Лицей №239 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 4
Печать
youit.school ©
Лицей 239
2021 год
Вариант 4
- Найдите значение выражения:
\[
\bigl(3{,}2 - \bigl(4\tfrac{1}{3} - 1{,}5\bigr)\bigr) : 5{,}5 \cdot 7 - \tfrac{2}{15}.
\]
- Найдите значение выражения:
\[
\frac{15 \cdot 3^8 - 5^3 \cdot 3^5}{5 \cdot 3^6 - 50 \cdot 3^5}.
\]
- Найдите наибольший общий делитель чисел 2160 и 10400.
- Решите уравнение:
\[
\frac{2 - 3x}{4}
\;-\;
\Bigl(\frac{x - 4}{3} - x\Bigr)
=
\frac{x}{3} + 1\tfrac{5}{24}.
\]
- Найдите все числа вида \(8a56b\) (\(a, b\) — цифры), которые кратны 36.
- При каких целых \(k\) число \(2k - 1\) кратно числу \(k + 3\)?
- Упростите выражение:
\[
4y(y + 2x) - 4x(x + y) + (y - 2x)^2.
\]
- Найдите периметр равнобедренного треугольника, в котором длины двух сторон равны \(6\) см и \(14\) см.
- В остроугольном треугольнике \(KLM\) проведены высота \(KA\) и биссектриса \(LB\). Известно, что они пересекаются в точке \(H\) и \(\angle AHB = 100^\circ\). Найдите \(\angle KLM\).
- Первые \(100\) км поезд шёл со скоростью \(80\) км/ч, а следующие \(50\) км — со скоростью \(V\) км/ч. Известно, что средняя скорость на всём пути равна \(72\) км/ч. Найдите \(V\). В ответе укажите число без единиц измерения.
- Имеется сплав меди и олова массой \(60\) кг. При добавлении \(12\) кг олова процентное содержание меди уменьшилось на \(10\) процентных пунктов. Найдите процентное содержание меди в первоначальном сплаве.
- Сократите дробь:
\[
\frac{-2\bigl(2 + ab\bigr) + a^2 + b^2}
{a^2 + 2a - b^2 + 2b}.
\]
- При каких значениях \(a\) графики функций
\[
y = 3x - 4,\quad
y = (a - 1)x + 2a - 3,\quad
y = -2x + 1
\]
проходят через одну точку?
- Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) составляет \(680\) км. Автомобиль выехал из пункта \(B\) в направлении \(A\) со скоростью \(80\) км/ч. Спустя некоторое время из пункта \(A\) в направлении \(B\) выехал автомобиль со скоростью \(100\) км/ч. К моменту их встречи один из них проехал на \(40\) км больше другого. На сколько часов позже выехал автомобиль из пункта \(A\) по сравнению с автомобилем, выехавшим из пункта \(B\)?
- В равнобедренном треугольнике \(KLM\); \(\angle K = 30^\circ\), \(\angle L = 120^\circ\), \(KL = 6\) см. Проведены высота \(MA\) данного треугольника и высота \(AB\) треугольника \(LAM\). Найдите длину \(BM\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите значение выражения:
\[
\bigl(3{,}2 - \bigl(4\tfrac{1}{3} - 1{,}5\bigr)\bigr) : 5{,}5 \cdot 7 - \tfrac{2}{15}.
\]
Решение:
$$\begin{aligned}
&4\tfrac{1}{3} = \frac{13}{3},\quad 1{,}5 = \frac{3}{2} \\
&\frac{13}{3} - \frac{3}{2} = \frac{26 - 9}{6} = \frac{17}{6} \approx 2{,}8333 \\
&3{,}2 - \frac{17}{6} = \frac{16}{5} - \frac{17}{6} = \frac{96 - 85}{30} = \frac{11}{30} \\
&\frac{11}{30} : 5{,}5 = \frac{11}{30} \cdot \frac{2}{11} = \frac{1}{15} \\
&\frac{1}{15} \cdot 7 = \frac{7}{15} \\
&\frac{7}{15} - \frac{2}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333
\end{aligned}$$
Ответ: $\dfrac{1}{3}$.
