8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 04.2021
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2021 год


Вариант 2



  1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(2{,}3 - 5\tfrac{2}{3} + 1{,}4\bigr) : 29{,}5 \cdot 3 - 1{,}8. \]

  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{45 \cdot 2^7 - 5^3 \cdot 6^4}{70 \cdot 6^2 - 3^2 \cdot 25}. \]

  3. Найдите наибольший общий делитель чисел 2040 и 4200.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{3 - 2x}{6} \;-\; \Bigl(1{,}5 + \frac{4x - 7}{3}\Bigr) = \frac{x}{2} + 2\tfrac{5}{12}. \]

  5. Найдите все числа вида \(65a8b\) (\(a,b\) — цифры), которые кратны 36.

  6. При каких целых \(k\) число \(k + 11\) кратно числу \(k + 13\)?

  7. Упростите выражение: \[ 4a(a + 4b) \;-\; 8b(2b + a) \;+\; (a - 4b)^2. \]

  8. Найдите периметр равнобедренного треугольника, в котором длины двух сторон равны \(8\) см и \(12\) см.

  9. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(BK\). Известно, что \(BK = KC\), \(\angle AKB = 80^\circ\). Найдите \(\angle BAC\).

  10. Первые \(80\) км поезд шёл со скоростью \(60\) км/ч, а следующие \(20\) км — со скоростью \(V\) км/ч. Известно, что средняя скорость на всём пути равна \(50\) км/ч. Найдите \(V\). В ответе укажите число без единиц измерения.

  11. Имеется сплав меди и олова массой \(40\) кг. При добавлении \(5\) кг меди процентное содержание меди увеличилось на \(10\) процентных пунктов. Найдите процентное содержание олова в первоначальном сплаве.

  12. Сократите дробь: \[ \frac{a^2 + b^2 + 2(ab - 2)} {a^2 - b^2 - 2b + 2a}. \]

  13. При каких значениях \(a\) графики функций \[ y = 2x - 3,\quad y = ax - a - 2,\quad y = -x - 6 \] проходят через одну и ту же точку?

  14. Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) составляет \(840\) км. Автомобиль выехал из пункта \(A\) в направлении \(B\) со скоростью \(60\) км/ч. Спустя некоторое время из пункта \(B\) в направлении \(A\) выехал автомобиль со скоростью \(65\) км/ч. К моменту их встречи один из них проехал на \(60\) км больше другого. На сколько часов позже выехал автомобиль из пункта \(B\) по сравнению с автомобилем, выехавшим из пункта \(A\)?

  15. В равнобедренном треугольнике \(ABC\); \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\), \(BC = 8\) см. Проведены высота \(AK\) данного треугольника и высота \(KL\) треугольника \(AKB\). Найдите длину \(BL\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач





  1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(2{,}3 - 5\tfrac{2}{3} + 1{,}4\bigr) : 29{,}5 \cdot 3 - 1{,}8. \] Решение:
    переведем смешанное число \(5\tfrac{2}{3}\) в обыкновенную дробь: \[ 5\tfrac{2}{3} = \frac{17}{3} \approx 5,67. \] Выполним вычисления в скобках: \[ 2{,}3 - 5,67 + 1{,}4 = (2{,}3 + 1{,}4) - 5,67 = 3{,}7 - 5,67 = -1,97. \] Выполним деление и умножение: \[ \frac{-1,97}{29,5} \cdot 3 \approx -0,0668 \cdot 3 = -0,2. \] Вычтем \(1,8\): \[ -0,2 - 1,8 = -2. \] Ответ: \(-2\).

  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{45 \cdot 2^7 - 5^3 \cdot 6^4}{70 \cdot 6^2 - 3^2 \cdot 25}. \] Решение:
    Вычислим числитель: \[ 45 \cdot 2^7 = 45 \cdot 128 = 5760, \quad 5^3 \cdot 6^4 = 125 \cdot 1296 = 162000, \\ 5760 - 162000 = -156240. \] Знаменатель: \[ 70 \cdot 6^2 = 70 \cdot 36 = 2520, \quad 3^2 \cdot 25 = 9 \cdot 25 = 225, \\ 2520 - 225 = 2295. \] Разделим числитель на знаменатель: \[ \frac{-156240}{2295} = -\frac{3472}{51}. \] Ответ: \(-\frac{3472}{51}\).

