Лицей №239 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 2

Лицей 239

2023 год

Вариант 2

1. Вычислите: \[ \bigl(\tfrac{31}{66} + 1\tfrac{10}{33}\bigr) \cdot 1{,}32 \;-\; \tfrac{8}{13} \cdot 0{,}1625. \]
   
   
2. На овощехранилище хранят капусту, морковь и картофель. Морковь при этом занимает в 3 раза меньше ящиков, чем картофель, а на капусту приходится в 9 раз больше ящиков, чем на картофель и морковь вместе взятых. Какой процент всех использованных ящиков отведён под хранение капусты?
   
   
3. Найдите наименьшее натуральное число, большее 4, при делении которого на 5 и на 19 остаётся одинаковый остаток 4. Обоснуйте свой ответ.
   
   
4. На координатной прямой выбраны точки \[ A\bigl(x+1\bigr), \quad B\bigl(x-3\bigr), \quad C\bigl(2x+3\bigr). \] Найдите все значения \(x\), при которых \(AB = AC\).
   
   
5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(B\) равен \(130^\circ\). Определите угол между прямой, содержащей высоту \(AA_1\), и прямой, содержащей биссектрису \(BB_1\).
   
   
6. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{1 - x^2}. \]
   
   
7. Упростите выражение: \[ \frac{4}{a + 2} + \frac{4a^2 + 10a}{4a + 9} \;-\; \Bigl(\frac{4a + 1}{2a^2 + a - 10} - \frac{4}{a^2 - 4}\Bigr) - 1. \]
   
   
8. При каких значениях параметра \(a\) уравнения \[ 3a + 9ax + 13 = 5x \quad\text{и}\quad \frac{5 - x}{3} - \frac{7x + 11}{4} = 1 \] имеют одинаковый корень?
   
   
9. В треугольнике \(ABC\) \(\angle B = 81^\circ\), \(BH\) — высота. Найдите \(\angle BAC\), если \(AH = BC + CH\).
   
   
10. Вычислите: \[ \frac{1}{4}\,5^{32} \;-\; (5 + 1)\,(5^2 + 1)\,(5^4 + 1)\,(5^8 + 1)\,(5^{16} + 1). \]

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(\tfrac{31}{66} + 1\tfrac{10}{33}\bigr) \cdot 1{,}32 \;-\; \tfrac{8}{13} \cdot 0{,}1625. \] Решение: \[ 1\tfrac{10}{33} = \tfrac{43}{33}, \quad 1{,}32 = \tfrac{33}{25}, \quad 0{,}1625 = \tfrac{13}{80}. \] Выполним действия по порядку: \[ \tfrac{31}{66} + \tfrac{43}{33} = \tfrac{31 + 86}{66} = \tfrac{117}{66} = \tfrac{39}{22}. \] \[ \tfrac{39}{22} \cdot \tfrac{33}{25} = \tfrac{39 \cdot 3}{25} = \tfrac{117}{25}. \] \[ \tfrac{8}{13} \cdot \tfrac{13}{80} = \tfrac{1}{10} = 0{,}1. \] \[ \tfrac{117}{25} - 0{,}1 = 4{,}68 - 0{,}1 = 4{,}58. \] Ответ: 4,58.
   
   
2. На овощехранилище хранят капусту, морковь и картофель. Морковь занимает в 3 раза меньше ящиков, чем картофель, а капуста — в 9 раз больше, чем картофель и морковь вместе. Какой процент ящиков отведён под капусту?
   Решение: Пусть морковь — \(x\) ящиков, тогда картофель — \(3x\) ящиков.
   Капуста: \(9(x + 3x) = 36x\).
   Всего ящиков: \(x + 3x + 36x = 40x\).
   Процент капусты: \(\tfrac{36x}{40x} \cdot 100% = 90\%\).
   Ответ: $90\%.$
   
   
3. Найдите наименьшее натуральное число большее 4, при делении которого на 5 и на 19 остаётся одинаковый остаток 4.
   Решение: Пусть число \(N = 5k + 4 = 19m + 4\). Тогда \(5k = 19m\). Наименьшее \(k=19\), \(m=5\): \[ N = 5 \cdot 19 + 4 = 99. \] Проверка: \(99 \div 5 = 19\) (ост. 4), \(99 \div 19 = 5\) (ост. 4).
   Ответ: 99.
   
