8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2022 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2022 год


Вариант 2



  1. Вычислите: \[ \frac{\bigl(\tfrac{3}{5} + 0{,}425 - 0{,}005\bigr) : 0{,}1} {\tfrac{1}{6} + 3\tfrac{1}{3} + 30{,}5} \;+\; \frac{6\tfrac{3}{4} + 5\tfrac{1}{2}} {26 : 3\tfrac{5}{7}} \;-\; 0{,}05. \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{3} \;-\; \frac{x + 4}{4} = x - 2. \]

  3. На какое наибольшее расстояние (в километрах) может отплыть лодка от пристани против течения реки, если собственная скорость лодки равна \(8\) км/ч, скорость течения реки — \(2\) км/ч, чтобы успеть вернуться через \(4\) часа?

  4. Разложите на множители: \[ 28x^3 - 3x^2 + 3x - 1. \]

  5. Не вычисляя, сравните: \[ a = 2023 \cdot 2024 \cdot 2028 \quad\text{и}\quad b = 2026^3. \]

  6. Упростите выражение: \[ \frac{1}{x} \;\cdot\; \Bigl(\frac{y^2 - xy}{x + y}\Bigr)^{2} \;\cdot\; \Bigl(\frac{x + y}{(x - y)^2} \;+\; \frac{x + y}{\,xy - y^2}\Bigr) \;+\; \frac{x}{x + y}. \]

  7. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \bigl(\lvert x + 2\rvert - a\bigr)\,(x + 1) = 0 \] имеет ровно два различных корня?
  8. Постройте график уравнения: \[ \frac{\bigl((x^2 - 4)^2 + y^2 + 2y + 1\bigr)\,(y^2 - 4xy + 3x^2)} {xy - 2y + 2x - 4} = 0. \]

  9. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с вершиной \(A\) на стороне \(AC\) взята точка \(K\) такая, что \[ CB = BK = KA. \] Периметр треугольника \(CBK\) равен 6, периметр треугольника \(AKB\) равен 7. Вычислите периметр треугольника \(ABC\).

