8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2001 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2001
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239


2001 год


Вариант 1



  1. Вычислить: \[ \frac{\bigl(\tfrac{1}{4} - \tfrac{5}{24}\bigr)\cdot 8 - \tfrac{1}{3}} {1{,}85 - 1{,}62 : 0{,}9}. \]
  2. Сократить дробь: \[ \frac{a^4 + 4}{(a+1)^2 + 1}. \]
  3. Упростить: \[ \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}. \]
  4. Решить уравнение: \[ (x - 1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0. \]
  5. В уравнении \(x^2 - 4x + a = 0\) сумма квадратов корней равна 16. Найти \(a\).
  6. Решить уравнение: \[ |x - 1| + |x - 2| = 1. \]
  7. Найти область определения функции \[ f(x) = \sqrt{\frac{\lvert x-3\rvert\,(x+4)\,(x^2 + 9x + 20)}{x^2 - x - 6}}. \]
  8. При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 2 ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на 2 ч быстрее другого?
  9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM = 12\) см, а расстояние от середины катета \(AC\) до гипотенузы \(AB\) равно 3 см. Найти площадь треугольника \(ABC\).
  10. Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 + 2x + 1}{\lvert x + 1\rvert}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач





  1. Вычислить: \[ \frac{\bigl(\tfrac{1}{4} - \tfrac{5}{24}\bigr)\cdot 8 - \tfrac{1}{3}} {1{,}85 - 1{,}62 : 0{,}9} \]
    Решение: Найдем числитель: \[ \left(\frac{1}{4} - \frac{5}{24}\right) \cdot 8 - \frac{1}{3} = \left(\frac{6}{24} - \frac{5}{24}\right) \cdot 8 - \frac{1}{3} = \frac{1}{24} \cdot 8 - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 \] Найдем знаменатель: \[ 1{,}85 - 1{,}62 : 0{,}9 = 1{,}85 - (1{,}62 : 0{,}9) = 1{,}85 - 1{,}8 = 0{,}05 \] Итоговое значение: \[ \frac{0}{0{,}05} = 0 \] Ответ: 0.

  2. Сократить дробь: \[ \frac{a^4 + 4}{(a+1)^2 + 1} \]
    Решение: Преобразуем числитель по формуле Софи Жермен: \[ a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2 = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2) \] Знаменатель: \[ (a + 1)^2 + 1 = a^2 + 2a + 2 \] Сокращаем общий множитель: \[ \frac{(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)}{a^2 + 2a + 2} = a^2 - 2a + 2 \] Ответ: \(a^2 - 2a + 2\).

  3. Упростить: \[ \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} \]
    Решение: Представим корни в виде квадратов сумм: \[ \sqrt{(5 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(5 + \sqrt{3})^2} = |5-\sqrt{3}| + |5+\sqrt{3}| = (5-\sqrt{3}) + (5+\sqrt{3}) = 10 \] Ответ: 10.

  4. Решить уравнение: \[ (x - 1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0 \]
    Решение: Выполним замену \( t = x - 1 \): \[ t^4 - (t + 1)^2 + 2(t + 1) - 73 = 0 \Rightarrow t^4 - t^2 - 2t - 72 = 0 \] Подбор корней показывает, что \( t = 3 \) и \( t = -3 \) удовлетворяют уравнению: \[ t^4 - t^2 - 2t - 72 = (t - 3)(t + 3)(t^2 + 2t + 8) = 0 \] Возвращаясь к x: \[ x = t + 1 \Rightarrow x = 4 \quad \text{и} \quad x = -2 \] Ответ: 4; -2.

  5. В уравнении \(x^2 - 4x + a = 0\) сумма квадратов корней равна 16. Найти \(a\).
    Решение: Используя теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = 4, \quad x_1x_2 = a \] Сумма квадратов: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2a = 16 \Rightarrow -2a = 0 \Rightarrow a = 0 \] Ответ: 0.

  6. Решить уравнение: \[ |x - 1| + |x - 2| = 1 \]
    Решение: Рассмотрим три случая: 1. \( x < 1 \): \[ (1 - x) + (2 - x) = 1 \Rightarrow 3 - 2x = 1 \Rightarrow x = 1 \] Не принадлежит интервалу. 2. \( 1 \leq x \leq 2 \): \[ (x - 1) + (2 - x) = 1 \Rightarrow 1 = 1 \] Все \( x \) в этом интервале являются решениями. 3. \( x > 2 \): \[ (x - 1) + (x - 2) = 1 \Rightarrow 2x - 3 = 1 \Rightarrow x = 2 \] Не принадлежит интервалу.
    Ответ: \( x \in [1; 2] \).

  7. Найти область определения функции \[ f(x) = \sqrt{\frac{\lvert x-3\rvert\,(x+4)\,(x^2 + 9x + 20)}{x^2 - x - 6}} \]
    Решение: Рассмотрим условия: \[ \frac{|x-3|(x+4)(x+4)(x+5)}{(x-3)(x+2)} \geq 0 \] Упрощаем: \[ \frac{|x-3|(x+4)^2(x+5)}{(x-3)(x+2)} = \text{sgn}(x-3)\frac{(x+4)^2(x+5)}{x+2} \geq 0 \] Критические точки: \( x = -5, -4, -2, 3 \). Метод интервалов:
    • \( x \in (-\infty; -5) \): отрицательно
    • \( x \in (-5; -4) \): отрицательно
    • \( x \in (-4; -2) \): отрицательно
    • \( x \in (-2; 3) \): положительно
    • \( x \in (3; +\infty) \): положительно
    С учетом знака: \[ x \in [-5; -2) \cup [3; +\infty) \] Ответ: \( x \in [-5; -2) \cup [3; +\infty) \).

  8. Насосы очищают пруд за 2 ч 55 мин. Один работает на 2 ч быстрее. Найти время каждого.
    Решение: Пусть \( t \) — время работы медленного насоса. Тогда уравнение совместной работы: \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t - 2} = \frac{1}{\frac{35}{12}} \] Решая квадратное уравнение: \[ 7t^2 - 58t + 70 = 0 \Rightarrow t = 5 \quad \text{и} \quad t = 2 \, (\text{не подходит}) \] Ответ: 5 ч и 3 ч.

  9. В прямоугольном треугольнике медиана \( CM = 12 \) см, расстояние до гипотенузы 3 см. Найти площадь.
    Решение: Гипотенуза \( AB = 24 \) см (медиана равна половине гипотенузы). Пусть \( AC = 2x \). Середина \( AC \) — точка \( M' \). Расстояние от \( M' \) до \( AB \) можно выразить через площадь: \[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot x \Rightarrow BC \cdot x = 72 \] По теореме Пифагора: \[ (2x)^2 + BC^2 = 24^2 \Rightarrow 4x^2 + BC^2 = 576 \] Решая систему: \[ BC \cdot x = 72 \Rightarrow BC = \frac{72}{x} \] Подставляем: \[ 4x^2 + \frac{72^2}{x^2} = 576 \Rightarrow x = 6 \] Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \, \text{см}^2 \] Ответ: \( 72\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

  10. Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 + 2x + 1}{\lvert x + 1\rvert} \]
    Решение: Упростим выражение: \[ y = \frac{(x + 1)^2}{|x + 1|} = \begin{cases} x + 1, & x > -1 \\ -(x + 1), & x < -1 \end{cases} \] Функция представляет собой две прямые с исключенной точкой \( x = -1 \).
    Ответ: График состоит из лучей \( y = |x + 1| \) с выколотой точкой (-1, 0).
Материалы школы Юайти