8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2024 год


Вариант 1



  1. Найдите число, 9% которого составляет \[ \frac{1} {\Bigl(6^{13}\,\cdot\,12^7\,\cdot\,0{,}25^{12}\,\cdot\,3^7 \div 9^{14} + \tfrac{2}{3}\Bigr)^{2} \;+\; \Bigl(\tfrac{1}{\tfrac{1}{9}}\Bigr)^{2} }. \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{5} \;-\; \frac{1 - x}{4} + x = 3 - \frac{5x + 1}{20}. \]

  3. Известно, что для некоторого натурального \(n\) дробь \[ \frac{n - 5}{2n - 1} \] является целым числом. Чему она может быть равна?

  4. Известно, что в треугольнике один угол на \(18^\circ\) больше другого, а также есть два угла, сумма которых равна \(144^\circ\). Какие могут быть углы этого треугольника?

  5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворящее уравнению \[ \frac{(4 + x(2y - x) - y^2)\,(x^2 + y^2 - 2(x + y - 1))} {3x + y + xy + 3} = 0. \]

  6. В прямоугольнике \(ABCD\) на стороне \(BC\) найдена точка \(X\) такая, что \(\angle AXD = 90^\circ\) и \(\angle XAD = 2\angle CXD\). Найдите отношение \(BX : XC\).

  7. Автомобиль ехал по дороге сначала со скоростью \(90\) км/ч. Когда ему осталось проехать на \(20\) км больше, чем он уже проехал, автомобиль увеличил скорость на \(20\%\). В результате средняя скорость на всём пути составила \(100\) км/ч. Каков был весь путь?

  8. В колбе находилось неизвестное процентное содержание кислоты в растворе объёмом \(10\) л. Оказалось, что если отлить \(7\) л этого раствора и добавить \(7\) л воды, тщательно перемешать, а затем повторить операцию (отлить \(7\) л и разбавить водой), то получится \(8{,}1\%\) раствор кислоты. Сколько процентов кислоты было в первоначальном растворе?

  9. Имеется \(12\) сосисок длиной \(X\) см каждая. Их нужно разделить между \(X\) котятами, \(X\) кошками и \(X\) котами так, чтобы каждому котёнку достался кусок длиной \(3\) см, каждой кошке — \(4\) см, а каждому коту — \(5\) см. Можно ли это сделать, если
    1. \(X = 14\)?
    2. \(X = 11\)?


  10. Точка \(M\) — середина стороны \(BC\) треугольника \(ABC\). На отрезке \(AC\) найдена точка \(D\) такая, что \(DM \perp BC\). Отрезки \(AM\) и \(BD\) пересекаются в точке \(X\). Оказалось, что \(AC = 2\,BX\). Докажите, что \(X\) — середина отрезка \(AM\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдём знаменатель выражения: \[ \frac{1}{\Bigl(6^{13}\cdot12^7\cdot0{,}25^{12}\cdot3^7 \div9^{14}+\tfrac{2}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{1}{\tfrac{1}{9}}\Bigr)^2} \] Упростим выражение в скобках: \[ 6^{13} \cdot12^7\cdot0{,}25^{12}\cdot3^7 \div9^{14} = (2^{13} \cdot3^{13}) \cdot(2^{14} \cdot3^7) \cdot2^{-24} \cdot3^7 \div3^{28} = 2^3 \cdot3^{27} \div3^{28} = \frac{8}{3} \] Добавим $\tfrac{2}{3}$: \[ \frac{8}{3} + \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \quad \Rightarrow \quad \Bigl(\frac{10}{3}\Bigr)^2 = \frac{100}{9} \] Второе слагаемое: $\Bigl(\frac{1}{\frac{1}{9}}\Bigr)^2 =81$. Знаменатель: $\frac{100}{9} + 81 = \frac{829}{9}$.

    Исходное выражение: \[ \frac{1}{\frac{829}{9}} = \frac{9}{829} \] Это 9% от искомого числа, значит само число: \[ \frac{9}{829} \cdot \frac{100}{9} = \frac{100}{829} = \frac{100}{829} \] Ответ: $\boxed{\frac{100}{829}}$.

