Лицей №239 из 7 в 8 класс 2007 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239

2007 год

Вариант 1

1. Упростить: \[ \Bigl(\frac{3x^2y^5}{5z^6}\Bigr)^5 \;\Bigl(\frac{25z^5}{9x^2y^6}\Bigr)^3. \]
   
   
2. Свежий виноград содержит 80% влаги, а сушеный виноград (изюм) — $5\%$. Сколько требуется свежего винограда для приготовления 1 кг изюма?
   
   
3. Вычислите рационально: \[ 480^3 - 480^2 - 480\cdot479 - 479^2 - 479^3. \]
   
   
4. Упростите: \[ (25x^2y - 40xy^2 + 16y^3)\;\cdot\; \frac{2}{25x^2y - 16y^3}. \]
   
   
5. Постройте график функции \(y = -3x - 1\) и найдите, при каких значениях \(x\) значения \(y\) не больше 2.
   
   
6. Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\), для каждой из которых значение выражения \[ (x + y)^2 - 10x + 4y - 2xy + 29 \] равно нулю.
   
   
7. Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли разность оказаться равной 189?
   
   
8. В треугольнике \(ABC\) углы \(A\) и \(B\) равны соответственно \(48^\circ\) и \(76^\circ\). Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины \(C\).
   
   
9. В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) перпендикулярна стороне \(AC\). Найти угол \(BAC\), если \(AB = 2AC\).
   
   
10. Постройте множество точек \((x, y)\) на плоскости, для которых \[ \frac{(x^2 - 4)(y - x + 1)}{x - 2} = 0. \]

Решения задач

1. Упростить: \[ \Bigl(\frac{3x^2y^5}{5z^6}\Bigr)^5 \;\Bigl(\frac{25z^5}{9x^2y^6}\Bigr)^3 \] Решение:
   Возведем дроби в степени: \[ \frac{3^5x^{10}y^{25}}{5^5z^{30}} \cdot \frac{25^3z^{15}}{9^3x^6y^{18}} = \frac{3^5x^{10}y^{25} \cdot 5^6z^{15}}{5^5z^{30} \cdot 3^6x^6y^{18}} = \frac{5x^4y^7}{3z^{15}} \] Ответ: \(\frac{5x^4y^7}{3z^{15}}\).
   
   
2. Свежий виноград содержит 80% влаги, а сушеный виноград (изюм) — $5\%$. Сколько требуется свежего винограда для приготовления 1 кг изюма?
   Решение:
   Сухого вещества в изюме: \(1 \cdot 0,95 = 0,95\) кг.
   Сухое вещество в свежем винограде: \(20\%\) от массы. Тогда:
   \(0,2x = 0,95 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{0,95}{0,2} = 4,75\) кг.
   Ответ: 4,75 кг.
   
   
3. Вычислите рационально: \[ 480^3 - 480^2 - 480\cdot479 - 479^2 - 479^3 \] Решение:
   Используем разность кубов: \[ 480^3 - 479^3 - (480^2 + 480\cdot479 + 479^2) = 0 \] Ответ: 0.
   
   
4. Упростите: \[ (25x^2y - 40xy^2 + 16y^3)\;\cdot\;\frac{2}{25x^2y - 16y^3} \] Решение:
   Разложим на множители: \[ \frac{y(5x - 4y)^2 \cdot 2}{y(5x - 4y)(5x + 4y)} = \frac{2(5x - 4y)}{5x + 4y} \] Ответ: \(\frac{2(5x - 4y)}{5x + 4y}\).
   
   
5. Постройте график функции \(y = -3x - 1\) и найдите, при каких значениях \(x\) значения \(y\) не больше 2.
   Решение: \[ -3x - 1 \leq 2 \quad \Rightarrow \quad -3x \leq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1 \] Ответ: \(x \geq -1\).
   
   
6. Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\), для каждой из которых значение выражения \[ (x + y)^2 - 10x + 4y - 2xy + 29 \] равно нулю.
   Решение:
   Преобразуем выражение: \[ x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 0 \] Ответ: \((5; -2)\).
   
   
7. Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли разность оказаться равной 189?
   Решение: \[ 100a + 10b + c - (a + b + c) = 99a + 9b = 189 \quad \Rightarrow \quad 11a + b = 21 \] Невозможно (b должно быть 10).
   Ответ: Нет.
   
8. В треугольнике \(ABC\) углы \(A\) и \(B\) равны соответственно \(48^\circ\) и \(76^\circ\). Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины \(C\).
   Решение:
   Угол \(C = 180^\circ - 48^\circ - 76^\circ = 56^\circ\).
   Биссектриса делит угол \(C\) на \(28^\circ\), высота образует угол \(90^\circ - 76^\circ = 14^\circ\).
   Ответ: \(14^\circ\).
   
   
9. В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) перпендикулярна стороне \(AC\). Найти угол \(BAC\), если \(AB = 2AC\).
   Решение:
   Координатный метод: \(AC\) по оси \(x\), \(B(-c, \sqrt{3}c)\).
   Угол между векторами \(AB(-c, \sqrt{3}c)\) и \(AC(c, 0)\): \[ \cos \theta = \frac{-c^2}{2c^2} = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = 120^\circ \] Ответ: \(120^\circ\).
   
   
10. Постройте множество точек \((x, y)\) на плоскости, для которых \[ \frac{(x^2 - 4)(y - x + 1)}{x - 2} = 0 \] Решение:
    \(x \neq 2\), уравнение распадается на:
    1. \(x = -2\)
    2. \(y = x - 1\)
    Ответ: Прямая \(y = x - 1\) и вертикальная прямая \(x = -2\).