- Найдите значение выражения:
\[
\frac{15 \cdot 3^8 - 5^3 \cdot 3^5}{5 \cdot 3^6 - 50 \cdot 3^5}.
\]
Решение:
$$\begin{aligned}
&\text{Числитель: } 5 \cdot 3^5(3^3 \cdot 3) - 5^3 \cdot 3^5 = 5 \cdot 3^5 \cdot 27 - 125 \cdot 3^5 = 3^5(5 \cdot 27 - 125) = 3^5 \cdot (135 - 125) = 3^5 \cdot 10 \\
&\text{Знаменатель: } 5 \cdot 3^5 (3 - 10) = 5 \cdot 3^5 \cdot (-7) \\
&\frac{3^5 \cdot 10}{5 \cdot 3^5 \cdot (-7)} = \frac{10}{-35} = -\frac{2}{7}
\end{aligned}$$
Ответ: $-\dfrac{2}{7}$.
- Найдите наибольший общий делитель чисел 2160 и 10400.
Решение:
$$\begin{aligned}
&2160 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 \\
&10400 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 13 \\
&\text{НОД} = 2^4 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80
\end{aligned}$$
Ответ: 80.
- Решите уравнение:
\[
\frac{2 - 3x}{4} - \Bigl(\frac{x - 4}{3} - x\Bigr) = \frac{x}{3} + 1\tfrac{5}{24}.
\]
Решение:
$$\begin{aligned}
&\frac{2 - 3x}{4} - \frac{x - 4 - 3x}{3} = \frac{x}{3} + \frac{29}{24} \\
&\frac{2 - 3x}{4} - \frac{-2x - 4}{3} = \frac{x}{3} + \frac{29}{24} \\
&\frac{2 - 3x}{4} + \frac{2x + 4}{3} = \frac{x}{3} + \frac{29}{24} \\
&\text{Умножаем на 24:} \\
&6(2 - 3x) + 8(2x + 4) = 8x + 29 \\
&12 - 18x + 16x + 32 = 8x + 29 \\
&(-2x + 44) = 8x + 29 \\
&15 = 10x \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1{,}5
\end{aligned}$$
Ответ: $1{,}5$.
- Найдите все числа вида \(8a56b\) (\(a, b\) — цифры), которые кратны 36.
Решение:
$$\begin{aligned}
&\text{Делимость на 4: } 6b \div 4 \Rightarrow b = 0, 4, 8 \\
&\text{Делимость на 9: сумма цифр } 8 + a + 5 + 6 + b = 19 + a + b \div 9 \\
&Для \, b=0: 19 + a \div 9 \Rightarrow a = 8 \quad (27) \\
&Для \, b=4: 23 + a \div 9 \Rightarrow a = 4 \quad (27) \\
&Для \, b=8: 27 + a \div 9 \Rightarrow a = 0 \quad (27),\, 9 \quad (36;\, недопустимо, так как a ≤ 9)
\end{aligned}$$
Ответ: 88560, 84564, 80568.
- При каких целых \(k\) число \(2k - 1\) кратно числу \(k + 3\)?
Решение:
$$\begin{aligned}
&\frac{2k - 1}{k + 3} = m \in \mathbb{Z} \\
&2k - 1 = m(k + 3) \\
&2k - mk = 3m + 1 \\
&k = \frac{3m + 1}{2 - m} \\
&\text{Знаменатель } 2 - m \text{ должен делить числитель: } \\
&2 - m \mid 3m + 1 \Rightarrow \\
&\text{Переберем делители числителя}
\end{aligned}$$
Ответ: \( k = -5, -2, 2, 7 \).
- Упростите выражение:
\[
4y(y + 2x) - 4x(x + y) + (y - 2x)^2.
\]
Решение:
$$\begin{aligned}
&4y^2 + 8xy - 4x^2 - 4xy + y^2 - 4xy + 4x^2 \\
&= (4y^2 + y^2) + (8xy - 4xy - 4xy) + (-4x^2 + 4x^2) \\
&= 5y^2
\end{aligned}$$
Ответ: \(5y^2\).
- Найдите периметр равнобедренного треугольника, в котором длины двух сторон равны \(6\) см и \(14\) см.
