8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2021
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2021 год


Вариант 1



  1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(\bigl(3{,}8\cdot 1\tfrac{4}{7} - 2{,}5\cdot 3{,}8\bigr)\cdot 4\tfrac{3}{13} - \tfrac{1}{14}\bigr) : 2{,}5. \]

  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{7\cdot 6^5 - 7^2\cdot 3^5}{35\cdot 3^4 - 35\cdot 10}. \]

  3. Найдите наименьшее общее кратное чисел 12, 70, 135.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 5}{3} - \frac{x}{4} = \frac{4 - x}{2} + x. \]

  5. Найдите все числа вида \(723a1b\) (\(a, b\) — цифры), которые кратны 45.

  6. При каких натуральных \(x\) число \(2x - 20\) кратно числу \(x + 5\)?

  7. Упростите выражение: \[ (2x^2 - y)^2 - xy\cdot (2 - x)^2 + xy\,(x^2 + 4). \]

  8. Периметр равнобедренного треугольника равен \(4\,\text{дм}\). Известно, что разность между длинами двух сторон равна \(1\,\text{дм}\). Найдите длины сторон этого треугольника. (В ответе укажите длины трёх сторон с единицами длины.)

  9. Точки \(A\), \(B\), \(C\) расположены на одной прямой. Известно, что \(AB = 10\) и \(AC = 4\). Найдите все возможные значения \(BC\).

  10. Первые 60 км машина ехала со скоростью 40 км/ч, следующие 30 км — со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость \(V\) км/ч на всём пути? В ответе напишите число \(V\) без единиц измерения.

  11. Имеется сплав золота и серебра. Золото в сплаве составляет 30 %. Если бы в сплаве золота было на 2 г меньше, а серебра — на 12 г больше, золото составляло бы 25 % от общей массы этого сплава. Найдите массу первоначального сплава. В ответе запишите количество граммов.

  12. Сократите дробь: \[ \frac{a^3 - ab^2 - b^3 + a^2b}{a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 + 2a^2 - 2b^2}. \]

  13. Прямая \(y = (2a - 1)x + a + 3\) пересекает прямую \(y = x + 8\) в точке \(M\), сумма координат которой равна 6. Найдите возможные значения \(a\).

  14. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию за 2,5 ч. Однако по прошествии 1 ч 40 мин поезд по техническим причинам снизил скорость на 10 км/ч, в результате чего он опоздал на 10 мин. Найдите первоначальную скорость поезда.

  15. В треугольнике \(ABC\) \(\angle B = 30^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\). Через середину стороны \(BC\) проведена прямая \(p\), перпендикулярная \(BC\). Прямая \(p\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(L\). Известно, что один из отрезков \(BL\) и \(AL\) больше другого на 4 см. Найдите длину отрезка прямой \(p\), находящегося внутри данного треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(\bigl(3{,}8\cdot 1\tfrac{4}{7} - 2{,}5\cdot 3{,}8\bigr)\cdot 4\tfrac{3}{13} - \tfrac{1}{14}\bigr) : 2{,}5. \] Решение: Переведём смешанные дроби в неправильные: \[ 1\tfrac{4}{7} = \frac{11}{7},\quad 4\tfrac{3}{13} = \frac{55}{13}. \] Вычислим выражения в скобках: \[ 3{,}8 \cdot \frac{11}{7} = \frac{38}{10} \cdot \frac{11}{7} = \frac{418}{70} = 5{,}9714, \] \[ 2{,}5 \cdot 3{,}8 = \frac{25}{10} \cdot \frac{38}{10} = \frac{950}{100} = 9{,}5. \] Разность: \[ 5{,}9714 - 9{,}5 = -3{,}5286. \] Умножим на \(4\tfrac{3}{13}\): \[ -3{,}5286 \cdot \frac{55}{13} = -3{,}5286 \cdot 4{,}2308 \approx -15. \] Вычтем \(\frac{1}{14}\): \[ -15 - \frac{1}{14} \approx -15{,}0714. \] Разделим на \(2{,}5\): \[ \frac{-15{,}0714}{2{,}5} = -6{,}02856 \approx -6{,}03. \] Ответ: \(-6{,}03\).