  3. Найдите наибольший общий делитель чисел 2040 и 4200.
    Решение:
    Разложим числа на простые множители: \[ 2040 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17, \quad 4200 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7. \] Общие множители: \(2^3\), 3, 5.
    НОД = \(2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120\).
    Ответ: \(120\).

  4. Решите уравнение: \[ \frac{3 - 2x}{6} - \left(1{,}5 + \frac{4x - 7}{3}\right) = \frac{x}{2} + 2\tfrac{5}{12}. \] Решение:
    Переведем все числа в дроби: \[ 1{,}5 = \frac{3}{2}, \quad 2\tfrac{5}{12} = \frac{29}{12}. \] Преобразуем выражение в скобках: \[ \frac{3 - 2x}{6} - \left(\frac{9}{6} + \frac{8x - 14}{6}\right) = \frac{x}{2} + \frac{29}{12}. \] Упростим левую часть: \[ \frac{3 - 2x - 8x + 5}{6} = \frac{8 - 10x}{6}. \] Приведем уравнение к виду: \[ \frac{8 - 10x}{6} = \frac{6x + 29}{12}. \] Умножим обе части на \(12\): \[ 2(8 - 10x) = 6x + 29 \Rightarrow 16 - 20x = 6x + 29 \Rightarrow -26x = 13 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}. \] Ответ: \(-\frac{1}{2}\).

  5. Найдите все числа вида \(65a8b\) (\(a,b\) — цифры), которые кратны 36.
    Решение:
    Число кратно 4 и 9. Для делимости на 4: \(8b\) делится на 4 → \(b = 0, 4, 8\). Сумма цифр для 9: \[ 6 + 5 + a + 8 + b \equiv 0 \ (\text{mod}\ 9): \]
    • \(b = 0\): \(19 + a \equiv 0 \ (\text{mod}\ 9) \Rightarrow a = 8\) → число 65880.
    • \(b = 4\): \(23 + a \equiv 0 \ (\text{mod}\ 9) \Rightarrow a = 4\) → число 65484.
    • \(b = 8\): \(27 + a \equiv 0 \ (\text{mod}\ 9) \Rightarrow a = 0, 9\) → числа 65088, 65988.
    Ответ: \(65088\), \(65484\), \(65880\), \(65988\).

  6. При каких целых \(k\) число \(k + 11\) кратно числу \(k + 13\)?
    Решение:
    \[ k + 13 \mid k + 11 \Rightarrow k + 13 \mid (k + 13) - (k + 11) = 2. \] Таким образом, \(k + 13 = \pm1, \pm2\). Находим \(k\): \[ k = -12, -14, -11, -15. \] Ответ: \(-15\), \(-14\), \(-12\), \(-11\).

  7. Упростите выражение: \[ 4a(a + 4b) - 8b(2b + a) + (a - 4b)^2. \] Решение:
    Раскроем скобки: \[ 4a^2 + 16ab - 16b^2 - 8ab + a^2 - 8ab + 16b^2. \] Соберем подобные: \[ (4a^2 + a^2) + (16ab - 8ab - 8ab) + (-16b^2 + 16b^2) = 5a^2. \] Ответ: \(5a^2\).

  8. Найдите периметр равнобедренного треугольника, в котором длины двух сторон равны \(8\) см и \(12\) см.
    Решение:
    Два случая:
    • Боковые стороны \(8\) см: периметр \(8 + 8 + 12 = 28\) см.
    • Боковые стороны \(12\) см: периметр \(12 + 12 + 8 = 32\) см.
    Ответ: \(28\) см или \(32\) см.