  10. Верно ли, что треугольники \(ABC\) и \(MKR\) равны, если \[ AB = 5,\quad BC = 8,\quad \angle C = 30^\circ; \quad MK = 5,\quad KR = 8,\quad \angle P = 30^\circ? \] Ответ обоснуйте.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{\left(\tfrac{3}{5} + 0{,}425 - 0{,}005\right) : 0{,}1}{\tfrac{1}{6} + 3\tfrac{1}{3} + 30{,}5} + \frac{6\tfrac{3}{4} + 5\tfrac{1}{2}}{26 : 3\tfrac{5}{7}} - 0{,}05 \]
    Решение:
    \[ \tfrac{3}{5} = 0{,}6;\quad 0{,}6 + 0{,}425 = 1{,}025;\quad 1{,}025 - 0{,}005 = 1{,}02;\quad 1{,}02 : 0{,}1 = 10{,}2 \] \[ \tfrac{1}{6} \approx 0{,}1667;\quad 3\tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3} \approx 3{,}3333;\quad 0{,}1667 + 3{,}3333 + 30{,}5 = 34 \] \[ \frac{10{,}2}{34} = 0{,}3;\quad 6\tfrac{3}{4} = 6{,}75;\quad 5\tfrac{1}{2} = 5{,}5;\quad 6{,}75 + 5{,}5 = 12{,}25 \] \[ 3\tfrac{5}{7} = \tfrac{26}{7};\quad 26 : \tfrac{26}{7} = 7;\quad \frac{12{,}25}{7} = 1{,}75 \] \[ 0{,}3 + 1{,}75 - 0{,}05 = 2 \] Ответ: 2.
  2. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{3} - \frac{x + 4}{4} = x - 2 \]
    Решение:
    Умножим обе части на 12: \[ 4(2x - 3) - 3(x + 4) = 12(x - 2) \] \[ 8x - 12 - 3x - 12 = 12x - 24;\quad 5x - 24 = 12x - 24;\quad -7x = 0;\quad x = 0 \] Ответ: 0.
  3. На какое наибольшее расстояние (в километрах) может отплыть лодка от пристани против течения реки, если собственная скорость лодки равна \(8\) км/ч, скорость течения реки — \(2\) км/ч, чтобы успеть вернуться через \(4\) часа?
    Решение:
    Пусть \(S\) — расстояние: \[ \frac{S}{8 - 2} + \frac{S}{8 + 2} = 4;\quad \frac{S}{6} + \frac{S}{10} = 4 \] \[ 10S + 6S = 240;\quad 16S = 240;\quad S = 15 \] Ответ: 15.
  4. Разложите на множители: \[ 28x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
    Решение:
    Группировка: \[ (28x^3 - 3x^2) + (3x - 1) = x^2(28x - 3) + 1(3x - 1) \] Или метод суммы кубов: \[ 27x^3 + (x - 1)^3 = (3x + x - 1)(9x^2 - 3x(x - 1) + (x - 1)^2) \] \[ = (4x - 1)(7x^2 + x + 1) \] Ответ: \((4x - 1)(7x^2 + x + 1)\).
  5. Сравните: \[ a = 2023 \cdot 2024 \cdot 2028 \quad\text{и}\quad b = 2026^3. \]
    Решение:
    Представим \(2023 = 2026 - 3\), \(2024 = 2026 - 2\), \(2028 = 2026 + 2\): \[ a = (2026 - 3)(2026 - 2)(2026 + 2) = 2026^3 - 3 \cdot 2026^2 - 4 \cdot 2026 + 12 \] Следовательно, \(a < b\). Ответ: \(a < b\).
  6. Упростите выражение: \[ \frac{1}{x} \cdot \left(\frac{y^2 - xy}{x + y}\right)^2 \cdot \left(\frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{xy - y^2}\right) + \frac{x}{x + y} \]
    Решение:
    Упрощаем множители: \[ \frac{y(y - x)}{x + y} = -y \cdot \frac{(x - y)}{x + y};\quad \text{Квадрат: } y^2 \cdot \frac{(x - y)^2}{(x + y)^2} \] \[ \frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{y(x - y)} = \frac{(x + y)x}{y(x - y)^2} \] Полное упрощение: \[ \frac{y^2}{x(x + y)} \cdot \frac{x(x + y)}{y(x - y)^2} \cdot \frac{(x - y)^2}{(x + y)^2} + \frac{x}{x + y} = 1 \] Ответ: 1.
  7. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \bigl(\lvert x + 2\rvert - a\bigr)\,(x + 1) = 0 \] имеет ровно два различных корня?
    Решение:
    Корни: \(x = -1\) и \(|x + 2| = a\) (\(x = -2 \pm a\)).
    • При \(a = 0\): корни \(x = -2\) и \(x = -1\).
    • При \(a = 1\): корни \(x = -1\) и \(x = -3\).
    • При \(a > 0\) и \(a \ne 1\) — три корня.
    Ответ: \(a = 0\) или \(a = 1\).
  8. Постройте график уравнения: \[ \frac{\bigl((x^2 - 4)^2 + (y + 1)^2\bigr) \cdot (y - 3x)(y - x)}{(x - 2)(y + 2)} = 0 \]
    Решение:
    График включает:
    • Точку \((-2; -1)\).
    • Прямые \(y = 3x\) и \(y = x\) с выколотыми точками \((2; 6)\), \((-{\tfrac{2}{3}}; -2)\), \((2; 2)\), \((-2; -2)\).
    Ответ: График состоит из точки и двух прямых с выколотыми точками.
  9. Периметр треугольника ABC равен P.
    Решение:
    Обозначим \(CB = BK = KA = x\). Из условий: \[ 2x + z = 6,\quad 2x + y = 7,\quad z = y - x \] Решая систему: \[ x = 1,\quad y = 5,\quad P = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \] Ответ: 11.
  10. Верно ли, что треугольники ABC и MKR равны, если углы и стороны заданы как \(AB = 5\), \(BC = 8\), \(\angle C = 30^\circ\), \(MK = 5\), \(KR = 8\), \(\angle P = 30^\circ\)?
    Решение:
    Для равенства по SAS угол должен находиться между соответствующими сторонами. В условии угол при вершине \(C\) не соответствует расположению сторон \(MK\) и \(KR\). Недостаточно данных. Ответ: Нет, треугольники не равны.
Материалы школы Юайти