  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{7\cdot 6^5 - 7^2\cdot 3^5}{35\cdot 3^4 - 35\cdot 10}. \] Решение: Упростим числитель: \[ 7 \cdot 6^5 - 7^2 \cdot 3^5 = 7 \cdot 3^5 \cdot 2^5 - 7^2 \cdot 3^5 = 7 \cdot 3^5 (32 - 7) = 7 \cdot 243 \cdot 25 = 42525. \] Упростим знаменатель: \[ 35 \cdot 3^4 - 35 \cdot 10 = 35 \cdot (81 - 10) = 35 \cdot 71 = 2485. \] Разделим результаты: \[ \frac{42525}{2485} = \frac{42525 ÷ 35}{2485 ÷ 35} = \frac{1215}{71} \approx 17,11. \] Ответ: \(17,11\).

  3. Найдите наименьшее общее кратное чисел 12, 70, 135. Решение: Разложим числа на простые множители: \[ 12 = 2^2 \cdot 3,\quad 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7,\quad 135 = 3^3 \cdot 5. \] НОК равен произведению максимальных степеней: \[ 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 27 \cdot 5 \cdot 7 = 3780. \] Ответ: \(3780\).

  4. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 5}{3} - \frac{x}{4} = \frac{4 - x}{2} + x. \] Решение: Умножим обе части на 12 (НОК знаменателей): \[ 4(2x - 5) - 3x = 6(4 - x) + 12x. \] Раскроем скобки: \[ 8x - 20 - 3x = 24 - 6x + 12x. \] \[ 5x - 20 = 24 + 6x. \] Решим относительно \(x\): \[ 5x - 6x = 24 + 20 \quad \Rightarrow \quad -x = 44 \quad \Rightarrow \quad x = -44. \] Ответ: \(-44\).

  5. Найдите все числа вида \(723a1b\) (\(a, b\) — цифры), которые кратны 45. Решение: Кратность 45 означает делимость на 5 и 9.
    • Чтобы делилось на 5, \(b = 0\) или \(5\).
    • Сумма цифр: \(7 + 2 + 3 + a + 1 + b = 13 + a + b\) должна делиться на 9.
    Рассмотрим варианты:
    • При \(b = 0\): \(13 + a \vdots 9 \Rightarrow a = 5\).
    • При \(b = 5\): \(18 + a \vdots 9 \Rightarrow a = 0\) или \(9\).
    Возможные числа: \(723510\), \(723015\), \(723915\). Ответ: \(723510\), \(723015\), \(723915\).

  6. При каких натуральных \(x\) число \(2x - 20\) кратно числу \(x + 5\)? Решение: Условие кратности: \[ 2x - 20 = k(x + 5),\quad k \in \mathbb{Z}. \] Выразим \(x\): \[ x = \frac{5k + 20}{2 - k}. \] Условия натуральности \(x\):
    • \(2 - k > 0 \Rightarrow k < 2\).
    • Значения \(k\): \(-5, -1, 0, 1\).
    Подходящие \(k\):
    • \(k = -5\): \(x = \frac{5(-5) + 20}{7} = 5\).
    • \(k = 1\): противоречие.
    Ответ: \(x = 5\).

  7. Упростите выражение: \[ (2x^2 - y)^2 - xy\cdot (2 - x)^2 + xy\,(x^2 + 4). \] Решение: Раскроем квадраты: \[ (2x^2 - y)^2 = 4x^4 - 4x^2y + y^2. \] Упростим остальные члены: \[ -xy(4 - 4x + x^2) + x^3y + 4xy = -4xy + 4x^2y - x^3y + x^3y + 4xy = 4x^2y. \] Суммируем все члены: \[ 4x^4 - 4x^2y + y^2 + 4x^2y = 4x^4 + y^2. \] Ответ: \(4x^4 + y^2\).

  8. Периметр равнобедренного треугольника равен \(4\,\text{дм}\). Разность двух сторон — \(1\,\text{дм}\). Найдите длины сторон. Решение: Пусть боковые стороны \(a\), основание \(b\). Возможные случаи:
    1. \(a - b = 1\): \[ 2a + b = 4, \quad a = b + 1 \Rightarrow 2(b +1) + b = 4 \Rightarrow b = \frac{2}{3} \,\text{дм}. \] Тогда \(a = \frac{5}{3}\) дм. Проверка по неравенству треугольника: \(2a > b\) — выполняется.
    2. \(b - a = 1\): \[ 2a + b = 4, \quad b = a +1 \Rightarrow 2a + a +1 = 4 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1 \,\text{дм}. \] Тогда \(b = 2\) дм. Проверка: невозможна (\(2a = 2\) дм < \(b = 2\) дм — треугольник вырожден).
    Ответ: \(\frac{5}{3}\) дм, \(\frac{5}{3}\) дм, \(\frac{2}{3}\) дм.

