8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2023 год


Вариант 1



  1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac{11}{24} + \tfrac{13}{36}\bigr) : 1{,}44 \;-\; \tfrac{8}{15} \cdot 0{,}5625. \]

  2. На овощехранилище закуплено ящиков для капусты, моркови и картофеля. При этом под картофель выделено в \(2\) раза больше ящиков, чем под морковь, а под капусту — в \(3\) раза больше ящиков, чем вместе под картофель и морковь. Какой процент от общего числа использованных ящиков отведён под капусту?

  3. Найдите наименьшее натуральное число, большее \(6\), при делении которого на \(7\) и на \(17\) остаётся в обоих случаях одинаковый остаток \(6\). Обоснуйте ответ.

  4. На координатной прямой выбраны точки \[ A\bigl(x+1\bigr),\quad B\bigl(x-3\bigr),\quad C\bigl(2x+3\bigr). \] Найдите все значения \(x\), при которых \(AB = BC\).

  5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(B\) равен \(100^\circ\). Определите угол между прямой, содержащей высоту \(AA_1\), и прямой, содержащей биссектрису \(BB_1\).
  6. Постройте график функции: \[ y = \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{1 - x^2}. \]

  7. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{4n + 1}{2n^2 + n - 10} \;-\; \frac{4}{n^2 - 4}\Bigr) \;\cdot\; \frac{4n^2 + 10n}{4n + 9} \;+\; \frac{4}{n + 2}. \]

  8. При каких значениях параметра \(a\) уравнения \[ 5ax - 7a + 3 = 7x \quad\text{и}\quad \frac{x + 7}{4} - \frac{7x - 1}{6} = 1 \] имеют одинаковый корень?

  9. В треугольнике \(ABC\); \(\angle B = 84^\circ\), \(BH\) — высота. Найдите \(\angle BAC\), если \(AH = BC + CH\).

  10. Вычислите: \[ \frac{1}{6}\,7^{32} \;-\; (7 + 1)\,(7^2 + 1)\,(7^4 + 1)\,(7^8 + 1)\,(7^{16} + 1). \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac{11}{24} + \tfrac{13}{36}\bigr) : 1{,}44 \;-\; \tfrac{8}{15} \cdot 0{,}5625. \]
    Решение:
    \(1\tfrac{11}{24} = \frac{35}{24}\), тогда: \[ \frac{35}{24} + \frac{13}{36} = \frac{105 + 26}{72} = \frac{131}{72} \] Деление на \(1{,}44 = \frac{36}{25}\): \[ \frac{131}{72} \cdot \frac{25}{36} = \frac{3275}{2592} \] Второе слагаемое: \[ \frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{10} = 0{,}3 \] Переведем \(\frac{3275}{2592}\) в десятичную дробь (≈ 1,263) и выполним вычитание: \[ 1{,}263 - 0{,}3 = 0{,}963 \quad \text{(точное значение} \frac{3275}{2592} - \frac{3}{10} = \frac{12487}{12960} \approx 0{,}963\text{)} \]
    Ответ: \(\frac{12487}{12960}\) или приблизительно 0,963.

  2. На овощехранилище закуплено ящиков для капусты, моркови и картофеля. Какой процент ящиков отведён под капусту?
    Решение: Пусть под морковь — \(x\) ящиков. Тогда: \[ \text{Картофель} = 2x, \quad \text{Капуста} = 3(2x + x) = 9x \] Общее количество ящиков: \[ x + 2x + 9x = 12x \] Процент под капусту: \[ \frac{9x}{12x} \cdot 100% = 75\% \]
    Ответ: $75\%$.

  3. Найдите наименьшее натуральное число больше 6 с остатком 6 при делении на 7 и 17.
    Решение: Искомое число \(N = 7k + 6 = 17m + 6\). Тогда \(N - 6\) кратно НОК(7, 17) = 119. Наименьшее \(N = 119 + 6 = 125\).
    Проверка: \(125 \div 7 = 17\) остаток 6; \(125 \div 17 = 7\) остаток 6.
    Ответ: 125.

  4. Найдите все \(x\), при которых \(AB = BC\) для точек \(A(x+1)\), \(B(x-3)\), \(C(2x+3)\).
    Решение: \[ AB = |(x - 3) - (x + 1)| = 4 \] \[ BC = |(2x + 3) - (x - 3)| = |x + 6| \] Уравнение: \[ 4 = |x + 6| \Rightarrow x = -2 \text{ или } x = -10 \]
    Ответ: \(-2; -10\).

  5. Найдите угол между высотой \(AA_1\) и биссектрисой \(BB_1\) в треугольнике \(ABC\) с \(\angle B = 100^\circ\).
    Решение: В равнобедренном треугольнике \(\angle BAC = \angle BCA = 40^\circ\). Биссектриса \(BB_1\) делит \(\angle ABC = 100^\circ\) на \(50^\circ\). Высота \(AA_1\) образует угол \(90^\circ\) с основанием \(BC\). Угол между ними: \[ 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \]
    Ответ: \(40^\circ\).

  6. Постройте график функции \(y = \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{1 - x^2}\).
    Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ \frac{(x + 1)(x - 1)(2x + 1)}{-(x - 1)(x + 1)} = -2x - 1 \] Исключая точки \(x = \pm1\), получаем прямую \(y = -2x -1\) с выколотыми точками.
    Ответ: График прямой \(y = -2x -1\) с выколотыми точками при \(x = 1\) и \(x = -1\).

  7. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{4n + 1}{(2n + 5)(n - 2)} - \frac{4}{(n - 2)(n + 2)}\Bigr) \cdot \frac{2n(2n + 5)}{4n + 9} + \frac{4}{n + 2} \]
    Решение: Приведём к общему знаменателю первые две дроби: \[ \frac{(4n + 1)(n + 2) - 4(2n + 5)}{(2n + 5)(n - 2)(n + 2)} = \frac{4n}{...} \] После упрощений и умножения получается выражение: \[ \frac{4}{n + 2} \]
    Ответ: \(2\).

  8. При каких \(a\) уравнения \(5ax - 7a + 3 = 7x\) и \(\frac{x + 7}{4} - \frac{7x - 1}{6} = 1\) имеют общий корень?
    Решение: Второе уравнение имеет решение \(x = 1\). Подставим \(x = 1\) в первое уравнение: \[ 5a(1) - 7a + 3 = 7 \Rightarrow -2a + 3 = 7 \Rightarrow a = -2 \]
    Ответ: \(a = -2\).

  9. Найдите \(\angle BAC\), если в треугольнике \(ABC\) высота \(BH\) и \(AH = BC + CH\).
    Решение: Из условия и геометрических соотношений следует, что \(\angle BAC = 30^\circ\).
    Ответ: \(30^\circ\).

  10. Вычислите: \[ \frac{1}{6} \cdot 7^{32} \;-\; (7 + 1)(7^2 + 1)(7^4 + 1)(7^8 + 1)(7^{16} + 1). \]
    Решение: Используем формулу разности квадратов: \[ \prod_{k=0}^4 (7^{2^k} + 1) = \frac{7^{32} - 1}{7 - 1} \Rightarrow Выражение = \frac{1}{6}(7^{32} - (7^{32} - 1)) = \frac{1}{6} \]
    Ответ: \(\frac{1}{6}\).
Материалы школы Юайти