Лицей №239 из 7 в 8 класс 2007 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239
2007 год
Вариант 2
- Упростить:
\[
\Bigl(\frac{4xy^4}{5z^5}\Bigr)^5
\;\Bigl(\frac{25z^4}{16xy^5}\Bigr)^3.
\]
- Свежий виноград содержит 75% влаги, а сушёный виноград (изюм) — $6\%$. Сколько требуется свежего винограда для приготовления 4 кг изюма?
- Вычислите рационально:
\[
494^3 - 494^2 - 494\cdot 493 - 493^2 - 493^3.
\]
- Упростить:
\[
(4x^2y - 28xy^2 + 49y^3)\;\cdot\;
\frac{3}{4x^2y - 49y^3}.
\]
- Постройте график функции \(y = -5x - 4\) и найдите, при каких значениях \(x\) значения \(y\) не меньше 16.
- Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\), для каждой из которых значение выражения
\[
(x - y)^2 + 2x + 4y + 2xy + 5
\]
равно нулю.
- Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли разность оказаться равной 180?
- В треугольнике \(ABC\) углы \(A\) и \(B\) равны соответственно \(64^\circ\) и \(24^\circ\). Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины \(A\).
- В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) составляет со стороной \(AB\) угол \(30^\circ\). Найдите угол \(BAC\), если \(AB = 2\,AC\).
- Постройте множество точек \((x, y)\) на плоскости, для которых \[ \frac{(x^2 - 9)\,(y + x - 1)}{x - 3} = 0. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить:
\[
\Bigl(\frac{4xy^4}{5z^5}\Bigr)^5
\;\Bigl(\frac{25z^4}{16xy^5}\Bigr)^3.
\]
Решение: Представим степени отдельно для числителей и знаменателей:
$\Bigl(\frac{4xy^4}{5z^5}\Bigr)^5 = \frac{4^5 x^5 y^{20}}{5^5 z^{25}}$; $\Bigl(\frac{25z^4}{16xy^5}\Bigr)^3 = \frac{25^3 z^{12}}{16^3 x^3 y^{15}}$
Перемножим дроби: $\frac{4^5 \cdot 25^3}{5^5 \cdot 16^3} \cdot \frac{x^5}{x^3} \cdot \frac{y^{20}}{y^{15}} \cdot \frac{z^{12}}{z^{25}}$
Упростим коэффициенты: $\frac{2^{10} \cdot 5^6}{5^5 \cdot 2^{12}} = \frac{5}{4}$.
Переменные: $x^{2} \cdot y^{5} \cdot z^{-13} = \frac{x^2 y^5}{z^{13}}$
Окончательно: $\frac{5x^2 y^5}{4z^{13}}$
Ответ: $\frac{5x^2 y^5}{4z^{13}}$. - Свежий виноград содержит 75% влаги, а сушёный виноград (изюм) — $6\%$. Сколько требуется свежего винограда для приготовления 4 кг изюма?
Решение: Сухое вещество в свежем винограде: $25\%$, в изюме: $94\%$.
Масса сухого вещества в изюме: $4 \cdot 0,94 = 3,76$ кг.
Пусть $x$ кг свежего винограда, тогда сухого вещества $0,25x$:
$0,25x = 3,76$ $\quad \Rightarrow$ $x = \frac{3,76}{0,25} = 15,04$ кг.
Ответ: 15,04 кг. - Вычислите рационально:
\[
494^3 - 494^2 - 494\cdot 493 - 493^2 - 493^3.
\]
Решение: Обозначим $a = 494$, $b = 493$, тогда выражение:
$(a^3 - b^3) - (a^2 + ab + b^2)$
По формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Подставим: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) - (a^2 + ab + b^2) = (a - b - 1)(a^2 + ab + b^2)$
Так как $a - b = 1$, получаем: $(1 - 1)(a^2 + ab + b^2) = 0$.
Ответ: 0. - Упростить:
\[
(4x^2y - 28xy^2 + 49y^3)\;\cdot\;
\frac{3}{4x^2y - 49y^3}.
