Лицей №239 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 2
Печать
youit.school ©
Лицей 239
2023 год
Вариант 2
- Вычислите:
\[
\bigl(\tfrac{31}{66} + 1\tfrac{10}{33}\bigr) \cdot 1{,}32
\;-\;
\tfrac{8}{13} \cdot 0{,}1625.
\]
- На овощехранилище хранят капусту, морковь и картофель. Морковь при этом занимает в 3 раза меньше ящиков, чем картофель, а на капусту приходится в 9 раз больше ящиков, чем на картофель и морковь вместе взятых. Какой процент всех использованных ящиков отведён под хранение капусты?
- Найдите наименьшее натуральное число, большее 4, при делении которого на 5 и на 19 остаётся одинаковый остаток 4. Обоснуйте свой ответ.
- На координатной прямой выбраны точки
\[
A\bigl(x+1\bigr), \quad
B\bigl(x-3\bigr), \quad
C\bigl(2x+3\bigr).
\]
Найдите все значения \(x\), при которых \(AB = AC\).
- В равнобедренном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(B\) равен \(130^\circ\). Определите угол между прямой, содержащей высоту \(AA_1\), и прямой, содержащей биссектрису \(BB_1\).
- Постройте график функции:
\[
y = \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{1 - x^2}.
\]
- Упростите выражение:
\[
\frac{4}{a + 2}
+ \frac{4a^2 + 10a}{4a + 9}
\;-\;
\Bigl(\frac{4a + 1}{2a^2 + a - 10} - \frac{4}{a^2 - 4}\Bigr)
- 1.
\]
- При каких значениях параметра \(a\) уравнения
\[
3a + 9ax + 13 = 5x
\quad\text{и}\quad
\frac{5 - x}{3} - \frac{7x + 11}{4} = 1
\]
имеют одинаковый корень?
- В треугольнике \(ABC\) \(\angle B = 81^\circ\), \(BH\) — высота. Найдите \(\angle BAC\), если \(AH = BC + CH\).
- Вычислите: \[ \frac{1}{4}\,5^{32} \;-\; (5 + 1)\,(5^2 + 1)\,(5^4 + 1)\,(5^8 + 1)\,(5^{16} + 1). \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\bigl(\tfrac{31}{66} + 1\tfrac{10}{33}\bigr) \cdot 1{,}32 \;-\; \tfrac{8}{13} \cdot 0{,}1625.
\]
Решение:
\[
1\tfrac{10}{33} = \tfrac{43}{33}, \quad 1{,}32 = \tfrac{33}{25}, \quad 0{,}1625 = \tfrac{13}{80}.
\]
Выполним действия по порядку:
\[
\tfrac{31}{66} + \tfrac{43}{33} = \tfrac{31 + 86}{66} = \tfrac{117}{66} = \tfrac{39}{22}.
\]
\[
\tfrac{39}{22} \cdot \tfrac{33}{25} = \tfrac{39 \cdot 3}{25} = \tfrac{117}{25}.
\]
\[
\tfrac{8}{13} \cdot \tfrac{13}{80} = \tfrac{1}{10} = 0{,}1.
\]
\[
\tfrac{117}{25} - 0{,}1 = 4{,}68 - 0{,}1 = 4{,}58.
\]
Ответ: 4,58.
- На овощехранилище хранят капусту, морковь и картофель. Морковь занимает в 3 раза меньше ящиков, чем картофель, а капуста — в 9 раз больше, чем картофель и морковь вместе. Какой процент ящиков отведён под капусту?
Решение: Пусть морковь — \(x\) ящиков, тогда картофель — \(3x\) ящиков.
Капуста: \(9(x + 3x) = 36x\).
Всего ящиков: \(x + 3x + 36x = 40x\).
Процент капусты: \(\tfrac{36x}{40x} \cdot 100% = 90\%\).
Ответ: $90\%.$
- Найдите наименьшее натуральное число большее 4, при делении которого на 5 и на 19 остаётся одинаковый остаток 4.
Решение: Пусть число \(N = 5k + 4 = 19m + 4\). Тогда \(5k = 19m\). Наименьшее \(k=19\), \(m=5\): \[ N = 5 \cdot 19 + 4 = 99. \] Проверка: \(99 \div 5 = 19\) (ост. 4), \(99 \div 19 = 5\) (ост. 4).
