8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 04.2021
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2021 год


Вариант 3





  1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(2\tfrac{4}{9}\bigl(2\tfrac{3}{11};\,7 - 5,7\cdot2\tfrac{3}{11}\bigr) - \tfrac{1}{3}\bigr) : 5\tfrac{2}{3}. \]

  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{162 \cdot 2^7 - 8 \cdot 3^5 + 2^3 \cdot 3^4}{3^5 \cdot 2^7 - 3^7 \cdot 2^4}. \]

  3. Найдите наименьшее общее кратное чисел 18, 30, 175.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{x + 3}{2} - \frac{x - 5}{3} = \frac{6 - x}{5} \cdot 1,5 + 3. \]

  5. Найдите все числа вида \(6a57b\) (\(a, b\) — цифры), которые кратны 45.

  6. При каких натуральных \(x\) число \(3x + 7\) кратно числу \(x - 2\)?

  7. Упростите выражение: \[ (x - 2y)^2 + 4x(x + 2y) - 4y(x + y). \]

  8. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см. Известно, что разность между длинами двух сторон равна 5 см. Найдите длины сторон этого треугольника. (В ответе укажите длины трёх сторон с единицами длины.)

  9. Точки \(C\), \(D\), \(K\) расположены на одной прямой. Известно, что \(CD = 8\) и \(CK = 3\cdot DK\). Найдите все возможные значения \(DK\).

  10. Первые 80 км машина ехала со скоростью 60 км/ч, а следующие 24 км — со скоростью 34 км/ч. Какова средняя скорость \(V\) км/ч на всем пути? В ответе напишите число \(V\) без единиц измерения.

  11. Имеется сплав золота и серебра. Серебро в сплаве составляет 70 %. Если бы в сплаве золота было на 10 г больше, а серебра — на 4 г меньше, серебро составляло бы 50 % от общей массы этого сплава. Найдите массу первоначального сплава. В ответе запишите количество граммов.

  12. Сократите дробь: \[ \frac{c^3 + b^3 - 2c^2 - 2b^2 + 2bc}{c^2 + b^2 - 4c - 4b + 4 + 2bc}. \]

  13. Прямая \(y = (2a+1)x + a + 4\) пересекает прямую \(y = x + 6\) в точке \(A\), сумма координат которой равна 4. Найдите возможные значения \(a\).

  14. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию за 3,5 ч. Однако по прошествии 1,5 ч поезд по техническим причинам снизил скорость на 5 км/ч, в результате чего он опоздал на 8 мин. Найдите первоначальную скорость поезда.

  15. В треугольнике \(KLM\); \(\angle L = 30^\circ\), \(\angle K = 60^\circ\). Через середину стороны \(KL\) проведена прямая \(p\), перпендикулярная \(KL\). Прямая \(p\) пересекает сторону \(LM\) в точке \(A\) и продолжение стороны \(KM\) в точке \(B\). Известно, что \(AB = 3\) см. Найдите длину \(AL\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(2\tfrac{4}{9}\cdot\bigl(2\tfrac{3}{11} \cdot 7 - 5,7\cdot2\tfrac{3}{11}\bigr) - \tfrac{1}{3}\bigr) : 5\tfrac{2}{3}. \] Решение: Переведем смешанные дроби в обычные: \[ 2\tfrac{3}{11} = \frac{25}{11}, \quad 2\tfrac{4}{9} = \frac{22}{9}, \quad 5\tfrac{2}{3} = \frac{17}{3}. \] Вычислим выражение внутри скобок: \[ 2\tfrac{3}{11} \cdot 7 = \frac{25}{11} \cdot 7 = \frac{175}{11}, \quad 5,7 \cdot 2\tfrac{3}{11} = \frac{57}{10} \cdot \frac{25}{11} = \frac{1425}{110} = \frac{285}{22}. \] Затем: \[ 7 - \frac{285}{22} = \frac{154}{22} - \frac{285}{22} = -\frac{131}{22}. \] Умножим на \(2\tfrac{4}{9}\): \[ \frac{22}{9} \cdot \left(-\frac{131}{22}\right) = -\frac{131}{9}. \] Вычитаем \(\frac{1}{3}\): \[ -\frac{131}{9} - \frac{3}{9} = -\frac{134}{9}. \] Деление на \(5\tfrac{2}{3}\): \[ -\frac{134}{9} : \frac{17}{3} = -\frac{134}{9} \cdot \frac{3}{17} = -\frac{134}{51} = -\frac{44}{17}. \] Ответ: \(-\frac{44}{17}\).

  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{162 \cdot 2^7 - 8 \cdot 3^5 + 2^3 \cdot 3^4}{3^5 \cdot 2^7 - 3^7 \cdot 2^4}. \] Решение: Преобразуем числитель и знаменатель: \[ \text{Числитель: } 162 \cdot 2^7 - 8 \cdot 3^5 + 2^3 \cdot 3^4 = 2^3 \cdot 3^4 (2^5 - 3 + 1) = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 30 = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5. \] \[ \text{Знаменатель: } 3^5 \cdot 2^7 - 3^7 \cdot 2^4 = 2^4 \cdot 3^5 (2^3 - 3^2) = -2^4 \cdot 3^5. \] Сокращаем: \[ \frac{2^4 \cdot 3^5 \cdot 5}{-2^4 \cdot 3^5} = -5. \] Ответ: \(-5\).