\]
Решение: Разложим числитель первой дроби: $4x^2y -28xy^2 +49y^3 = y(4x^2 -28xy +49y^2) = y(2x -7y)^2$
Знаменатель второй дроби: $4x^2y -49y^3 = y(4x^2 -49y^2) = y(2x -7y)(2x +7y)$
Подставим и сократим: $\frac{y(2x -7y)^2 \cdot 3}{y(2x -7y)(2x +7y)} = \frac{3(2x -7y)}{2x +7y}$
Ответ: $\frac{3(2x -7y)}{2x +7y}$. - Постройте график функции \(y = -5x - 4\) и найдите, при каких значениях \(x\) значения \(y\) не меньше 16.
Решение: График функции — прямая с угловым коэффициентом $-5$, пересекающая ось $Y$ в точке $(0, -4)$. Решим неравенство:
$-5x -4 \geq 16$ $\quad \Rightarrow$ $-5x \geq 20$ $\quad \Rightarrow$ $x \leq -4$.
Ответ: при $x \leq -4$. - Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\), для каждой из которых значение выражения
\[
(x - y)^2 + 2x + 4y + 2xy + 5
\]
равно нулю.
Решение: Преобразуем выражение:
$(x - y)^2 + 2x +4y +2xy +5 = x^2 -2xy +y^2 +2xy +2x +4y +5 = x^2 + y^2 +2x +4y +5$
Выделим квадраты: $x^2 +2x +1 + y^2 +4y +4 = (x+1)^2 + (y+2)^2 = 0$
Решение только при $(x+1)^2 = 0$ и $(y+2)^2 = 0$ $\Rightarrow$ $x=-1$, $y=-2$.
Ответ: $(-1; -2)$. - Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли разность оказаться равной 180?
Решение: Пусть трёхзначное число $\overline{abc}$, тогда:
$100a +10b +c - (a +b +c) =99a +9b =9(11a +b) =180$
Сократим: $11a + b =20$. Так как $a$ и $b$ — цифры ($a \geq1$), возможные $a=1$: $11 + b=20 \rightarrow b=9$, но тогда $11a +b=11+9=20$. Число $\overline{1 9 c}$, после вычитания суммы: 180. Значит, число равно $100\cdot1 +10\cdot9 + c =190 +c$. После вычитания суммы: $190 +c - (1+9+c)=180$. Всегда равен 180 независимо от "c". Однако сумма цифр "1 + 9 + c" при вычитании дает 1 +9 + c =10 +c. Тогда разность: (190 +c) - (10 +c) =180. Таким образом, подходит любое число вида 190 +c, где c — цифра. Пример: число 190, разность:190 - (1+9+0)=180. Значит, может.
Ответ: Да, может (например, 190). - В треугольнике \(ABC\) углы \(A\) и \(B\) равны соответственно \(64^\circ\) и \(24^\circ\). Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины \(A\).
Решение: Угол $C=180^\circ -64^\circ -24^\circ=92^\circ$.
Биссектриса угла $A$ делит его на два по $32^\circ$. Высота из $A$ опущена на $BC$, угол между высотой и стороной $AB$ равен $\angle HAB =90^\circ - \angle B=66^\circ$.
Угол между биссектрисой и высотой: $66^\circ -32^\circ=34^\circ$.
Ответ: $34^\circ$. - В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) составляет со стороной \(AB\) угол \(30^\circ\). Найдите угол \(BAC\), если \(AB = 2\,AC\).
Решение: Пусть $AC = x$, тогда $AB = 2x$. Применим теорему синусов в $\triangle ABM$:
$\frac{AM}{\sin \angle ABM} = \frac{AB}{\sin \angle AMB}$
Учитывая, что $AM$ — медиана, $BM = \frac{BC}{2}$. Через координаты или геометрию получаем угол $BAC=120^\circ$.
Ответ: $120^\circ$. - Постройте множество точек \((x, y)\) на плоскости, для которых
\[
\frac{(x^2 - 9)\,(y + x - 1)}{x - 3} = 0.
\]
Решение: Уравнение выполняется, если:
1) $x^2 -9=0$ и $x \neq3$: тогда $x=-3$, $y$ — любое.
2) $y +x -1=0$ при $x \neq3$.
Ответ: Объединение прямой $y = -x +1$ исключая точку $(3, -2)$ и вертикальной прямой $x=-3$.
Материалы школы Юайти