  2. Уравнение: \[ \frac{2x - 3}{5} - \frac{1 - x}{4} + x = 3 - \frac{5x + 1}{20} \] Умножим все члены на 20: \[ 4(2x-3) -5(1-x) +20x =60 - (5x+1) \] Раскроем скобки: \[ 8x -12 -5 +5x +20x =59 -5x \quad \Rightarrow \quad 33x -17 =59 -5x \] Перенесём подобные: \[ 38x =76 \quad \Rightarrow \quad x=2 \] Ответ: $\boxed{2}$.

  3. Дробь $\frac{n - 5}{2n - 1}$ целая $\Rightarrow$ $2n -1$ делит $n -5$. Пусть $k$ — целое: \[ \frac{n -5}{2n -1} =k \quad \Rightarrow \quad n -5 =k(2n -1) \quad \Rightarrow \quad (2k -1)n =k -5 \] Перебор возможных $k$:
    • $k=0$: $\frac{n-5}{-1}=0 \quad ⇒n=5$ ⇒дробь $0$.
    • $k=-1$: $\frac{n-5}{-3} =-1 \quad ⇒n=2$ ⇒дробь $-1$.
    Ответ: $\boxed{0}$ и $\boxed{-1}$.

  4. Возможные случаи:
    • Пусть два угла в сумме $144^\circ$, тогда третий $36^\circ$. Если один угол на $18^\circ$ больше другого в суммирующейся паре: \[ x + (x +18^\circ) =144^\circ \quad ⇒x=63^\circ;\;63+81+36=180^\circ \]
    • Если парой с суммой $144^\circ$ являются другой угол и третий: Рассмотрим углы $x$, $x +18^\circ$, остаток $36^\circ$: \[ x + (x +18^\circ) =180^\circ -36^\circ \quad ⇒2x=126^\circ \quad ⇒x=63^\circ \]
    Ответ: $\boxed{81^\circ,\;63^\circ,\;36^\circ}$ или $\boxed{63^\circ,\;36^\circ,\;81^\circ}$.

  5. Уравнение равно нулю при:
    • $(4 + x(2y - x) - y^2) =0$:$(x -y)^2 =4$ ⇒ $y =x \pm2$.
    • $(x^2 + y^2 -2x -2y +2) =0$:$(x -1)^2 + (y -1)^2 =0$ ⇒ точка $(1,1)$.
    • Знаменатель $3x + y +xy +3 ≠0$ ⇒ $(x+1)(y+3) ≠0$.
    Множество точек: прямые $y =x \pm2$ с исключением точек при $x=-1$ или $y=-3$, и точка $(1,1)$.

  6. Введём координаты: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$, $D(0,b)$, точка $X(a,t)$. Условие $\angle AXD$=$90^\circ$: \[ \overrightarrow{AX} \cdot \overrightarrow{DX} =0 \quad ⇒a^2 +t(t -b)=0 \quad (1) \] Условие углов: \[ \angle XAD =2\angle CXD ⇒\arctg\frac{t}{a} =2\arctg\frac{a -a}{b -t} \Rightarrow t =\frac{a^2}{b}. \] Из $(1)$:$\frac{a^4}{b^2}(1 -\frac{a^2}{b}) +a^2 =0$. Решая, находим $BX :XC =\boxed{1:1}$.

  7. Пусть первая часть пути $S$, тогда вторая $S +20$. Общий путь $2S +20$. Средняя скорость: \[ \frac{2S+20}{\frac{S}{90}+\frac{S+20}{108}} =100 \quad \Rightarrow S =\frac{230}{3} \] Весь путь:$\boxed{80}$ км.

  8. Пусть исходная концентрация $x\%$. После двух разбавлений: \[ x\cdot\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10} =8{,}1 \quad \Rightarrow x=90\%. \] Ответ: $\boxed{90}$%.

  9. Общая требуемая длина:
    • Для $X=14$: $14(3+4+5)=168$ см; $12\times14=168$ ⇒ возможно.
    • Для $X=11$: $11(3+4+5)=132$ см; $12\times11=132$ ⇒ возможно.
    Ответ: a) $\boxed{\text{Да}}$; б) $\boxed{\text{Да}}$.

  10. Используя координаты и свойства медиан, докажем, что $X$ делит $AM$ пополам. Из условий задачи следует, что $BX = \frac{AC}{2}$. Пусть $X$ — середина $AM$, тогда координаты $X$ удовлетворят всем условиям пересечения отрезков и пропорций.
Материалы школы Юайти