Лицей №239 из 7 в 8 класс 2022 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Лицей 239
2022 год
Вариант 1
- Вычислите:
\[
\frac{\left(5\tfrac{4}{45} - 4\tfrac{1}{6}\right) : 5\tfrac{8}{15}}{\left(4\tfrac{2}{3} + 0{,}75\right) \cdot 3\tfrac{9}{13}} \cdot 34\tfrac{2}{7} + \frac{0{,}3 : 0{,}01}{70} + \frac{2}{7}
\]
- Решите уравнение:
\[
\frac{3x - 1}{4} \;-\; \frac{4x + 1}{3} \;=\; x + 1.
\]
- На какое наибольшее число километров может отплыть лодка от пристани против течения реки, если собственная скорость лодки \(9\) км/ч, скорость течения реки \(1\) км/ч, чтобы успеть вернуться через \(9\) часов?
- Разложите на множители:
\[
65x^3 + 3x^2 + 3x + 1.
\]
- Не вычисляя, сравните:
\[
a = 2021\cdot2022\cdot2027
\quad\text{и}\quad
b = 2024^3.
\]
- Упростите выражение: \[ \frac{a}{a - b} \;+\; \frac{1}{a} \;\cdot\; \Bigl(\frac{b^2 + ab}{a - b}\Bigr)^{2} \;\cdot\; \Bigl(\frac{a - b}{(a + b)^2} \;-\; \frac{a - b}{ab + b^2}\Bigr). \]
- При каких значениях параметра \(a\) уравнение
\[
\bigl(\lvert x - 3\rvert - a\bigr)\,(x - 1) = 0
\]
имеет ровно два различных корня?
- Постройте график уравнения
\[
\frac{\bigl((x^2 - 4)^2 + y^2 - 2y + 1\bigr)\,\bigl(y^2 - 3xy + 2x^2\bigr)}
{xy - 2y + 3x - 6}
= 0.
\]
- В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с вершиной \(B\) на стороне \(BC\) взята точка \(K\) такая, что \(CA = AK = KB\). Периметр треугольника \(CAK\) равен 4, периметр треугольника \(AKB\) равен 5. Вычислите периметр всего треугольника \(ABC\).
- Верно ли, что треугольники \(ABC\) и \(MKR\) равны, если \[ AB = 3,\quad BC = 4,\quad \angle C = 30^\circ; \quad MK = 3,\quad KR = 4,\quad \angle P = 30^\circ? \] Ответ обоснуйте.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
-
\[
\frac{\left(5\tfrac{4}{45} - 4\tfrac{1}{6}\right) : 5\tfrac{8}{15}}{\left(4\tfrac{2}{3} + 0{,}75\right) \cdot 3\tfrac{9}{13}} \cdot 34\tfrac{2}{7} + \frac{0{,}3 : 0{,}01}{70} + \frac{2}{7}
\]
Решение:
\[
\left(5\tfrac{4}{45} = \frac{229}{45},\quad 4\tfrac{1}{6} = \frac{25}{6}\right)
\]
\[
\frac{229}{45} - \frac{25}{6} = \frac{83}{90} : 5\tfrac{8}{15} = \frac{83}{90} : \frac{83}{15} = \frac{1}{6}
\]
\[
\left(4\tfrac{2}{3} + 0,75 = \frac{65}{12}\right) \cdot 3\tfrac{9}{13} = \frac{65}{12} \cdot \frac{48}{13} = 20
\]
\[
\frac{1}{6} : 20 = \frac{1}{120} \cdot 34\tfrac{2}{7} = \frac{240}{7} \cdot \frac{1}{120} = \frac{2}{7}
\]
\[
\frac{0,3 : 0,01}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7},\quad \frac{2}{7} + \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = 1
\]
Ответ: \(1\).
- Решите уравнение:
\[
\frac{3x - 1}{4} - \frac{4x + 1}{3} = x + 1
\]
Решение:
\[
9x - 3 - 16x - 4 = 12x + 12 \quad \Rightarrow \quad -7x - 7 = 12x + 12 \quad \Rightarrow \quad -19x = 19 \quad \Rightarrow \quad x = -1
\]
Ответ: \(-1\).
- На какое наибольшее число километров может отплыть лодка от пристани против течения реки?
Решение:
\[
\frac{s}{8} + \frac{s}{10} = 9 \quad \Rightarrow \quad \frac{9s}{40} = 9 \quad \Rightarrow \quad s = 40
\]
Ответ: \(40\) км.
- Разложите на множители \(65x^3 + 3x^2 + 3x + 1\):
Решение:
\[
(5x + 1)(13x^2 - 2x + 1)
\]
Ответ: \((5x + 1)(13x^2 - 2x + 1)\).
- Сравните \(a = 2021 \cdot 2022 \cdot 2027\) и \(b = 2024^3\):
Решение:
\[
a = (2024 - 3)(2024 - 2)(2024 + 3) = (2024^2 -9)(2024 -2) < 2024^3
\]
Ответ: \(a < b\).
- Упростите выражение:
Решение:
После упрощений сумма выражений сводится к \(1\).
Ответ: \(1\).
- При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left(|x - 3| - a\right)(x -1) = 0\) имеет ровно два различных корня?
Решение:
Ответ: \(a = 0\) или \(a = 2\).
- Постройте график уравнения:
\[
\frac{\left((x^2 -4)^2 + (y -1)^2\right)(y -x)(y -2x)}{(x-2)(y+3)} = 0
\]
График включает точку \((-2, 1)\) и прямые \(y = x\) и \(y = 2x\) исключая точки пересечения с \(x=2\) и \(y=-3\).
- Периметр треугольника \(ABC\):
Решение:
\[
\text{Уравнение системы} \quad \begin{cases}
2x + KB + KC = 4 \\
2x + AB = 5
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = 1,\, AB = 3,\, AC = 1
\]
Периметр: \(3 + 3 + 1 = 7\).
Ответ: \(7\).
- Равенство треугольников \(ABC\) и \(MKR\)? Решение: Треугольники не равны, так как третьи стороны не совпадают. Ответ: \(\text{Нет}\).
Материалы школы Юайти