  3. Найдите наименьшее общее кратное чисел 18, 30, 175. Решение: Разложим числа на простые множители: \[ 18 = 2 \cdot 3^2, \quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5, \quad 175 = 5^2 \cdot 7. \] НОК: наибольшие степени каждого простого числа: \[ \text{НОК} = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 3150. \] Ответ: \(3150\).

  4. Решите уравнение: \[ \frac{x + 3}{2} - \frac{x - 5}{3} = \frac{6 - x}{5} \cdot 1,5 + 3. \] Решение: Умножим обе части на 30: \[ 15(x + 3) - 10(x - 5) = 9(6 - x) + 90. \] Раскроем скобки: \[ 15x + 45 - 10x + 50 = 54 - 9x + 90 \] Упростим: \[ 5x + 95 = 144 - 9x \quad \Rightarrow \quad 14x = 49 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{2}. \] Ответ: \(3,5\).

  5. Найдите все числа вида \(6a57b\) (\(a, b\) — цифры), которые кратны 45. Решение: Число должно делиться на 5 и на 9: \[ b = 0 \; \text{или} \; 5, \quad 6 + a + 5 + 7 + b \; \vdots \; 9. \] Для \(b = 0\): \(18 + a \; \vdots \; 9 \Rightarrow a = 0, 9\). Числа: 60570, 69570. Для \(b = 5\): \(23 + a \; \vdots \; 9 \Rightarrow a = 4\). Число: 64575. Ответ: 60570, 69570, 64575.

  6. При каких натуральных \(x\) число \(3x + 7\) кратно числу \(x - 2\)? Решение: \[ \frac{3x + 7}{x - 2} = 3 + \frac{13}{x - 2} \; \text{(целое)} \Rightarrow x - 2 \; \text{делит}\; 13. \] Делители 13: 1, 13. Следовательно: \[ x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3; \quad x - 2 = 13 \Rightarrow x = 15. \] Ответ: \(3, 15\).

  7. Упростите выражение: \[ (x - 2y)^2 + 4x(x + 2y) - 4y(x + y). \] Решение: Раскроем скобки: \[ x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x^2 + 8xy - 4xy - 4y^2 = 5x^2. \] Ответ: \(5x^2\).

  8. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см. Длины сторон: Решение: Пусть боковые стороны \(a\), основание \(b\). Возможные случаи: \[ a - b = 5 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = 25 \quad \Rightarrow \quad a = 10 \, \text{см}, \; b = 5 \, \text{см}. \] \[ b - a = 5 \quad \Rightarrow \quad 2a + (a + 5) = 25 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{20}{3} \, \text{см}, \; b = \frac{35}{3} \, \text{см}. \] Ответ: \(10 \, \text{см}, 10 \, \text{см}, 5 \, \text{см}\) или \(6\tfrac{2}{3} \, \text{см}, 6\tfrac{2}{3} \, \text{см}, 11\tfrac{2}{3} \, \text{см}\).

  9. Возможные значения \(DK\): Решение: Рассмотрим расположение точек: \[ \text{Случай 1: } CK = 3DK \quad \Rightarrow \quad DK = 2 \, \text{см}. \] \[ \text{Случай 2: } CK = 3DK \quad \Rightarrow \quad DK = 4 \, \text{см}. \] Ответ: \(2 \, \text{см}, 4 \, \text{см}\).

  10. Средняя скорость: Решение: Общее расстояние: \(104 \, \text{км}\). Время: \[ \frac{80}{60} + \frac{24}{34} = \frac{104}{51} \, \text{ч}. \] Средняя скорость: \[ \frac{104}{\frac{104}{51}} = 51 \, \text{км/ч}. \] Ответ: \(51\).

  11. Масса сплава: Решение: Пусть масса сплава \(x \, \text{г}\). Уравнение: \[ \frac{0,7x - 4}{x + 6} = 0,5 \quad \Rightarrow \quad x = 35 \, \text{г}. \] Ответ: \(35 \, \text{г}\).

  12. Сократить дробь: \[ \frac{c^3 + b^3 - 2c^2 - 2b^2 + 2bc}{c^2 + b^2 - 4c - 4b + 4 + 2bc} = \frac{(c + b - 2)(c^2 - bc - 2b)}{(c + b - 2)^2} = \frac{c^2 - bc - 2b}{c + b - 2}. \] Ответ: \(\frac{c^2 - bc - 2b}{c + b - 2}\).

  13. Значения \(a\): Решение: Точка пересечения: \[ x = \frac{2 - a}{2a}, \quad y = \frac{2 + 11a}{2a}, \quad x + y = 4 \quad \Rightarrow \quad a = -2. \] Ответ: \(-2\).

  14. Первоначальная скорость поезда: Решение: Пусть скорость \(v \, \text{км/ч}\). Время после снижения скорости: \[ \frac{2v}{v - 5} = \frac{32}{15} \quad \Rightarrow \quad v = 80 \, \text{км/ч}. \] Ответ: \(80\).

  15. Длина \(AL\): Решение: Использование свойств прямоугольного треугольника и координатной геометрии дает: \[ AL = 2\sqrt{3} \, \text{см}. \] Ответ: \(2\sqrt{3} \, \text{см}\).
Материалы школы Юайти