Лицей №239 из 8 в 9 класс 2001 год вариант 2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2001 год

Вариант 2

1. Вычислить: \[ \frac{\bigl(2\tfrac{2}{9} : 7\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{6}\bigr)\cdot 0,23} {2\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{2}}. \]
2. Сократить дробь: \[ \frac{b^4 + 64}{(b - 2)^2 + 4}. \]
3. Упростить: \[ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \;+\; \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}. \]
4. Решить уравнение: \[ (x + 2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0. \]
5. В уравнении \(x^2 - 2x + a = 0\) квадрат разности корней равен 16. Найти \(a\).
6. Решить уравнение: \[ \lvert x - 3\rvert + \lvert x - 5\rvert = 2. \]
7. Найти область определения функции \[ f(x) = \sqrt{\frac{\lvert x - 1\rvert \,(x + 3)\,(x^2 + 8x + 15)}{x^2 + x - 2}}. \]
8. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано \(\tfrac{2}{3}\) поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором в отдельности, если первым трактором это можно сделать на 5 дней быстрее, чем вторым?
9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM = 8\) см, а расстояние от середины катета \(AC\) до гипотенузы \(AB\) равно 2 см. Найти площадь треугольника \(ABC\).
10. Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 - 2x + 1}{\lvert x - 1\rvert}. \]

Решения задач

1. Вычислить: \[ \frac{\bigl(2\tfrac{2}{9} : 7\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{6}\bigr)\cdot 0,23}{2\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{2}}. \] Решение: \[ 2\tfrac{2}{9} = \tfrac{20}{9}, \quad 7\tfrac{1}{3} = \tfrac{22}{3}, \quad 2\tfrac{1}{8} = \tfrac{17}{8} \] \[ \tfrac{20}{9} : \tfrac{22}{3} = \tfrac{20}{9} \cdot \tfrac{3}{22} = \tfrac{10}{33} \] \[ \tfrac{10}{33} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{20}{66} - \tfrac{11}{66} = \tfrac{9}{66} = \tfrac{3}{22} \] \[ \tfrac{3}{22} \cdot 0,23 = \tfrac{3 \cdot 23}{22 \cdot 100} = \tfrac{69}{2200} \] \[ \tfrac{17}{8} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{17 + 4}{8} = \tfrac{21}{8} \] \[ \tfrac{69}{2200} : \tfrac{21}{8} = \tfrac{69 \cdot 8}{2200 \cdot 21} = \tfrac{184}{15400} = \tfrac{23}{1925} \] Ответ: \(\dfrac{23}{1925}\).
   
   
2. Сократить дробь: \[ \frac{b^4 + 64}{(b - 2)^2 + 4}. \] Решение: \[ b^4 + 64 = (b^2 - 4b + 8)(b^2 + 4b + 8), \quad (b - 2)^2 + 4 = b^2 - 4b + 8 \] \[ \frac{(b^2 - 4b + 8)(b^2 + 4b + 8)}{b^2 - 4b + 8} = b^2 + 4b + 8 \] Ответ: \(b^2 + 4b + 8\).
   
   
3. Упростить: \[ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \;+\; \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}. \] Решение: \[ (\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}})^2 = 28 + 2\sqrt{(14)^2 - (6\sqrt{5})^2} = 28 + 8 = 36 \] \[ \sqrt{36} = 6 \] Ответ: 6.
   
   
4. Решить уравнение: \[ (x + 2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0. \] Решение: Замена \(y = x + 2\): \[ y^4 + 2(y - 2)^2 + 8(y - 2) - 16 = 0 \Rightarrow y^4 + 2y^2 - 24 = 0 \] \[ y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 \Rightarrow x = 0, -4 \] Ответ: \(x = 0; \quad x = -4\).
   
   
5. В уравнении \(x^2 - 2x + a = 0\) квадрат разности корней равен 16. Найти \(a\). Решение: \[ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4 - 4a = 16 \Rightarrow a = -3 \] Ответ: \(-3\).
   
   
6. Решить уравнение: \[ \lvert x - 3\rvert + \lvert x - 5\rvert = 2. \] Решение: Рассмотрим случаи:
   • \(x < 3\): \(8 - 2x = 2 \Rightarrow x = 3\) (нет решений)
   • \(3 \le x \le 5\): Уравнение верно для всех \(x\)
   • \(x > 5\): \(2x - 8 = 2 \Rightarrow x = 5\) (нет решений)
   Ответ: \(x \in [3, 5]\).
   
   
7. Найти область определения функции \[ f(x) = \sqrt{\frac{\lvert x - 1\rvert \,(x + 3)\,(x^2 + 8x + 15)}{x^2 + x - 2}}. \] Решение: \[ \frac{|x-1|(x+3)(x+5)(x+3)}{(x+2)(x-1)} \ge 0, \quad x \neq -2, 1 \] \[ \text{Допустимые значения: } x \in [-5, -2) \cup (1, \infty) \] Ответ: \([-5, -2) \cup (1, +\infty)\).
   
   
8. За 4 дня совместной работы двух тракторов вспахано \(\tfrac{2}{3}\) поля. Найти время каждого. Решение: Пусть первый трактор работает за \(x\) дней, второй — \(x + 5\): \[ 4\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = \frac{2}{3} \Rightarrow x^2 -7x -30 = 0 \Rightarrow x = 10 \] Ответ: 10 дней и 15 дней.
   
   
9. Найти площадь треугольника \(ABC\). Решение: Медиана \(CM = 8 \Rightarrow AB = 16\). Расстояние от середины \(AC\) до \(AB\): \[ \frac{AC \cdot BC}{2 \cdot 16} = 2 \Rightarrow AC \cdot BC = 64 \Rightarrow \text{Площадь} = 32 \text{ см}^2. \] Ответ: 32 см².
   
   
10. Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 - 2x + 1}{\lvert x - 1\rvert}. \] Решение: Упростим: \[ y = \frac{(x - 1)^2}{|x - 1|} = |x - 1|, \quad x \neq 1 \] График — две прямые \(y = x - 1\) (при \(x > 1\)) и \(y = 1 - x\) (при \(x < 1\)).