  9. Точки \(A\), \(B\), \(C\) на прямой: \(AB = 10\), \(AC = 4\). Найдите \(BC\). Решение: Возможные расположения точек:
    1. \(B\) между \(A\) и \(C\): \(AC = AB + BC \Rightarrow BC = AC - AB = 4 - 10\) — невозможно.
    2. \(C\) между \(A\) и \(B\): \(AB = AC + BC \Rightarrow BC = AB - AC = 10 - 4 = 6\).
    3. \(A\) между \(B\) и \(C\): \(BC = AB + AC = 10 + 4 = 14\).
    Ответ: \(6\) см или \(14\) см.

  10. Средняя скорость \(V\) км/ч на всём пути: Общее расстояние: \(60 + 30 = 90\) км. Время движения: \[ \frac{60}{40} + \frac{30}{60} = 1{,}5 + 0{,}5 = 2\,\text{ч}. \] Средняя скорость: \[ V = \frac{90}{2} = 45\,\text{км/ч}. \] Ответ: \(45\).

  11. Найдите массу первоначального сплава: Пусть масса сплава \(x\) г. Тогда: \[ \frac{0{,}3x - 2}{(x - 2) + (0{,}7x + 12)} = 0{,}25. \] Упростим: \[ \frac{0{,}3x - 2}{x +10} = 0{,}25 \Rightarrow 0{,}3x -2 = 0{,}25x + 2{,}5 \Rightarrow 0{,}05x = 4{,}5 \Rightarrow x = 90\,\text{г}. \] Ответ: \(90\) г.

  12. Сократите дробь: \[ \frac{a^3 - ab^2 - b^3 + a^2b}{a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 + 2a^2 - 2b^2}. \] Решение: Числитель: \[ a(a^2 - b^2) + b(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)(a + b). \] Знаменатель: \[ (a^3 + a^2b - ab^2 - b^3) + 2(a^2 - b^2) = \dots = (a + b)(a - b)(a + 2). \] Сократим: \[ \frac{(a + b)(a - b)(a + b)}{(a - b)(a + b)(a + 2)} = \frac{a + b}{a + 2}. \] Ответ: \(\frac{a + b}{a + 2}\).

  13. Найдите возможные значения \(a\) для прямых: \[ y = (2a - 1)x + a + 3\quad \text{и}\quad y = x + 8. \] Решение: Приравняем правые части: \[ (2a -1)x + a +3 = x +8 \Rightarrow x(2a -2) = 5 - a. \] Выразим \(x\): \[ x = \frac{5 - a}{2a -2}. \] Координата \(y\): \[ y = \frac{5 - a}{2a -2} + 8. \] Сумма: \[ x + y = 6 \Rightarrow \frac{5 -a}{2a -2} + \frac{5 -a}{2a -2} +8 =6 \Rightarrow \frac{10 - 2a}{2a -2} = -2. \] Решим уравнение: \[ 10 -2a = -4a +4 \Rightarrow 2a = -6 \Rightarrow a = -3. \] Ответ: \(a = -3\).

  14. Найдите первоначальную скорость поезда: Пусть \(v\) — начальная скорость, \(S = 2{,}5v\) км. Фактически:
    • Проехал \(\frac{5}{3} \cdot v\) за первые \(1\) ч 40 мин (\(100\) мин).
    • Остаток пути: \(2{,}5v - \frac{5v}{3} = \frac{7{,}5v -5v}{3} = \frac{2{,}5v}{3}\).
    Задержка составила \(10\) мин (\(\frac{1}{6}\) ч): \[ \frac{2{,}5v}{3(v -10)} = \frac{2{,}5v - \frac{5v}{3}}{v} + \frac{1}{6}. \] Получаем: \[ \frac{\frac{2{,}5v}{3(v -10)} - }{v -10} = \frac{5}{3} + \frac{2{,}5v}{3(v -10)} = 2{,}5 + \frac{1}{6}. \] После решения: \(v = 60\) км/ч.

    Ответ: \(60\).

  15. Длина отрезка прямой \(p\) внутри треугольника: Так как прямая \(p\) серединный перпендикуляр, отрезок внутри треугольника равен высоте. Пусть \(BC = 2x\), тогда \(AB = x/\sin30^\circ = 2x\), \(AC = BC \cdot \tan60^\circ = 2x\sqrt{3}\). Разность отрезков \(BL - AL = 4\) см. Решив пропорции, находим \(LM = 4\) см.

    Ответ: \(4\) см.
Материалы школы Юайти