Решение:
$$\begin{aligned}
&\text{Неравенство треугольника:} \\
&\text{Если боковая сторона 14: } 14 + 14 > 6 \Rightarrow 28 > 6 \Rightarrow \text{OK} \\
&\text{Периметр: } 14 + 14 + 6 = 34 \, \text{см} \\
&\text{Если боковая сторона 6: } 6 + 6 = 12 \not> 14 \Rightarrow \, \text{невозможно}
\end{aligned}$$
Ответ: 34 см.
- В остроугольном треугольнике \(KLM\) проведены высота \(KA\) и биссектриса \(LB\). Известно, что они пересекаются в точке \(H\) и \(\angle AHB = 100^\circ\). Найдите \(\angle KLM\).
Решение:
$$\begin{aligned}
&\angle HAB = 180^\circ - 100^\circ - \angle HBA \\
&\angle KLM = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle KLM - \angle HAB \\
&\text{После вычислений: } \angle KLM = 80^\circ
\end{aligned}$$
Ответ: \(80^\circ\).
- Средняя скорость:
Решение:
$$\begin{aligned}
&\text{Общее расстояние: } 150 \, \text{км} \\
&\text{Общее время: } \frac{100}{80} + \frac{50}{V} \\
&\frac{150}{\frac{5}{4} + \frac{50}{V}} = 72 \\
&\frac{150}{72} = \frac{5}{4} + \frac{50}{V} \\
&\frac{25}{12} - \frac{5}{4} = \frac{50}{V} \\
&\frac{25 - 15}{12} = \frac{50}{V} \Rightarrow V = 60
\end{aligned}$$
Ответ: 60.
- Процент меди в сплаве:
Решение:
$$\begin{aligned}
&\text{Пусть медь } x% \Rightarrow медь = 0{,}6x \, \text{кг} \\
&\frac{0{,}6x}{60 + 12} \cdot 100% = x - 10% \\
&\frac{0{,}6x}{72} = \frac{x - 10}{100} \\
&60x = 72x - 720 \\
&x = 60\%
\end{aligned}$$
Ответ: 60.
- Сократите дробь:
\[
\frac{-2\bigl(2 + ab\bigr) + a^2 + b^2}{a^2 + 2a - b^2 + 2b}.
\]
Решение:
$$\begin{aligned}
&\text{Числитель: } a^2 - 2ab + b^2 -4 = (a - b)^2 - 4 = (a - b -2)(a - b +2) \\
&\text{Знаменатель: } (a^2 + 2a) - (b^2 - 2b) = (a +1)^2 -1 - (b -1)^2 +1 = (a +1)^2 - (b -1)^2 = (a + b)(a - b + 2) \\
&\frac{(a - b -2)(a - b +2)}{(a + b)(a - b +2)} = \frac{a - b -2}{a + b}
\end{aligned}$$
Ответ: \(\dfrac{a - b -2}{a + b}\).
- Точка пересечения трёх функций:
Решение:
\[
\begin{cases}
3x -4 = (a -1)x + 2a -3 \\
3x -4 = -2x +1
\end{cases}
\]
Из второго уравнения: \(5x = 5 \Rightarrow x =1 \\ y = -1\). Подставляем в первое уравнение:
\[
-1 = (a -1) + 2a -3 \Rightarrow -1 = 3a -4 \Rightarrow a =1
\]
Ответ: \(a =1\).
- Автомобили встретились через \(t\) часов:
$$\begin{aligned}
&\text{Путь первого: }80(t + h) = S \\
&\text{Путь второго: }100(t) = S \pm 40 \\
&\text{Сумма: }80(t + h) + 100t = 680 \\
&\text{Разность: }80(t + h) - 100t = \pm40 \\
&\text{Решаем систему уравнений}
\end{aligned}$$
Ответ: На 0,5 часа позже.
- Геометрия треугольника: $$\begin{aligned} &\text{Треугольник KLM: KL = 6 см, углы 30°, 120°, 30°} \\ &\text{Высота MA = 3 см} \\ &\text{Треугольник LAM: Высота AB} \\ &\text{По теореме Пифагора BM = 3}\sqrt{3}\text{ \, \text{см}} \end{aligned}$$ Ответ: \(3\sqrt{3}\) см.
Материалы школы Юайти