  9. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(BK\). Известно, что \(BK = KC\), \(\angle AKB = 80^\circ\). Найдите \(\angle BAC\).
    Решение:
    Поскольку \(BK = KC\), \(\triangle BKC\) равнобедренный ⇒ \(\angle KBC = \angle KCB\). Пусть \(\angle KBC = x\), тогда \(\angle ABC = 2x\). В \(\triangle AKB\): \(\angle AKB = 80^\circ\), следовательно \(\angle BAK = 100^\circ - x\). Сумма углов \(\triangle ABC\): \[ (100^\circ - x) + 2x + x = 180^\circ \Rightarrow x = 40^\circ. \] \(\angle BAC = 100^\circ - x = 60^\circ\).
    Ответ: \(60^\circ\).

  10. Укажите \(V\), если средняя скорость \(50\) км/ч:
    Первые \(80\) км со скоростью \(60\) км/ч, следующие \(20\) км со скоростью \(V\) км/ч.
    Решение:
    Общее время: \(\frac{80}{60} + \frac{20}{V}\). Средняя скорость: \[ \frac{100}{\frac{80}{60} + \frac{20}{V}} = 50. \] Решая уравнение: \[ \frac{100}{\frac{4}{3} + \frac{20}{V}} = 50 \Rightarrow V = 30. \] Ответ: \(30\).

  11. Изначальный сплав содержит \(40\) кг, добавлено \(5\) кг меди ⇒ содержание меди выросло на \(10\%\). Изначальный процент олова:
    Решение:
    Пусть \(x\) — начальная масса меди. Тогда после добавления: \[ \frac{x + 5}{45} = \frac{x}{40} + 0{,}1. \] Решая уравнение: \[ 4x + 20 = 4{,}5x + 18 \Rightarrow x = 4 \ \text{кг} \Rightarrow \text{олава} = 40 - 4 = 36 \ \text{кг}. \] \[ Процент олова = \frac{36}{40} \times 100% = 90\%. \] Ответ: \(90\%\).

  12. Сократите дробь: \[ \frac{a^2 + b^2 + 2(ab - 2)}{a^2 - b^2 - 2b + 2a}. \] Решение:
    Раскроем скобки и разложим:
    Числитель: \( (a + b)^2 - 4 = (a + b - 2)(a + b + 2)\).
    Знаменатель: \((a - b)(a + b) + 2(a - b) = (a - b)(a + b + 2)\).
    Сократим: \(\frac{a + b - 2}{a - b}\).
    Ответ: \(\frac{a + b - 2}{a - b}\).

  13. При каком \(a\) все графики пересекаются в одной точке:
    Решение:
    Найдите общую точку \(y = 2x - 3\) и \(y = -x - 6\): \(2x - 3 = -x - 6 \Rightarrow x = -1\). Точка \((-1, -5)\) должна принадлежать \(y = ax - a - 2\): \[ -5 = -a - a - 2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}. \] Ответ: \(1,5\).

  14. Определите насколько позже выехал автомобиль из \(B\):
    Расстояние \(840\) км. Автомобиль из \(A\) выехал раньше. Пусть задержка \(t\) часов. При встрече один проехал на \(60\) км больше.
    Решение:
    Пусть время до встречи автомобиля из \(A\) — \(T\), тогда автомобиля из \(B\): \(T - t\). Уравнения: \[ 60T + 65(T - t) = 840 \Rightarrow 125T - 65t = 840,\\ 60T - 65(T - t) = 60 \Rightarrow -5T + 65t = 60. \] Решая систему: \(T = 7{,}5\), \(t = 1{,}5\).
    Ответ: на \(1{,}5\) часа.

  15. Найдите длину \(BL\) в равнобедренном треугольнике:
    Решение:
    Высота \(AK\) треугольника \(ABC\) падает на \(BC\) в точку \(K\). Высота \(KL\) из \(K\) на \(AB\) дает точку \(L\). Так как треугольник \(ABC\) с углами \(30^\circ\)-\(120^\circ\)-\(30^\circ\), координаты точек позволяют определить \(BL = 2\) см.
    Ответ: \(2\) см.

Материалы школы Юайти