединение: \((-3; -1)\).
   Ответ: \(x \in (-3; -1)\).
6. Решить неравенство: \[ \sqrt{x}\,|1 - x|\,(2 - x)\,(3 - x^2) \leq 0 \]
   Решение: ОДЗ: \(x \geq 0\).
   Метод интервалов при \(x \geq 0\):
   Корни множителей: \(x = 0\); \(x = 1\); \(x = 2\); \(x = \sqrt{3} ≈ 1.732\). Знаки на интервалах: \[ [0;1) \cup [1; \sqrt{3}) \cup [\sqrt{3}; 2] \cup (2; +\infty) \]
   Проверка знака произведения показывает, неравенство выполняется при \(x \in \{0\} \cup [1; 2] \cup [\sqrt{3}; +\infty)\).
   Ответ: \(x \in \{0\} \cup [1; 2] \cup [\sqrt{3}; +\infty)\).
7. Построить график функции: \[ y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2} \cdot (x + 1) \]
   Решение: Разложим числитель дроби:
   \(2x^2 - 5x + 2 = (2x -1)(x - 2)\). Тогда функция:
   \(y = \frac{(2x -1)(x - 2)}{x - 2} \cdot (x + 1) = (2x - 1)(x + 1)\) с исключением точки \(x = 2\).
   Упрощенная функция: парабола \(y = 2x^2 + x - 1\) с выколотой точкой \((2; 9)\).
8. Доказать, что если \(c(a + b + c) < 0\), то квадратный трехчлен \(ax^2 + bx + c\) имеет корни.
   Решение: Рассмотрим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Необходимо показать, что \(D \geq 0\).
   Из условия \(c(a + b + c) < 0 \implies a + b + c 0\), или \(a + b + c > 0\) если \(c < 0\).
   Пусть \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Значение \(f(-1) = a - b + c\). Анализ знаков краевых значений доказательством от противного приводит к существованию корней.
9. Сколько маленьких и больших раков можно купить на 101 рубль ровно?
   Решение: Уравнение \(5k + 7m = 101\). Решаем в натуральных числах.
   Перебор по m: выражение \(101 - 7m\) делится на 5. Находим m ≡ 3 mod5.
   Решения: \(m =3\): \(k=16\); \(m=8\): \(k=9\); \(m=13\): \(k=2\).
   Ответ: (16 маленьких, 3 больших); (9 маленьких, 8 больших); (2 маленьких, 13 больших).
10. Средняя линия трапеции делится диагоналями на три равные части. Найти отношение между основаниями.
    Решение: Пусть основания трапеции \(a\) и \(b\), средняя линия \(m = \frac{a + b}{2}\).
    Диагонали делят среднюю линию на трети длины \(\frac{m}{3}\). Используя подобие треугольников, найдем отношение:
    \(2(a - b) = \frac{a + b}{3} \implies \frac{a}{b} = 5\).
    Ответ: \(5 : 1\).