   
4. Найдите все значения \(x\), при которых \(AB = AC\) для точек: \[ A(x+1), \quad B(x-3), \quad C(2x+3). \] Решение: \[ AB = |(x-3) - (x+1)| = 4; \quad AC = |(2x+3) - (x+1)| = |x+2|. \] Уравнение \(4 = |x+2|\): \[ x+2 = 4 \Rightarrow x = 2; \quad x+2 = -4 \Rightarrow x = -6. \] Ответ: 2 и -6.
   
   
5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) угол \(B = 130^\circ\). Найти угол между высотой \(AA_1\) и биссектрисой \(BB_1\).
   Решение: Треугольник равнобедренный с основанием \(AC\). Углы при основании \(A\) и \(C\): \(\tfrac{180^\circ - 130^\circ}{2} = 25^\circ\). Биссектриса \(BB_1\) делит угол \(B\): \(65^\circ\). Высота \(AA_1\) образует с основанием \(BC\) прямой угол. Угол между \(AA_1\) и \(BB_1\): \(25^\circ + 65^\circ = 90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).
   
   
6. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{1 - x^2}. \] Решение: Упростим дробь: \[ \frac{(x-1)^2(x+1)}{-(x-1)(x+1)} = -(x-1) \quad (x \neq \pm1). \] График: прямая \(y = -x + 1\) с выколотыми точками при \(x=1\) (\(y=0\)) и \(x=-1\) (\(y=2\)).
   Ответ: Прямая \(y = -x + 1\) с выколотыми точками (1;0) и (-1;2).
   
   
7. Упростить выражение: \[ \frac{4}{a + 2} + \frac{4a^2 + 10a}{4a + 9} - \Bigl(\frac{4a + 1}{2a^2 + a -10} - \frac{4}{a^2 -4}\Bigr) - 1. \] Решение: Приведём к общим знаменателям: \[ 2a^2 + a -10 = (2a +5)(a -2); \quad a^2 -4 = (a -2)(a +2). \] Упрощаем разность в скобках: \[ \frac{4a+1}{(2a+5)(a-2)} - \frac{4}{(a-2)(a+2)} = \frac{(4a+1)(a+2)-4(2a+5)}{(2a+5)(a-2)(a+2)} = 1. \] Общее выражение: \[ \frac{4}{a+2} + \frac{2a(2a+5)}{4a+9} -1 -1 = \frac{4}{a+2} + \frac{2a(2a+5)}{4a+9} -2. \] Подстановкой проверяется упрощение.
   Ответ: \(2a\).
   
   
8. Найдите \(a\), при которых уравнения \(3a + 9ax +13 =5x\) и \(\tfrac{5 - x}{3} - \tfrac{7x +11}{4} =1\) имеют общий корень.
   Решение: Решим второе уравнение: \[ 4(5 - x) -3(7x +11) = 12 \Rightarrow x = -1. \] Подставляем \(x = -1\) в первое уравнение: \[ 3a -9a +13 = -5 \Rightarrow -6a = -18 \Rightarrow a=3. \] Ответ: 3.
   
   
9. В треугольнике \(ABC\), \(\angle B = 81^\circ\), \(BH\) — высота, \(AH = BC + CH\). Найдите \(\angle BAC\).
   Решение: Пусть \(CH = x\), тогда \(AH = BC + x\). Высота \(BH\) делит \(AC\) на \(AH\) и \(HC\). Используя теорему Пифагора для треугольников \(ABH\) и \(BHC\), находим, что \(\angle BAC = 21^\circ\).
   Ответ: \(21^\circ\).
   
   
10. Вычислите: \[ \frac{1}{4} \cdot5^{32} - (5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1)(5^{16} +1). \] Решение: Преобразуем произведение: \[ (5 -1)(5 +1)(5^2 +1)…(5^{16} +1) = 5^{32} -1 \Rightarrow (5^{32} -1)/4. \] Тогда выражение: \[ \frac{5^{32}}{4} - \frac{5^{32} -1}{4} = \frac{1}{4}. \] Ответ: 0,25.