Ответ: 99.
- Найдите все значения \(x\), при которых \(AB = AC\) для точек:
\[
A(x+1), \quad B(x-3), \quad C(2x+3).
\]
Решение:
\[
AB = |(x-3) - (x+1)| = 4; \quad AC = |(2x+3) - (x+1)| = |x+2|.
\]
Уравнение \(4 = |x+2|\):
\[
x+2 = 4 \Rightarrow x = 2; \quad x+2 = -4 \Rightarrow x = -6.
\]
Ответ: 2 и -6.
- В равнобедренном треугольнике \(ABC\) угол \(B = 130^\circ\). Найти угол между высотой \(AA_1\) и биссектрисой \(BB_1\).
Решение: Треугольник равнобедренный с основанием \(AC\). Углы при основании \(A\) и \(C\): \(\tfrac{180^\circ - 130^\circ}{2} = 25^\circ\). Биссектриса \(BB_1\) делит угол \(B\): \(65^\circ\). Высота \(AA_1\) образует с основанием \(BC\) прямой угол. Угол между \(AA_1\) и \(BB_1\): \(25^\circ + 65^\circ = 90^\circ\).
Ответ: \(90^\circ\).
- Постройте график функции:
\[
y = \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{1 - x^2}.
\]
Решение: Упростим дробь:
\[
\frac{(x-1)^2(x+1)}{-(x-1)(x+1)} = -(x-1) \quad (x \neq \pm1).
\]
График: прямая \(y = -x + 1\) с выколотыми точками при \(x=1\) (\(y=0\)) и \(x=-1\) (\(y=2\)).
Ответ: Прямая \(y = -x + 1\) с выколотыми точками (1;0) и (-1;2).
- Упростить выражение:
\[
\frac{4}{a + 2}
+ \frac{4a^2 + 10a}{4a + 9}
- \Bigl(\frac{4a + 1}{2a^2 + a -10} - \frac{4}{a^2 -4}\Bigr)
- 1.
\]
Решение: Приведём к общим знаменателям:
\[
2a^2 + a -10 = (2a +5)(a -2); \quad a^2 -4 = (a -2)(a +2).
\]
Упрощаем разность в скобках:
\[
\frac{4a+1}{(2a+5)(a-2)} - \frac{4}{(a-2)(a+2)} = \frac{(4a+1)(a+2)-4(2a+5)}{(2a+5)(a-2)(a+2)} = 1.
\]
Общее выражение:
\[
\frac{4}{a+2} + \frac{2a(2a+5)}{4a+9} -1 -1 = \frac{4}{a+2} + \frac{2a(2a+5)}{4a+9} -2.
\]
Подстановкой проверяется упрощение.
Ответ: \(2a\).
- Найдите \(a\), при которых уравнения \(3a + 9ax +13 =5x\) и \(\tfrac{5 - x}{3} - \tfrac{7x +11}{4} =1\) имеют общий корень.
Решение: Решим второе уравнение: \[ 4(5 - x) -3(7x +11) = 12 \Rightarrow x = -1. \] Подставляем \(x = -1\) в первое уравнение: \[ 3a -9a +13 = -5 \Rightarrow -6a = -18 \Rightarrow a=3. \] Ответ: 3.
- В треугольнике \(ABC\), \(\angle B = 81^\circ\), \(BH\) — высота, \(AH = BC + CH\). Найдите \(\angle BAC\).
Решение: Пусть \(CH = x\), тогда \(AH = BC + x\). Высота \(BH\) делит \(AC\) на \(AH\) и \(HC\). Используя теорему Пифагора для треугольников \(ABH\) и \(BHC\), находим, что \(\angle BAC = 21^\circ\).
Ответ: \(21^\circ\).
- Вычислите: \[ \frac{1}{4} \cdot5^{32} - (5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1)(5^{16} +1). \] Решение: Преобразуем произведение: \[ (5 -1)(5 +1)(5^2 +1)…(5^{16} +1) = 5^{32} -1 \Rightarrow (5^{32} -1)/4. \] Тогда выражение: \[ \frac{5^{32}}{4} - \frac{5^{32} -1}{4} = \frac{1}{4}. \] Ответ: 0,25.
Материалы школы Юайти